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空间向量的正交分解及其坐标表示


空间向量的正交 分解及其坐标表示

复习: 平面向量基本定理:

?? ?? ? 在空间中有没 如果e1,是同一平面内的两个不共线向量, e2 类似的结论 ? 呢? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 ? ? ?? ? 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e2。 ?? ?? ? ( e1、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) e2 y ?

? ?

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? i ? (1, 0), j ? (0,1)

? ? ? a ? xi ? y j

a

? j

? o i

x

? ? ? 设向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一 b ?? ? ? ? 向量 p ,如何用三个不共面的向量 a 、 、c 来表 b 示呢? ? C
作PP ? / / OC交平面OAB于P ?
? ???? ???? ???? ???? ???? ? p ? OP? ? P?P ? OB? ? OA? ? P?P

探究:

c
D O?

p

P

? ? ? ? xa ? yb ? zc

A A′

a

? B′ b
P′

B

一、空间向量基本定理:
? ? ? 如果三个向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一向 b ? ? 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ? x, y, z? 使 ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .

? ? ? {a, b, c} 叫做空间的一个基底

??? a, b, c 都叫做基向量

思考:基底应注意什么呢?
1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底

2.三个基向量每一个都不能为零向量

3.一个基底是指一个向量组,一个基向量是指一个向量

练习 1

??? ??? ??? ? ? ? 1、已知O,A,B,C为空间四个点,且向量 OA, OB, OC

不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C是否共面
? ?? ? ?? 2、已知向量 {a, b, c}是空间的一个基底,从 a, b, c

? ? ? ? ? ? ? 中选一个向量,一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b
构成空间的另一个基底?

? ? ? 问:当不共面的向量a , , 两两垂直时 b c
是怎样的情形呢? 正交基底:空间的一个基底的 三个基向量互相垂直。

? c

单位正交基底:如果空间的一个基 底的三个基向量互相垂直,且长都 为1,则这个基底叫做单位正交基底, ?? ? 常用 {i, j, k}表示 ?

p

? b

a

二、空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交 ? ? ? j 基底 ?i , ? , k ?,以点O为原点,分别 ? ? 以 i , j , k 的正方向建立三条数轴:x 轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间 直角坐标系O—xyz.

三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理,对于空 ? 间任一向量 p 存在唯一的有序 实数组(x,y, z)使
z

? ? ? ? p ? xi ? yj ? zk

P k i x O j

P

? 记作 p =(x,y,z)

y P′

练习2:
设正方体的棱长为2,如图,以D为原点建立 空间直角坐标系,则向量 DB', DC' 的坐标分别 是什么? z
D' B' A' C'

D C

x

A

B

y

例题讲解
例1、已知空间四边形OABC,其对角 线为OB,AC,M,N分别是对边OA, BC的中点,点P,Q是线段MN三等分 点,用基向量 OA, OB, OC
表示向量 OP, OQ
M A Q P C

O

N
B

练习3: 已知平行六面体OABC-O′A′B′C′, 点G是侧面BB′C′C的中心,且 ??? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OC ? b, OO? ? c, 用a, b, c

表示下列向量: ???? ???? ???? ???? () ?, BA?, CA?;(2)OG 1 OB

G

课堂小结:
1、空间向量基本定理:
2、空间向量坐标表示
作业:习题3.1 A组 第11题, P117 A组 第2题


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