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1平面向量的线性运算

平面向量的线性运算 1.平面向量的运算法则: 例 1. AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? _____________ 演变 1.化简: AB ? BC ? CD ? ___; AB ? AD ? DC ? ____; ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? ___ 例 2.在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? a , AD ? b ,且 | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是 演变 1.当 a ? b ? 0 ,且 a , b 不共线时, a ? b 与 a ? b 的位置关系是______ 演变 2.非零向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a , b 的夹角为 演变 3.已知 a 、 b 是两个非零向量,且 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 例 3.有一边长为 1 的正方形 ABCD , 设A B a ? , 则 | a ? b ? c |? BC ? b , AC ? c , , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b ? c |? ________, | ?a ? b ? c |? __________ _. 2.平面向量的数乘运算: 例 1.在 ?ABC 中, AB ? a , AC ? b ,若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? _________。 演变 1.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 OD 的中点, AE 的延长 线与 CD 交于点 F ,若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? _________。 演变 2.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C 满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? _________(用 OA 与 OB 表示) 演变 3.如图所示, 平行四边形 ABCD 中,BM ? 则用 a 、 b 表示向量 MN ? _________。 2 1 BD , CN ? CA , 若A B ? a ,AD ? b , 3 4 例 2.如图,在 ?ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同 的两点 M 、 N ,若 AB ? m AM , AC ? n AN ,则 m ? n 的值为_________。 演变 1.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ? 2DC ,过点 D 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的 两点 M 、 N ,若 AB ? m AM , AC ? n AN ,则 m ? 2 n 的值为_________。 演变 2. M 、 N 分别在 ?ABC 的边 AB 、 AC 上,且 AM 1 AN 1 ? , ? , BN 与 CM 交 AB 3 AC 4 于点 P ,设 AB ? a , AC ? b ,若 AP ? xa ? yb ( x, y ? R ) ,则 x ? y ? ________ 例 3.已知两个非零向量 a 、 b 不共线,若 ka ? b 与 a ? kb 共线,则实数 k 的值为_________ 演变 1.已知两个非零向量 a 、 且 ka ? 2b 与 3a ? kb 共线, 则实数 k 的值为_______ b 不共线, 例 4.若 O 是 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的______心。 演变 1.若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,设 | AP | ? ? ,则 ? 的值为 | PD | 演变 2.已知 ?ABC 所在平面内一点 P ( P 与 A , B , C 都不重合)满足 PA ? PB ? PC ? BC , 则 ?ACP 与 ?BCP 的面积之比为 。 例 5.已知点 O 是 ?ABC 内一点, 且满足 AO ? 2BO ? 3CO ? 0 , 设 Q 是 CO 的延长线与 AB 的交点,记 CO ? P ,则 CQ =( ) A. 1 P 2 B. P C. 2 P D. 3P C 三点 演变 1.已知 OA ? a , 且恰有 a ? 3b ? 2c ? 0 , 则 A 、B 、 ( OB ? b , OC ? c , A.构成直角三角形 B.构成等腰三角形 C.共线 D.无法确定 ? ? ? ? ) 演变 2. 设点 O 在 ?ABC 的内部且满足 : 4OA ? OB ? OC ? 0 ,现将一粒豆子随机撒在 ?ABC 中,则豆子落在 ?OBC 中的概率是______________ ?AOB ? ?BOC ? 120? , 例 6.如图所示, 则O A O ? B O C ? | OA |?| OB |?| OC | , ? _______ 演变 1.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? xAB ? yAC ,则 x ? , y? . 强化练习 1.已知 V ABC 中, 点 D 在 AB 上,CD 平分 ?ACB . 若C B ?a ,CA ? b , a ? 1 , b ? 2 , 则 CD ? ( A. a ? u u r uur uuu r 1 3 ) B. 2 b 3 2 1 a? b 3 3 C. a ? 3 5 4 b 5 D. 4 3 a? b 5 5 2.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AB ? AC ? mAM 成立, 则 m =( A.2 ) B.3 C.4 D.5 3.已知向量 a 、 b ,且 AB ? a ? 2 b , BC ? ?5a ? 6b ,

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