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2015-2016学年宁夏银川市育才中学高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016 学年宁夏银川市育才中学高二(上)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 题,每个题目只有一个正确选项,每题 5 分,共 60 分) . 1.已知椭圆 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距离

( ) A.2 B.3 C.5 D.7 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据条件求出 a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结论. 【解答】解:设所求距离为 d,由题得:a=5. 根据椭圆的定义得:2a=3+d?d=2a﹣3=7. 故选 D. 【点评】 本题主要考查椭圆的定义. 在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题 中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.

2.K 为小于 9 的实数时,曲线

与曲线

一定有相同的(



A.焦距 B.准线 C.顶点 D.离心率 【考点】双曲线的标准方程;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用双曲线和椭圆的简单性质求解. 【解答】解:∵K 为小于 9 的实数时,∴曲线 是焦点在 x 轴的双曲线,

曲线

的焦距为 8,准线方程为 x=

,有四个项点,离心率为,

曲线 .

的焦距为 8,准线方程为 x=

,有两个顶点,离心率为

∴曲线 故选:A.

与曲线

一定有相同的焦距.

【点评】本题考查两曲线是否有相同的焦距、准线、焦点、离心率的判断,是基础题,解题 时要注意双曲线和椭圆的简单性质的合理运用. 3.动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 【考点】轨迹方程. 【专题】常规题型. 【分析】 根据双曲线的定义: 动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时 为双曲线;距离当等于两定点距离时为两条射线;距离当大于两定点的距离时无轨迹. 【解答】解:|PM|﹣|PN|=2=|MN|, 点 P 的轨迹为一条射线 故选 D. 【点评】本题考查双曲线的定义中的条件:小于两定点间的距离时为双曲线. 4.已知向量=(1,1,0) ,=(﹣1,0,2)且 k+与 2﹣互相垂直,则 k 的值是( ) A.1 B. C. D . 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由向量=(1,1,0) ,=(﹣1,0,2) ,求得 k+与 2﹣的坐标,代入数量积的坐标 表示求得 k 值. 【解答】解:∵=(1,1,0) ,=(﹣1,0,2) , ∴k+=k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2) , 2﹣=2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2) , 又 k+与 2﹣互相垂直, ∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k=. 故选:D. 【点评】本题考查空间向量的数量积运算,考查向量数量积的坐标表示,是基础的计算题. 5.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.4x﹣y﹣3=0 B.x+4y﹣5=0 C.4x﹣y+3=0 D.x+4y+3=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】欲求 l 的方程,根据已知条件中:“切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直”可得出切线的斜 率,故只须求出切点的坐标即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几 何意义即可求出切点坐标.从而问题解决. 【解答】解:设与直线 x+4y﹣8=0 垂直的直线 l 为:4x﹣y+m=0, 4 即曲线 y=x 在某一点处的导数为 4, 3 4 而 y′=4x ,∴y=x 在(1,1)处导数为 4, 将(1,1)代入 4x﹣y+m=0,得 m=﹣3, 故 l 的方程为 4x﹣y﹣3=0. 故选 A. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
4

6.实半轴长等于 A. 或

,并且经过点 B(5,﹣2)的双曲线的标准方程是(



B.

C.

D. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】若实轴在 x 轴上,可设其方程为 =1,b>0,若实轴在 y 轴上,可设其方程



=1,b>0,分别把 B(5,﹣2)代入,能求出结果. ,a =20. =1,b>0,
2

【解答】解:由题设,a=2

若实轴在 x 轴上,可设其方程为 把 B(5,﹣2)代入,得 b =16; 若实轴在 y 轴上,可设其方程为
2 2

=1,b>0,

把 B(5,﹣2)代入,得 b =﹣

(舍) ,

故所求的双曲线标准方程为



故选:C. 【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性 质的合理运用.

7.已知动点 P(x,y)满足

,则动点 P 的轨迹是

( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.线段 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】利用椭圆的定义直接求解. 【解答】解:∵动点 P(x,y)满足 ,

∴动点 P 的轨迹是以(﹣3,0) , (3,0)为焦点,实轴长为 5 的椭圆. 故选:B. 【点评】本题考查点的轨迹的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆定义的合理运 用. 8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为( A. B. C. D. )

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;向量法;空间角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 则 A1(1,0,1) ,B(1,1,0) ,D(0,0,0) ,C(0,1,0) , =(0,1,﹣1) , =(1,0,1) , =(0,1,0) ,

设平面 A1B1CD 的法向量=(x,y,z) , 则 ,取 x=1,则=(1,0,﹣1) ,

设直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 θ, sinθ= = =,

∴θ=

, .

∴直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 故选:B.

【点评】本题考查线面角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 9.若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(﹣1)=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【考点】导数的运算. 【专题】整体思想. 【分析】先求导,然后表示出 f′(1)与 f′(﹣1) ,易得 f′(﹣1)=﹣f′(1) ,结合已知,即 可求解. 4 2 【解答】解:∵f(x)=ax +bx +c, 3 ∴f′(x)=4ax +2bx, ∴f′(1)=4a+2b=2, ∴f′(﹣1)=﹣4a﹣2b=﹣(4a+2b)=﹣2, 故选:B. 【点评】本题考查了导数的运算,注意整体思想的应用. 10.下列命题正确的是( ) A.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹是 y=5 B.方程 表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线
2 2 4 2

C.方程(x﹣y) +(xy﹣1) =0 表示的曲线是一条直线和一条双曲线 2 2 D.2x ﹣3y ﹣2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】对 4 个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:A.∵到 x 轴距离为 5 的所有点的纵坐标都是 5 或者﹣5,横坐标为任意值, ∴到 x 轴距离为 5 的所有点组成的图形是两条与 x 轴平行的直线,故不正确; B.方程 表示的曲线是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线,除去原点,故不正确;
2 2

C.方程(x﹣y) +(xy﹣1) =0,即 x﹣y=0 且 xy﹣1=0,即点(1,1)与(﹣1,﹣1) , 不正确; D.2x ﹣3y ﹣2x+m=0 通过原点,则 m=0;m=0 时,2x ﹣3y ﹣2x=0 通过原点,故正确. 故选:D. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 11.函数 在点(1,1)处的切线方程为( )
2 2 2 2

A.x﹣y﹣2=0 B.x+y﹣2=0 C.x+4y﹣5=0 D.x﹣4y+3=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题. 【分析】欲求切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【解答】解:依题意得 y′= ,

因此曲线

在点(1,1)处的切线的斜率等于﹣1,

相应的切线方程是 y﹣1=﹣1×(x﹣1) ,即 x+y﹣2=0, 故选 B. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 12.若直线 y=kx﹣2 与抛物线 y =8x 交于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2, 则 k=( ) A.2 B.﹣1 C.2 或﹣1 D.1± 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】联立直线 y=kx﹣2 与抛物线 y =8x,消去 y,可得 x 的方程,由判别式大于 0,运 用韦达定理和中点坐标公式,计算即可求得 k=2. 2 【解答】解:联立直线 y=kx﹣2 与抛物线 y =8x, 2 2 消去 y,可得 k x ﹣(4k+8)x+4=0, (k≠0) , 2 2 判别式(4k+8) ﹣16k >0,解得 k>﹣1. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ,
2 2

由 AB 中点的横坐标为 2, 即有 =4,

解得 k=2 或﹣1(舍去) , 故选:A. 【点评】本题考查抛物线的方程的运用,联立直线和抛物线方程,消去未知数,运用韦达定 理和中点坐标公式,注意判别式大于 0,属于中档题. 二.填空题(本题共 4 道题,每题 5 分,共 20 分) . 2 13. 若曲线 y=x +ax+b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x﹣y+1=0, 则 a, b 的值分别为 1, 1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用;直线与圆. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由已知切线方程,可得切线的斜率和切点,进 而得到 a,b 的值. 2 【解答】解:y=x +ax+b 的导数为 y′=2x+a, 2 即曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线斜率为 a, 由于在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0, 则 a=1,b=1, 故答案为:1,1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在某点处的导 数即为曲线在该点处切线的斜率,注意切点在切线上,也在曲线上,属于基础题.

14.以等腰直角△ ABC 的两个底角顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 【分析】不妨设 B(﹣c,0) ,C(c,0) ,A(0,b) .则 b=c,a =b +c ,化简解出即可得 出. 【解答】解:不妨设 B(﹣c,0) ,C(c,0) ,A(0,b) . 2 2 2 则 b=c,a =b +c , ∴ c, ∴= , .

故答案为:

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰直角三角形的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 15.已知 f(x)=x +3xf′(2) ,则 f′(2)= ﹣2 . 【考点】导数的运算. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】把给出的函数求导,在其导函数中取 x=2,则 f′(2)可求. 2 【解答】解:由 f(x)=x +3xf′(2) , 得:f′(x)=2x+3f′(2) , 所以,f′(2)=2×2+3f′(2) , 所以,f′(2)=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则,考查了求导函数的值,解答此题的关键是正确 理解原函数中的 f′(2) ,f′(2)就是一个具体数,此题是基础题.
2

16.椭圆

上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2 的面积

为 9 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 椭圆
2 2 2

, 可得 a=5, b=3, c=

. 设|PF1|=m, |PF2|=n, 则 m+n=2a=10,

m +n =(2c) ,联立解出即可得出. 【解答】解:∵椭圆 ∴a=5,b=3,c= , =4.

设|PF1|=m,|PF2|=n, 2 2 2 则 m+n=2a=10,m +n =(2c) =64, ∴mn=18. ∴△PF1F2 的面积=mn=9. 故答案为:9. 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、三角形面积计算公式,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 三.解答题(本题共 6 道小题,共 70 分) . 17.请用函数求导法则求出下列函数的导数. sinx (1)y=e (2)y= (3)y=ln(2x+3) 2 (4)y=(x +2) (2x﹣1) (5) .

【考点】导数的运算. 【专题】转化思想;综合法;导数的概念及应用. 【分析】根据导数的运算法则计算即可. 【解答】解: (1)y′=e (2)
sinx

cosx; ;

(3)
2


2 2 2

(4)y'=(x +2)′(2x﹣1)+(x +2) (2x﹣1)′=2x(2x﹣1)+2(x +2)=6x ﹣2x+4; (5) .

【点评】 本题考察了导数的运算, 熟练掌握常见导数的公式以及对数的运算法则是解题的关 键,本题是一道基础题. 18. (文科)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1, B1C1, C1D1 的中点, 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.

【考点】平面与平面平行的判定. 【专题】证明题.

【分析】连接 B1D1,NE,分别在△ A1B1D1 中和△ B1C1D1 中利用中位线定理,得到 MN∥B1D1,EF∥B1D1,从而 MN∥EF,然后用直线与平面平行的判定定理得到 MN∥面 BDEF.接下来利用正方形的性质和平行线的传递性,得到四边形 ABEN 是平行四边形,得 到 AN∥BE,直线与平面平行的判定定理得到 AN∥面 BDEF,最后可用平面与平面平行的 判定定理,得到平面 AMN∥平面 EFDB,问题得到解决. 【解答】证明:如图所示,连接 B1D1,NE ∵M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点 ∴MN∥B1D1,EF∥B1D1 ∴MN∥EF 又∵MN?面 BDEF,EF?面 BDEF ∴MN∥面 BDEF ∵在正方形 A1B1C1D1 中,M,E,分别是棱 A1B1,B1C1 的中点 ∴NE∥A1B1 且 NE=A1B1 又∵A1B1∥AB 且 A1B1=AB ∴NE∥AB 且 NE=AB ∴四边形 ABEN 是平行四边形 ∴AN∥BE 又∵AN?面 BDEF,BE?面 BDEF ∴AN∥面 BDEF ∵AN?面 AMN,MN?面 AMN,且 AN∩MN=N ∴平面 AMN∥平面 EFDB

【点评】 本题借助于正方体模型中的一个面面平行位置关系的证明, 着重考查了三角形的中 位线定理、线面平行的判定定理和面面平行的判定定理等知识点,属于基础题. 19.已知函数 f(x)=x +x﹣16. (1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程; (2)求曲线 y=f(x)在点(2,﹣6)处的切线的方程; (3)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;分析法;导数的概念及应用. 【分析】 (1)设切点坐标为(x0,y0) ,求出导数,求得切线的斜率,解方程可得切点的坐 标,进而得到切线的方程; (2)求出切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程; (3)设出切点,可得切线的斜率,切线的方程,代入原点,解方程可得切点坐标,进而得 到所求切线的方程. 【解答】解: (1)设切点坐标为(x0,y0) , 3 2 函数 f(x)=x +x﹣16 的导数为 f′(x)=3x +1,
3

由已知得 f′(x0)=k 切=4,即

,解得 x0=1 或﹣1,

切点为(1,﹣14)时,切线方程为:y+14=4(x﹣1) ,即 4x﹣y﹣18=0; 切点为(﹣1,﹣18)时,切线方程为:y+18=4(x+1) ,即 4x﹣y﹣14=0; (2)由已知得:切点为(2,﹣6) ,k 切=f'(2)=13, 则切线方程为 y+6=13(x﹣2) , 即 13x﹣y﹣32=0; (3)设切点坐标为(x0,y0) , 由已知得 f'(x0)=k 切= ,且 ,

切线方程为:y﹣y0=k(x﹣x0) , 即 ,

将(0,0)代入得 x0=﹣2,y0=﹣26, 求得切线方程为:y+26=13(x+2) ,即 13x﹣y=0. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,注意确定切点,考查直线方程的运用,以及 运算能力,属于中档题.

20.已知动圆 P 与圆

相切,且与圆

相内

切,记圆心 P 的轨迹为曲线 C,求曲线 C 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知:F1(﹣3,0) ,r1=9;F2(3,0) ,r2=1,设所求圆圆心 P(x,y) ,半径为 r.作图可得 ,|PF1|+|PF2|=8>6=|F1F2|,

利用椭圆的定义及其标准方程即可得出. 【解答】解:由已知:F1(﹣3,0) ,r1=9;F2(3,0) ,r2=1, 设所求圆圆心 P(x,y) ,半径为 r. 作图可得 ,则有|PF1|+|PF2|=8>6=|F1F2|,
2 2 2

即点 P 在以 F1(﹣3,0) 、F2(3,0)为焦点,2a=8,2c=6 的椭圆上 b =a ﹣c =16﹣9=7, 则 P 点轨迹方程为: .

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆与圆相切的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 21.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=4. (Ⅰ)求证:BD⊥A1C; (Ⅱ)求二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值;

(Ⅲ)在线段 CC1 上是否存在点 P,使得平面 A1CD1⊥平面 PBD,若存在,求出 若不存在,请说明理由.

的值;

【考点】 与二面角有关的立体几何综合题; 直线与平面平行的性质; 直线与平面垂直的性质. 【专题】空间角. 【分析】 (Ⅰ)由已知条件推导出 BD⊥AA1,BD⊥AC,从而得到 BD⊥平面 A1AC,由此 能证明 BD⊥A1C. (Ⅱ) 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利用向量法能求出二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值. (Ⅲ)设 P(x2,y2,z2)为线段 CC1 上一点,且 当 =时,平面 A1CD1⊥平面 PBD. = ,0≤λ≤1.利用向量法能求出

【解答】 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱, ∴AA1⊥平面 ABCD,且 ABCD 为正方形.…(1 分) ∵BD?平面 ABCD,∴BD⊥AA1,BD⊥AC.…(2 分) ∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面 A1AC.…(3 分) ∵A1C?平面 A1AC, ∴BD⊥A1C.…(4 分) (Ⅱ)解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣xyz. 则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,A1(2,0,4) ,B1(2,2,4) , C1(0,2,4) ,D1(0,0,4) ,…(5 分) ∵ =(2,0,0) , =(0,2,﹣4) .

设平面 A1D1C 的法向量=(x1,y1,z1) . ∴ .即 ,…(6 分)

令 z1=1,则 y1=2.∴=(0,2,1) . 由(Ⅰ)知平面 AA1C 的法向量为 =(2,2,0) .…(7 分)

∴cos<

>=

=

.…(8 分)

∵二面角 A﹣A1C﹣D1 为钝二面角, ∴二面角 A﹣A1C﹣D1 的余弦值为﹣ .…(9 分) = ,0≤λ≤1.

(Ⅲ)解:设 P(x2,y2,z2)为线段 CC1 上一点,且 ∵ =(x2,y2﹣2,z2) ,

=(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2) .

∴(x2,y2﹣2,z2)=λ(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2) .…(10 分) 即 ∴P(0,2, . ) .…(11 分) . , ,

设平面 PBD 的法向量 ∵



.即

.…(12 分)

令 y3=1,得=(﹣1,1,﹣ 若平面 A1CD1⊥平面 PBD,则 即 2﹣ 所以当 =0,解得 .

) .…(13 分) =0.

=时,平面 A1CD1⊥平面 PBD.…(14 分)

【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查满足条件的点是 否存在的判断,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 22.已知椭圆 5x +9y =45,椭圆的右焦点为 F, (1)求过点 F 且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长. (2)求以 M(1,1)为中点的椭圆的弦所在的直线方程. (3)过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B,求弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】椭圆 ,右焦点为 F(2,0) .
2 2

(1)过点 F(2,0)且斜率为 1 的直线为 y=x﹣2,设 l 与椭圆交于点 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式: |AB|= 即可得出.

(2) 设 l 与椭圆交于 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由已知得





. 把

点 A,B 的坐标代入椭圆方程,两式相减可得 k,再利用点斜式即可得出.

(3) 设点 P (x, y) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 且

, kAB=kFP, 即



把点 A,B 的坐标代入椭圆方程,两式相减即可得出. 【解答】解:椭圆 ,右焦点为 F(2,0) .

(1)过点 F(2,0)且斜率为 1 的直线为 y=x﹣2,设 l 与椭圆交于点 A(x1,y1) ,B(x2, y2) , 联立 ,消去 y 得 14x ﹣36x﹣9=0,
2

∴ ∴



, .

(2) 设 l 与椭圆交于 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由已知得







联立



两式相减得:5(x1+x2) (x1﹣x2)+9(y1+y2) (y1﹣y2)=0, ∴ ,

∴5+9k=0,即 ∴l 方程为 y﹣1=

. (x﹣1)即 5x+9y﹣14=0.

(3) 设点 P (x, y) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 且

, kAB=kFP, 即



,两式相减得:5(x1+x2) (x1﹣x2)+9(y1+y2) (y1﹣y2)=0,


2 2



整理得:5x +9y ﹣10x=0, 2 2 AB 中点的轨迹方程为 5x +9y ﹣10x=0. 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 一元二次方程的根与系数的关系、 弦长公式、 中点坐标公式、“点差法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.