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福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1二项式定理(1)教案 新人教A版选修2-3

福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 二项式定理(1)教案 新 人教 A 版选修 2-3
课题: 课型: 新授课 编写时时间: 第
王新敞
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教学目标: 知识 与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法: 能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可 以猜 想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点:二项式定理及通项公 式的掌握及运用 教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学用具:多媒 体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
0 2 1 2 2 ⑴ (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ;
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教学方法:让学生充分 体验到归纳推理

0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

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⑶ (a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式, 即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b , 展开式各项的系数: 上面 4 个括号中, 每个都不取 b 的情况有 1 种, 即 C4 种,a
3

4

3

2 2

3

4

0

4

0 1 1 的系数是 C4 ; 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种,a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的 2 2 3 情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是
4 3 4 4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种, b 的系数是 C4 , C4 2 2
3

∴ (a ? b) ? C4 a ? C4a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4

二、讲解新课:
0 n 1 n r n ?r r n n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:
n

a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn ,
⑵展开式各项的系数:
1

0 0 每个 都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,……, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n n?r n

n

r br 的系数是 Cn ,……,

n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 0 n 1 n r n ?r r n n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式,
r ⑶它有 n ? 1 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数, r n ?r r r n?r r ⑷ Cn a b . a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn 1 r r ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn

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三、讲解范例: 例 1.展开 (1 ? ) .
4

1 x







4 6 4 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 (1 ? ) 4 ? 1 ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ( )4 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x x x x x x 1 4 1 4 1 4 4 4 1 3 1 2 3 x ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? 1? 解二: (1 ? ) ? ( ) ( x ? 1) ? ( ) ? ? x x x ? 4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x
例 2.展开 (2 x ?

1 6 ) . x

解: (2 x ?

1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x

?

1 1 2 3 2 1 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C6 (2 x) 4 ? C6 (2 x)3 ? C6 (2 x) 2 ? C6 (2 x) ? 1] x3 60 12 1 ? 64 x3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 . x x x
12
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例 3.求 ( x ? a) 的展开式中的倒数第 4 项
12

解: ( x ? a) 的展开式中共 13 项,它的倒数 第 4 项是第 10 项,
9 12?9 9 3 3 9 T9?1 ? C12 x a ? C12 x a ? 220x3a9 .

2

例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项.
2 解: (1) T2?1 ? C6 (2a)4 (3b)2 ? 2160a4b2 , 2 (2) T2?1 ? C6 (3b)4 (2a)2 ? 4860b4a2 .

点评: (2a ? 3b)6 , (3b ? 2a)6 的展开后结果相同,但展开式中的第 r 项不相 同
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例 5. (1)求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式常数项; x

(2)求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式的中间两项 x
r 9

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3 9? r x 9? r 3 r r 2 r ?9 解:∵ Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ? 3 x 2 , 3 x

∴ ( 1 ) 当 9?
6 T7 ? C9 ? 33 ? 2268 ;

3 r ? 0, r ? 6 时 展 开 式 是 常 数 项 , 即 常 数 项 为 2

(2) ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式共 10 项,它的中间两项分别是第 5 项、第 6 项, x
15 9? 42 5 10?9 2 , T ? C ? 3 x ? 378 x3 6 9 x3

T5 ? C94 ? 38?9 x9?12 ?

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教学后记:

3


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