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三角函数公式汇总(很实用哦)

三角函数公式汇总
1. 扇形弧长和面积公式
l弧 ? ? ? ? r ?

?? r
? 180

s?

1 ??r 2 lr ? 2 3 6 ?0

2. 角度与弧度的转换

? (角度) ?? ? ? ?(弧度) ? ? ? ?
180 ? ?

? 180 ?

?

?
180? 180?

? ? ?(弧度) ?? ? ?(角度) ? ? ? ? ?

?

3. 终边相同的角 (1) ? , ?是终边相同的角,则 ? 360? k ? ?或? ? 2k? ? ? . ? (2)第一限象角: (360 ? k ,360 ? k ? 90 ? )或(2k? ,2k? ?
? ? ? ?

?
2

)

第二限象角: (360 k ? 90 ,360 k ? 180 )或(2k? ?
? ? ? ?

?
2

,2k? ? ? ) 3? ) 2

第三限象角: (360 k ? 180 ,360 k ? 270 )或(2k? ? ? ,2k? ? 第四限象角: (360 k ? 270 ,360 k ? 360 )或(2k? ?
? ? ? ?

3? ,2k? ? 2? ) 2

(3) 坐标轴上的角 i) 终边在 x 轴上的角:

? ? 或 x 负半轴 ?x x ? 360 k ? 180 , k ? Z ? ?x x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 或 x 轴 ?x x ? 180 k , k ? Z ? ?x x ? k? , k ? Z ?
x 正半轴 x x ? 360 ? k , k ? Z 或?x x ? 2k? , k ? Z ?
? ? ?

ii) 终边在 y 轴上的角

? ? ? y 正半轴 x x ? 360? k ? 90? , k ? Z 或?x x ? 2k? ? , k ? Z ? 2 ? ? ? ? 3? y 负半轴 x x ? 360? k ? 270? , k ? Z 或? x x ? 2k? ? ,k ? Z? 2 ? ? ? ? ? y 轴 x x ? 180? k ? 90? , k ? Z 或? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?

?

?

?

?

?

4. 三角函数的定义 设角 ? 终边上异于原点的任意一点 P( x0 , y0 ) ,记
r?
2 2 x0 ? y 0 , 如 图 , 则 三 角 函 数 定 义 如 下 :

sin ? ?

y0 x y ,c o ? ? 0 , t a n ? 0 s ? r r x0

显然,由三角函数的定义知,各种三角函数值在平面直角坐标系中符号如下:

sin ? ? 0 cos? ? 0 t an? ? 0

sin ? ? 0 cos? ? 0 t an? ? 0

sin ? ? 0 cos? ? 0 t an? ? 0

sin ? ? 0 cos? ? 0 tan? ? 0

特殊角的三角函数值表

?
??
sin

0?
0

30

?

45

?

60

?

90

?

120

?

135

?

150

?

180
?

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

5? 6 1 2

?
0

0

3 2
1 2

2 2 ? 2 2
?1

cos

1

3 2 3 3

0

?

3 2 3 3

?1

tan

0

3

?

? 3

?

0

5. 同角的三角函数关系: (1) 平方关系 (2) tan ? ?
2 s i n ? ? c o 2s? ? 1

sin ? cos ? 6. 两角和差公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?
k? ? ? ,即任何角都具有可 2

7. 诱导公式(奇变偶不变符号看限象) 设 ? 是任意弧度制的角,则必存在 ? 满足: ? ? 转换为该形式。例如: sin(

?
2

? x) ? cos x ,此时 k 为奇数 1,因此结果的函数名正

弦变余弦,符号是将 x 视为锐角时,角

?
2

? x 的正弦值符号决定,故取正。又如

cos(? ? x) ? ? cos x ,此时 k 为偶数 2,故函数名不变仍是余弦,符号是将 x 视为

锐角时,角 ? ? x 的余弦值符号决定,故取负。 8. 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? tan 2? ?
9. 降幂公式:
sin 2 ? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 2 2

9.辅助角公式:

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 (

a a2 ? b2

sin ? ?

b a2 ? b2

cos? ) a b a2 ? b2

? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ), 其中cos? ?
10.正余弦函数的图像与性质

a2 ? b2

, sin ? ?

函数名

正弦函数 y ? sin x

余弦函数 y ? cos x

图像
?

02 2

? 3?

?

? ? 032 2

?

?

定义域 值域

R [-1,1]

R [-1,1]

周期性 奇偶性
[2k? ?

Tmin ? 2?
奇函数
]单调递增,k ? Z 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ]单调递减, k ? Z 2 2 2
? ? ? x ? ? x x ? 2k? ? , k ? Z ?取最大值 2 ? ? ? ? 3? x ? ? x x ? 2k? ? , k ? Z ?取最小值 2 ? ?

Tmin ? 2?
偶函数
[2k? ,2k? ? ? ]单调递增,k ? Z [2k? ? ? ,2k? ? 2? ]单调递减, k ? Z
x ? ?x x ? 2k? , k ? Z ?取最大值

?

,2k? ?

?

单调性

最值性

x ? ?x x ? 2k? ? ? , k ? Z ?取最小值

中心对称点: (k? ,0), k ? Z

对称性

对称轴方程: ? k? ? x

?
2

中心对称点: (k? ?

?
2

,0), k ? Z

,k ?Z

对称轴方程: ? k? , k ? Z x

11. 函数y ? A sin(?x ? ? ) ? b和y ? A cos(?x ? ? ) ? b, A ? 0, ? ? 0的性质研究
振幅:A
周期: T ? 2?

对于以上两函数性质的研究我们只需将 ?x ? ? 看做一个整体,套入相应的正弦函数和 余弦函数中即可。此外要求会用 5 点作图法做其图像。 12. 正余弦定理与三角形面积公式 B c A b a C

?

相 位 : x ?? ?

初相: ?

设在 ?ABC 中,角 A,B,C 对应的边长分别为 a,b,c,如图, 则三角形面积

S?
正弦定理:

1 1 1 ab sin C ? ac sin b ? bc sin A 2 2 2

a b c ? ? ? 2 R, R为三角形外接圆的半径 . sin A sin B sin C

a ? 2 R sin A, c ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R
余弦定理: (1) a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cosC

(2) b ? c ? a ? 2bc cos A
2 2 2

(3) cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2bc

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac

cosC ?

a 2 ? b2 ? c2 2ab


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