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空间中直线与直线之间的位置关系 学案)

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 【课标要求】 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角. 3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题. 【核心扫描】 1.理解空间中两直线的位置关系,公理 4,等角定理及异面直线所成的角,并掌握依 据定义、定理对空间图形进行推理论证、计算的方法.(重点) 2.异面直线及其所成的角的求解,空间图形问题转化为平面图形问题的思想方法.(难 点)

新知导学 1.异面直线、空间两条直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. ②画法:图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托).

(2)空间两条直线的位置关系有且只有三种 相交直线:同一平面内,有且只有 ? ? ? ?共面直线?一个公共点; 位置关系 ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 温馨提示:①“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因 此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性. ②不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线. 也就是说,在两个不同平面内的直线,它们既可以是平行直线,也可以是相交直线. 2.平行公理与等角定理 (1)平行公理(公理 4) 文字表述: 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 这一性质叫做空间平行线的传递性. ? a∥b? ??a∥c. 符号表述: b∥c ? ? (2)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 温馨提示:空间中两边分别对应平行的两个角,当两边方向分别相同或相反时,二角相 等,否则二角互补. 3.异面直线所成的角 已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b, 定义 我们把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹 角). 范围 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ,则 0° ≤θ≤90° 特殊情况 当 θ=90° 时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b 温馨提示:为了求异面直线 a、b 所成的角,可以在空间中任取一点 O,过 O 分别作直 线 a′∥a,b′∥b,再通过解三角形,求出 a 与 b 所成的角.但是,为了简便,点 O 常常 取在两条异面直线中的一条上.

互动探究 探究点 1 两条平行直线一定能共面吗?三条平行线呢? 提示 一定能共面;不一定能共面. 探究点 2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角 (或直角)相等吗? 提示 相等. 探究点 3 (1)两条平行线的夹角等于多少度? (2)两异面直线所成角的大小,与作平行时所找的点有关吗? (3)两直线垂直,这两条直线一定共面吗? 提示 (1)0° ; (2)无关; (3)不一定.垂直相交时,共面,垂直不相交时,异面.

类型一 判定两条直线是异面直线的方法

【例 1】 如图所示,已知 a?α,A?α,B∈α,B?a. 求证:直线 AB 与 a 是异面直线. [思路探索] 直接证明却不易入手,考虑用反证法. 证明 假设直线 AB 与 a 共面, 即有平面 β,使 AB?β,a?β, 则 A∈β,B∈β. 又∵a?α,B∈α,B?a, ∴过 a 和 B 有且只有一个平面,即平面 α, ∴α 与 β 是同一平面, ∴A∈α,这与已知 A?α 矛盾,∴假设不成立. 故直线 AB 与 a 是异面直线. [规律方法] (1)反证法是一种常见的间接证法,在立体几何中应用较多,注意体会其推 理模式,积累应用经验. (2)本题的结论可直接用于异面直线的判定(也叫定理法), 此外还常用异面直线的定义来 判断异面直线(叫定义法).

【活学活用 1】 如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,判断下列直线间的位置关系: (1)直线 A1B 与 D1C 的位置关系是________; (2)直线 A1B 与 B1C 的位置关系是________; (3)直线 D1D 与 D1C 的位置关系是________; (4)直线 AB 与 B1C 的位置关系是________. 解析 序号 结论 原因分析 (1) (2) (3) (4) 平行 异面 相交 异面 因为 A1D1 綉 BC,即 A1BCD1 为平行四边形,所以 A1B∥D1C A1B 与 B1C 不同在任何一个平面内 D1D∩D1C=D1 AB 与 B1C 不同在任何一个平面内

答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 类型二 公理 4、等角定理的应用

【例 2】 在如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分别是棱 AB、AD、 B1C1、C1D1 的中点, 求证:(1)EF 綉 E1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1. [思路探索] (1)利用三角形中位线,运用公理 4 证明 (2)利用等角定理

(1)连接 BD,B1D1,在△ABD 中,因为 E、F 分别为 AB、AD 的中点,所以 EF 1 1 綉 BD.同理,E1F1 綉 B1D1. 2 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,BB1 綉 DD1,所以四边形 BB1D1D 为平行四边形,因此, BD 綉 B1D1, 1 1 又 EF 綉 BD,E1F1 綉 B1D1,所以 EF 綉 E1F1. 2 2 (2)取 A1B1 的中点 M,连接 F1M,BM,则 MF1 綉 B1C1,又 B1C1 綉 BC,所以 MF1 綉 BC. 所以四边形 BMF1C 为平行四边形,因此,BM∥CF1. 1 1 因为 A1M= A1B1,BE= AB,且 A1B1 綉 AB,所以 A1M 綉 BE,所以四边形 BMA1E 为 2 2 平行四边形,则 BM∥A1E.因此,CF1∥A1E,同理可证 A1F∥CE1. 因为∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1. [规律方法] (1)空间两条直线平行的证明:一是定义法:即证明两条直线在同一个平面 内且两直线没有公共点;二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形,梯形中位线,平 行四边形等关于平行的性质;三是利用公理 4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线 平行. (2)求证角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.

证明

【活学活用 2】 如图所示,在三棱锥 ABCD 中,E,F,G 分别是棱 AB,AC,AD 上 AE AF AG 的点,且满足 = = . AB AC AD 求证:△EFG∽△BCD. AE AF 证明 在△ABC 中,∵ = , AB AC

EF AE EG AE ∴EF∥BC 且 = .同理,EG∥BD 且 = . BC AB BD AB 又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同, EF EG ∴∠FEG=∠CBD,∵ = ,∴△EFG∽△BCD. BC BD 类型三 求异面直线所成的角

【例 3】 如图,在正方体 AC1 中,E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点,求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小. [思路探索]

图(1) 解 法一 如图(1),连接 A1C1,B1D1,并设它们相交于点 O,取 DD1 的中点 G,连接 OG,则 OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. ∴GA1=GC1,O 为 A1C1 的中点 ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° .

图(2) 1 法二 如图(2),连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连接 HE,则 HE∥DB1,且 HE= DB1. 2 于是∠HEF 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或补角. 2 连接 HF,设 AA1=1,则 EF= , 2 3 HE= ,取 A1D1 的中点 I,连接 IF,IH,则 HI⊥IF, 2 5 2 ∴HF =HI2+IF2= , 4 ∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90° ,∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° .

图(3) 法三 如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接 B1Q,则 B1Q∥EF.

于是∠DB1Q 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. 通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° . [规律方法] 作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:① 直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补 作一个相同的几何体,以便找到平行线).

【活学活用 3】 在三棱锥 ABCD 中,AB=CD,且直线 AB 与 CD 成 60° 角,点 M,N 分别是 BC,AD 的中点,求直线 AB 和 MN 所成的角. 解 如图,取 AC 的中点 P,连接 PM,PN,因为点 M,

N 分别是 BC,AD 的中点, 1 所以 PM∥AB,且 PM= AB; 2 1 PN∥CD,且 PN= CD, 2 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角. 所以∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角. 因为直线 AB 与 CD 成 60° 角, 所以∠MPN=60° 或∠MPN=120° . 又因为 AB=CD,所以 PM=PN, (1)若∠MPN=60° ,则△PMN 是等边三角形, 所以∠PMN=60° ,即 AB 与 MN 所成的角为 60° . (2)若∠MPN=120° ,则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN=30° ,即 AB 与 MN 所成的角为 30° . 综上知:AB 与 MN 所成的角为 60° 或 30° . 易错辨析 应用异面直线所成的角时因考虑 不全所致的错误 【示例】 若线段 AB⊥BC,BC⊥CD,DE⊥AE,且 AB=BC=CD,异面直线 AB 与 CD 成 60° 角,求异面直线 AD 与 BC 所成的角.

图(1) [错解] 作 DE 綉 CB,连接 AE、BE(如图(1)). ∵BC=CD,BC⊥CD, ∴四边形 BCDE 为正方形. ∴BE=BC=AB.

∵AB⊥BC,AB=BC,AB 与 CD 成 60° 的角,∴∠ABE=60° , ∴△ABE 是正三角形,∴AE=BE=DE. 又∵DE⊥AE,∴△ADE 是等腰直角三角形,即∠ADE=45° ,AD 与 BC 成 45° 角. [错因分析] 对与 BC 都垂直的线段 AB、CD 夹角 60° ,画图应有两种情况,错解只考 虑到一种情况,因空间想象能力不强,考虑不周全所致.

图(2) [正解] (1)如图(1)略. (2)对于图(2)的情形可作 DE 綉 CB,连接 AE、BE. ∵BC=CD,BC⊥CD, ∴四边形 BCDE 是正方形. 又∵AB⊥BC,AB=BC,AB 与 CD 成 60° 的角. ∴AB=BE,∠ABE=120° ,又∵DE⊥AE, 设 AB=1,则 AE= 3,则在 Rt△ADE 中,∠ADE=60° , 即 AD 与 BC 成 60° 的角. 综合上面两种情况可知,AD 与 BC 成 60° 或 45° 的角. [防范措施] 当我们已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角时,依据等 角定理两者可能相等或者互补,所以我们应当考虑两种情况.

课堂达标 1.(2012· 台州高一检测)如图,AA1 是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA1 异面的棱 的条数是( ).

A.6 B.4 C.5 D.8 解析 与 AA1 异面的棱有 BC,B1C1,CD,C1D1,共 4 条. 答案 B 2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ). A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 解析 可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾). 答案 D 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 A1B1 所成的角 的余弦值为________. 解析 设棱长为 1, 因为 A1B1∥C1D1, 所以∠AED1 就是异面直线 AE 与 A1B1 所成的角. 在 1 D 1E 2 1 △AED1 中,cos∠AED1= = = . AE 3 3 2 1 答案 3

4.(2012· 连云港高一检测)空间中有一个角∠A 的两边和另一个角∠B 的两边分别平行, ∠A=70° ,则∠B=________. 解析 ∵∠A 的两边和∠B 的两边分别平行, ∴∠A=∠B 或∠A+∠B=180° . 又∠A=70° ,∴∠B=70° 或 110° . 答案 70° 或 110° 5.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E、F 分别为 BC 和 AD 的中点,将平面 CDFE 沿 EF 翻折起来, 使 CD 到 C′D′的位置, G、 H 分别为 AD′和 BC′的中点, 求证: 四边形 EFGH 为平行四边形. 证明 如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E、F 分别为 BC、AD 的中点.

1 ∴EF∥AB 且 EF= (AB+CD), 2 又∵C′D′∥EF,∴C′D′∥AB. ∵G、H 分别为 AD′、BC′的中点, 1 1 ∴GH∥AB 且 GH= (AB+C′D′)= (AB+CD), 2 2 ∴GH 綉 EF,∴四边形 EFGH 为平行四边形. 课堂小结 1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下, 定义就是一种常用的判定方法. 2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直 线所成的角. 将空间问题向平面问题转化, 这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径. 需 要强调的是,两条异面直线所成角为 θ,且 0° ≤θ≤90° ,解题时经常结合这一点去求异面直 线所成的角的大小.


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