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第三章、函数的应用

第三章、函数的应用 一、知识要点

1.函数 y=f (x)零点的定义; 2. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象之间关系:
△=b2-4ac
[来源:Z,xx,k.Com]

△>0

△=0

△<0

ax2+ bx+c=0 的根
y y y

y=ax2+bx+c 的图 象

O
x1 x2 x

O x1=x2 x O
x

y=ax +bx+c 的零点 3.函数零点存在的条件:函数 y=f (x)在区间[a,b]上不间断,且 f (a)·f (b)<0,则函数 y=f (x) 在区间(a,b)上有零点.

2

4. 1)方程的解的几何解释:方程 f(x)=g(x)的解,就是函数 y=f(x)与 y=g(x)图象交点 的横坐标. 2) 图象法解方程: 利用两个函数的图象, 可精略地估算出方程 f(x)=g(x)的近似解, 这就是图象法解方程. 注: (1)在 精确度要求不高时,可用图象法求解; (2)在精确 度要求较高时,先用图象法确定解存在的区间 ,再用二分法求解.

第三章、函数的应用

二、经典例题 例 1、求证:二次函数 y=2x2+3x-7 有两个不同的零点.

例 2、在同一坐标系作出函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象,利用图象写出方程 x3-3x+1=0 的近似解(精确到 0.1).

例 3、求证:函数 f(x)=x3+x2+1 在区间(-2,-1)上存在零点.

例 4 在同一坐标系中作出函数 y=2x 与 y=4-x 的图象,利用图象写出方程
2x ? x ? 4 的近似解(精确到 0.1).

例 5、 方程 lgx=x-5 的大于 1 的根在区间(a,a+1)内,则正整数 a =
结合二分法,得 lgx=x-5 的近似解约为 (精确到 0.1) .

.再

例 6、(1)函数 f(x)=2x2-5x+2 的零点是_______



(2)若函数 f(x)=x2-2ax+a 没有零点,则实数 a 的取值范 围是___________; (3)二次函数 y=2x2+px+15 的一个零点是-3,则另一个零点是 ;

(4)已知函数 f(x)=x3-3x+3 在 R 上有且只有一个零点,且该零点在区间[t,t+1] 上,则实数 t=___ __.

三、第三章、函数的应用基础训练 2 1 对函数 f ( x) ? 3x ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是 ( 1 A g (t ) ? log 1 t B g (t ) ? ( ) t 2 2
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)

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C g(t)=(t-1)2 D g(t)=cost 2 方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程 f(2-x,y)=0 的曲线是 ( )
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y
-2 -1 o 1 2
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y

y
x
2

y
x
-1 o 1 2 C

y

x

-1 o 1 2 A

-2 -1 o 1 B

x

-2 -1 o 1 D

x
x
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3 已知命题 p:函数 y ? log 0.5 ( x ? 2 x ? a) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ?(5 ? 2a) 是减函数 若
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p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 A a≤1 B a<2 C 1<a<2 D a≤1 或 a≥2 4 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,+∞)
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5 如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A f(2)<f(1)<f(4) B f(1)<f(2)<f(4) C f(2)<f(4)<f(1) D f(4)<f(2)<f(1) 6 已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a (a 是常数)( ) A 有且仅有一个实根 B 至多一个实根 C 至少一个实根 D 不同于以上结论
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π 1 ,θ ∈( ,π ),则 tanθ 的值是( 2 5 4 3 4 3 A - B - C D 3 4 3 4 8 已知等差数列的前 n 项和为 S n ,且 S p ? S q ,则 S p ? q =____
7 已知 sinθ +cosθ =
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9 关于 x 的方程 sin x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是____ 10 正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为_________
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11 建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为_________ 12 已知函数 f ( x ) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则
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f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
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13 已知 a, b, c 为正整数,方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且 | x1 |? 1,| x2 |? 1 ,则
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a ? b ? c 的最小值为_____________
14 设函数 f(x)=lg(ax +2x+1)
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(1)若 f(x)的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域是 R,求实数 a 的取值范围
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15 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立 求 x 的取值范围
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基础训练参考答案
1 不改变 f(x)值域,即不能缩小原函数定义域 选项 B,C,D 均缩小了 f ( x) 的定义域,故选 A 2 先作出 f(x,y)=0 关于 y 轴对称的函数的图象,即为函数 f(-x,y)=0 的图象,又 f(2-x,y)=0 即为
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f (?( x ? 2), y) ? 0 ,即由 f(-x,y)=0 向右平移 2 个单位 故选 C
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3 命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x 2 ? 2 x ? a 的判别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2, 故选 C 4 图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法) ,选 C; 5 函数 f(x)的对称轴为 2,结合其单调性,选 A; 6 从反面考虑,注意应用特例,选 B;
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1? x2 1 ? 2x 7 设 tan =x (x>0) ,则 + = ,解出 x=2,再用万能公式,选 A; 2 5 1? x2 1? x2 S p? q Sn m m 8 利用 是关于 n 的一次函数,设 S p =S q =m, =x,则( ,p) 、( ,q)、(x,p+q)在 p?q p q n
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同一直线上,由两点斜率相等解得 x=0,则 答案:0; 9 设 cosx=t,t∈[-1,1],则 a=t -t-1∈[-
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5 ,1], 4

所以答案:[-
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5 ,1]; 4 4 16 ,造价 y=4×120+4x×80+ ×80≥1760, x x
f (n ? 1) ? f (1) =2,且 f ( n)

10 设高 h,由体积解出 h=2 3 ,答案:24 6 ;
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11 设长 x,则宽
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答案:1760
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12 运用条件知:
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f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7) 2 f (2) 2 f (4) 2 f (6) 2 f (8) = =16 ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
? ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 13 依题意可知 ? ,从而可知 x1 , x2 ? (?1, 0) ,所以有 b ? x1 ? x2 ? ? ? 0 ? a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?
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? ?b 2 ? 4ac ? 0 ?b2 ? 4ac ? ? ? f (?1) ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? a ? c ,又 a, b, c 为正整数,取 c ? 1 , ? ?c ? a c ? ? x1 x2 ? ? 1 a ?

则 a ? 1 ? b ? a ? b ,所以 a 2 ? b2 ? 4ac ? 4a ? a ? 4 , 从而 a ? 5 ,所以 b2 ? 4ac ? 20 ,又 b ? 5 ? 1 ? 6 ,所以 b ? 5 , 因此 a ? b ? c 有最小值为 11
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下面可证 c ? 2 时,a ? 3 ,从而 b ? 4ac ? 24 ,所以 b ? 5 , 又 a ? c ? b ? 5 ,所以 a ? c ? 6 , 所以 a ? b ? c ? 11 , 综上可得: a ? b ? c 的最小值为 11
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14 分析:这是有关函数定义域、值域的问题,题目是逆向给出的,解好本题要运用复合函数,把 f(x)
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分解为 u=ax 2 +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解
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解:(1) f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) 的定义域是 R ? u ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立
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因为 a=0 或 a<0 不合题意,所以 ?
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?a ? 0 ,解得 a>1 ?? ? 0
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(2) f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) 的值域是 R ? u ? ax ? 2 x ? 1 能取遍一切正实数 当 a<0 时不合题意; 当 a=0 时,u=2x+1,u 能取遍一切正实数; 当 a>0 时,其判别式Δ =22-4×a×1≥0,解得 0<a≤1
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所以当 0≤a≤1 时 f(x)的值域是 R 15 分析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论 然而,若变换一个角度以 m
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为变量,即关于 m 的一次不等式(x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立的问题 对此的研究,设
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f(m)=(x -1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负 值时参数 x 应该满足的条件 ?

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? f ( 2) ? 0 ? f ( ?2 ) ? 0

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解:问题可变成关于 m 的一次不等式:(x 2 -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2] 恒成立,设 f(m)=(x 2

? f ( 2 ) ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ? -1)m-(2x-1), 则 ? ? f ( ?2 ) ? ?2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ? 7 ?1 3 ?1 解得 x∈( , ) 2 2
说明 本题的关键是变换角度,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭 区间上的值域问题 本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)的解集是[-2,2]时求 m 的值、关于
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x 的不等式 2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围

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一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题 更明朗化 或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而
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巧妙地解决有关问题

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