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广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)


2013 年广东省东莞市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 分) (5 (2013?东莞二模)设 z=1﹣i(是虚数单位) ,则 A.2 B.2+i C.2﹣i =( ) D.2+2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵z=1﹣i,∴ , = ∴ = =1+i+1+i=2+2i.

=



故选 D. 点评: 熟练掌握复数的运算法则和共轭复数的定义是解题的关键. 2. 分) (5 (2013?东莞二模)命题“?x∈R,x +1≥1”的否定是( ) 2 2 2 A.?x∈R,x +1<1 B.?x∈R,x +1≤1 C.?x∈R,x +1<1
2

D.?x∈R,x +1≥1

2

考点: Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 规律型. 分析: 全称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是特称命题:“?x∈A,非 P(x)”,结合已知中原命题“?x∈R, 都有有 x +1≥1”,易得到答案. 2 解答: 解:∵原命题“?x∈R,有 x +1≥1” 2 ∴命题“?x∈R,有 x +1≥1”的否定是: 2 ?x∈R,使 x +1<1. 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握全称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是特称命题: “?x∈A,非 P(x)”,是解答此类问题的关键. 3. 分) (5 (2013?湛江一模)若 a0=( A.1 ) B.32 C.﹣1 D.﹣32 ,则
2

考点: 二项式定理的应用. 专题: 概率与统计. 分析: 根据 (x+1)5=[2+(x﹣1)]5= (X﹣1) +
4 5

?2 +

5

?2 (x﹣1)+

4

?2 ?(x﹣1) +

3

2

?2 (x﹣1) +

2

3

?2?

?(x﹣1) ,结合所给的条件求得 a0 的值.

解答: 解:∵(x+1)5=[2+(x﹣1)]5= (X﹣1) + 而且 故 a0= ?2 =32,
5 4

?2 +

5

?2 (x﹣1)+

4

?2 ?(x﹣1) +

3

2

?2 (x﹣1) +

2

3

?2?

?(x﹣1) , ,

5

故选 B. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用, 二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数, 属于中档题. 4. 分) (5 (2013?梅州一模)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 ,则 a=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先由三视图画出几何体的直观图,理清其中的线面关系和数量关系,再由柱体的体积计算公式代入 数据计算即可. 解答: 解:由三视图可知此几何体为一个三棱柱,其直观图如图:底面三角形 ABC 为底边 AB 边长为 2 的三角形,AB 边上的高为 AM=a,侧棱 AD⊥底面 ABC,AD=3, ∴三棱柱 ABC﹣DEF 的体积 V=S△ ABC×AD= ×2×a×3=3 ∴a= . 故选 C. ,

点评: 本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想 象能力 5. 分) (5 (2013?东莞二模)已知函数 y=sinx+cosx,则下列结论正确的是( )

A. C.

此函数的图象关于直线 此函数在区间

对称 上是增函数.

B. 此函数的最大值为 1; D.此函数的最小正周期为 π.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的单调 性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 解答: 解:因为函数 y=sinx+cosx= sin(x+ ) , 当 时函数值为:0,函数不能取得最值,所以 A 不正确; sin(x+ ) ,当 x= ) ,即 x 在 时函数取得最大值为 ,B 不正确;

函数 y=sinx+cosx= 因为函数 x+ ∈(

上函数是增函数,所以函数在区间

上是增函数,正确. 函数的周期是 2π,D 不正确; 故选 C. 点评: 本题考查三角函数的化简求值,正弦函数的周期与最值、单调性与对称性,考查基本知识的应用. 6. 分) (5 (2013?湛江一模)已知函数 f(x)=lg(x ﹣anx+bn) ,其中 an,bn 的值由如图的程序框图产生, 运行该程序所得的函数中,定义域为 R 的有( )
2

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 要使函数 f(x)=lg(x2﹣a x+b )定义域为 R,则必须满足△ = n n 输出的数值 ai,及 bi(i=1,2,3,4,5)进行判定即可.

<0,成立.由循环结构

解答: 解:要使函数 f(x)=lg(x2﹣a x+b )定义域为 R,则必须满足△ = n n

<0,成立.

①a0←1,b0←﹣1,n←1,n<5,运行循环结构,输出 a1←1+1,b1←﹣1+2,不满足△ <0; ②a2←2,b0←1,n←2,n<5,运行循环结构,输出 a2←2+1,b1←1+2,满足△ <0; ③a2←3,b2←3,n←3,n<5,运行循环结构,输出 a3←3+1,b3←3+2,满足△ <0; ④a3←4,b3←5,n←4,n<5,运行循环结构,输出 a4←4+1,b4←5+2,满足△ <0; ⑤a4←5,b4←7,n←5,n=5≤5,运行循环结构,输出 a5←5+1,b5←7+2,不满足△ <0; ⑥n←6>5,停止循环结构运行. 综上可知:只有②③④满足△ <0. 2 2 因此可以得到以下 3 个定义域为 R 的函数:f(x)=lg(x ﹣3x+3) ,f(x)=lg(x ﹣4x+5) ,f(x) 2 =lg(x ﹣5x+7) . 故选 C. 点评: 正确判定使函数 f(x)=lg(x ﹣anx+bn)定义域为 R 的条件△ <0,及理解循环结构的功能是解题 的关键. 7. 分) (5 (2013?湛江一模)设命题 p:“若对任意 x∈R,|x+1|+|x﹣2|>a,则 a<3”;命题 q:“设 M 为平 面内任意一点, A、 C 三点共线的充要条件是存在角 α, 则 B、 使 A.p∧q 为真命题 B.p∨q 为假命题 C.¬p∧q 为假命题 ”, ( 则 D.¬p∨q 为真命题 )
2

考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 压轴题. 分析: 因为|x+1|+|x﹣2|表示 x 到﹣1 与 2 的距离,所以|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3,判定出命题 p 为真命题, 根据三点共线的充要条件判定出命题 q 为真命题. 根据复合命题的真假与构成其简单命题的真假的 关系得到¬p∧q 为假命题, 解答: 解:因为|x+1|+|x﹣2|表示 x 到﹣1 与 2 的距离, 所以,|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3, 所以对任意 x∈R,|x+1|+|x﹣2|>a, 只需要 3>a 即 a<3, 所以命题 p 为真命题, 所以¬p 为假命题, 因为 所以 = , =

所以 A、B、C 三点共线, 反之,A、B、C 三点共线, 所以存在 λ,μ 使得 所以存在 α 使得 λ=sin α,μ=cos α 所以存在角 α,使 所以命题 q 为真命题, 所以¬p∧q 为假命题, ”,
2 2

其中 λ+μ=1

故选 C. 点评: 本题考查绝对值的几何意义以及三点共线的充要条件,考查解决不等式恒成立转化为求函数的最 值,属于中档题. 8. 分) (5 (2013?肇庆一模)在实数集 R 中定义一种运算“⊕”,具有性质: ①对任意 a,b∈R,a⊕b=b⊕a; ②对任意 a∈R,a⊕0=a; ③对任意 a,b,c∈R, (a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(b⊕c)﹣2c. 函数 f(x)=x⊕ (x>0)的最小值为( A.4 B.3 ) C.2 D.1

考点: 进行简单的合情推理;函数的值域. 专题: 计算题;新定义. 分析: 根据题中给出的对应法则,可得 f(x)=(x⊕ )⊕0=1+x+ ,利用基本不等式求最值可得 x+ ≥2, 当且仅当 x=1 时等号成立,由此可得函数 f(x)的最小值为 f(1)=3. 解答: 解:根据题意,得 f(x)=x⊕ =(x⊕ )⊕0=0⊕(x? )+(x⊕0)+( ⊕0 )﹣2×0=1+x+ 即 f(x)=1+x+ ∵x>0,可得 x+ ≥2,当且仅当 x= =1,即 x=1 时等号成立 ∴1+x+ ≥2+1=3,可得函数 f(x)=x⊕ (x>0)的最小值为 f(1)=3 故选:B 点评: 本题给出新定义,求函数 f(x)的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法 和简单的合情推理等知识,属于中档题. 二、 填空题: (本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 30 分, 共 把答案填在答题卡的相应位置. ) (一) 必做题 (9~ 13 题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 9. 分) (5 (2013?东莞二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4+a8=2,S11= 11 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a1+a11=a4+a8=2,代入求和公式故 S11= 解答: 解:由等差数列的性质可得 a1+a11=a4+a8=2, 故 S11= 故答案为:11 = =11 ,计算即可.

点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

10. 分) (5 (2013?东莞二模)已知 x>0,y>0,且

,则 2x+3y 的最小值为



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把 代入可得,2x+3y=(2x+3y) ( 解答: 解:由题意可得 2x+3y=(2x+3y) ( = 当且仅当 +29≥2 ,即 x= +29=29+6 ,y= )

)=

+29,由基本不等式可得答案.

时取等号,

故 2x+3y 的最小值为: 故答案为: 点评: 本题考查基本不等式的应用, 把 属基础题. 11. 分) (5 (2013?东莞二模)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a= 2 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,再根据两直线垂直建 立等式关系,解之即可. 解答: 解:∵y=eax∴y′=aeax ∴曲线 y=e 在点(0,1)处的切线方程是 y﹣1=a(x﹣0) ,即 ax﹣y+1=0 ∵直线 ax﹣y+1=0 与直线 x+2y+1=0 垂直 ∴﹣ a=﹣1,即 a=2. 故答案为:2 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的应用等有关问题,属于基础 题. 12. 分) (5 (2013?东莞二模) 2 .
ax ax

代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关键,

=

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 直接根据定积分的定义求解即可. π 解答: 解:∵∫0 (sinx+cosx)dx π =(﹣cosx+sinx)|0 =(﹣cosπ+sinπ)﹣(﹣cos0+sin0)

=2. 故答案为:2. 点评: 本题主要考查定积分的简单应用,属于基础题.

13. 分) (5 (2013?东莞二模)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( ) 的 x 取值范围是 ( , ) .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 压轴题. 分析: 本题采用画图的形式解题比较直观. 解答: 解:如图所示: ∵f(2x﹣1)<f( ) ∴﹣ <2x﹣1< , 即 <x< . 故答案为: , ) (

点评: 本题考查函数的奇偶性的应用.关键是利用了偶函数关于 y 轴对称的性质. 14. 分) (5 (2013?东莞二模) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1: ,则 C1 上到 C2 的距离等于 的点的个数为 3 . 和曲线 C2:

考点: 直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离等于半径的一半 ,可得圆上到直线的距 离等于 的点的个数. 解答: 解:将方程 与 化为直角坐标方程得 与 x﹣y﹣

2=0, 可知 C1 为圆心在坐标原点,半径为 r=

的圆,C2 为直线,因圆心到直线 x﹣y﹣2=0 的距离为

= , 故满足条件的点的个数 n=3, 故答案为 3.

点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位 置关系,属于中档题. 15. (2013?东莞二模) (几何证明选讲选做题) 如图所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长线于 点 C.若 CB=2,CE=4,则 AD 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 设出圆的半径直接利用切割线定理求出圆的半径,通过三角形相似列出比例关系求出 AD 即可. 2 解答: 解:设 r 是⊙O 的半径.由切割线定理可知:CE =CA?CB, 2 即 4 =(2r+2)×2,解得 r=3. 因为 EC 是圆的切线,所以 OE⊥EC,AD⊥DC, 所以△ ADC∽△OEC,所以 解得 AD= 故答案为: . . = , = ,

点评: 本题考查圆的切割线定理的应用,三角形相似的证明以及应用,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2013?东莞二模)已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 的值;

(3)设

,求

的值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;同角三角函数基本关系的运用;诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)找出 ω 的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期; (2)将 x=3α+ 代入函数解析式,根据已知等式利用诱导公式化简求出 tanα 的值,所求式子利

用诱导公式变形后,分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间的基本关系弦化切变形后,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)f(x)的最小正周期为 T= =3π;

(2)将 x=

代入得:f(

)=tan(



)=tan )﹣

=



(3)由 f(3α+ ∴tanα=﹣ , ∵cosα≠0,

)=﹣ ,得 tan[ (3α+

]=﹣ ,即 tan(π+α)=﹣ ,

则原式=

=

=

=﹣3.

点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法, 同角三角函数间的基本关系的运用, 以及诱导公式的作用, 熟练掌握公式是解本题的关键. 17. (12 分) (2013?东莞二模)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单 位:万盒)的数据如下表所示: 1 2 3 4 5 月份 x 4 4 5 6 6 y(万盒) (1) 该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 = + , 根据表中数据已经正确计算出 =0.6, 试求出 的

值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数; (2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒,小红同学从中随 机购买了 3 盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学 所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;线性回归方程;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)由线性回归方程过点( , ) ,得 = ﹣ ,而 , 易求,且 =0.6,从而可得 的值,把 x=6 代入回归方程可得 6 月份生产的甲胶囊产量数;

(2)ξ=0,1,2,3,利用古典概型的概率计算公式可得 P(ξ=0) 、P(ξ=1) 、P(ξ=2) 、P(ξ=3) , 从而可得 ξ 的分布列,由期望公式可求 ξ 的期望; 解答: 解: (1) = =3, (4+4+5+6+6)=5,

因线性回归方程 = x+ 过点( , ) , ∴ = ﹣ =5﹣0.6×3=3.2,

∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: =0.6×6+3.2=6.8. (2)ξ=0,1,2,3,

P(ξ=0)=

=

,P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)= 其分布列为 ξ0 1 2 3 P 所以 Eξ=

=

,P(ξ=3)=

=



= .

点评: 本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望,考查学生分析解决问题的能力.

18. (14 分) (2013?肇庆一模)如图,PA 垂直⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB,BF= C 是弧 AB 的中点. (1)证明:BC⊥平面 PAC; (2)证明:CF⊥BP; (3)求二面角 F﹣OC﹣B 的平面角的正弦值.



考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用线面垂直的性质及已知 PA⊥平面 ABC,可得 BC⊥PA.再利用∠ACB 是直径所对的圆 周角,可得 BC⊥AC.再利用线面垂直的判定定理即可证明结论; (2)由于 PA⊥平面 ABC,利用线面垂直的性质即可得到 OC⊥PA.再利用等腰三角形的性质可得 OC⊥AB,得到 OC⊥平面 PAB,取 BP 的中点为 E,连接 AE,可得 OF∥AE,AE⊥BP,进而得到 BP⊥平面 CFO 即可. (3)利用(2)知 OC⊥平面 PAB,可得 OF⊥OC,OC⊥OB,于是∠BOF 是二面角 F﹣OC﹣B 的 平面角.由已知可得∠FOB=45°即可得出. 解答: (1)证明:∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴BC⊥PA. ∵∠ACB 是直径所对的圆周角, ∴∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (2)∵PA⊥平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC⊥PA. ∵C 是弧 AB 的中点,∴△ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC⊥AB. 又∵PA∩AB=A,∴OC⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB, ∴BP⊥OC. 设 BP 的中点为 E,连接 AE,则 OF∥AE,AE⊥BP, ∴BP⊥OF. ∵OC∩OF=O,∴BP⊥平面 CFO.又 CF?平面 CFO,∴CF⊥BP. (3)解:由(2)知 OC⊥平面 PAB,∴OF⊥OC,OC⊥OB, ∴∠BOF 是二面角 F﹣OC﹣B 的平面角. 又∵BP⊥OF,∠FBO=45°,∴∠FOB=45°, ∴ ,即二面角 FOOC﹣B 的平面角的正弦值为 .

点评: 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、 圆的性质、 三角形的中位线定理、 等腰三角形的性质、 二面角等基础知识与基本技能,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力. 19. (14 分) (2013?韶关一模)设等差数列{an}的公差 d≠0,数列{bn}为等比数列,若 a1=b1=a,a3=b3,a7=b5 (1)求数列{bn}的公比 q; (2)将数列{an},{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn},是否存在正整数 λ,μ, ω(其中 λ<μ<ω)使得 λ,μ,ω 和 cλ+λ,cμ+μ,cω+ω 均成等差数列?若存在,求出 λ,μ,ω 的值,若 不存在,请说明理由. 考点: 等差数列与等比数列的综合;等比数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)设{bn}的公比为 q,依题意,由 可求得 q=±



(2)若{an}与{bn}有公共项,不妨设 an=bm,由于 m 为奇数,且 n= 可求得 bm=a?2
k﹣1

,令 m=2k﹣1(k∈N ) ,

*

,于是有 cn=2

n﹣1

a,假设存在正整数 λ,μ,ω(其中 λ<μ<ω)满足题意,设 p=λ,

q=μ,r=ω 则

,利用基本不等式可求得 q

> 解答:

,与题设 q=

矛盾,从而可得结论.

解: (1)设{bn}的公比为 q,由题意

,即

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) q=1 不合题意,故 = ,解得 q =2,
2

∴q=± ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)若{an}与{bn}有公共项,不妨设 an=bm, 由(2)知:m 为奇数,且 n= 令 m=2k﹣1(k∈N ) ,则 bm=a?
n﹣1 *

, =a?2
k﹣1



∴cn=2 a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 若存在正整数 λ,μ,ω(其中 λ<μ<ω)满足题意, 设 p=λ,q=μ,r=ω 则 ,

∴2 =2

q

p﹣1

+2

r﹣1

,又 2

p﹣1

+2

r﹣1

≥2

=

(当且仅当 p=r 时取“=”)

又 p≠r, ∴又 2
p﹣1 x

+2

r﹣1



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

又 y=2 在 R 上增, ∴q> .与题设 q= 矛盾,

∴不存在 λ,μ,ω 满足题意.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(16 分) 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查方程思想与运算求解的能力和推理论证的能力,属于难 题.

20. (14 分) (2013?梅州二模)已知椭圆

的离心率为

,直线 l:y=x+2 与

以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直于直线 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程;

(3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R,S 在 C2 上,且满足

,求

的取值范围.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;平面向量数量积的运算;轨迹方程;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)先由离心率为 ,求出 a,b,c 的关系,再利用直线 l:y=x+2 与以原点为圆心、椭圆 C1 的 短半轴长为半径的圆相切,求出 b 即可求椭圆 C1 的方程; (2)把题中条件转化为动点 M 的轨迹是以 l1:x=﹣1 为准线,F2 为焦点的抛物线,即可求点 M 的 轨迹 C2 的方程; (3)先设出点 R,S 的坐标,利用 标表示出 解答: 解: (1)由 求出点 R,S 的坐标之间的关系,再用点 R,S 的坐 的取值范围.
2 2 2

,利用函数求最值的方法即可求
2 2

得 2a =3b ,又由直线 l:y=x+2 与圆 x +y =b 相切,





,∴椭圆 C1 的方程为:

. 分) (4

(2)由 MP=MF2 得动点 M 的轨迹是以 l1:x=﹣1 为准线, 2 F2 为焦点的抛物线,∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y =4x. 分) (8 (3)Q(0,0) ,设 ,







,得

,∵y1≠y2

∴化简得

, (10 分)



(当且仅当 y1=±4 时等号成立) ,

∵ 又∵y2 ≥64,∴当 y2 =64,即 y2=±8 时 ∴ 的取值范围是 . (13 分)
2 2

, ,

点评: 本题是对圆与椭圆知识的综合考查.当直线与圆相切时,可以利用圆心到直线的距离等于半径求

解. ,也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为 0 求解. 21. (14 分) (2013?东莞二模)已知函数 (1)若 a=1,求 g(x)的单调减区间; (2)若对任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2,都有 ,求实数 a 的取值范围; ,函数 f(x)是函数 g(x)的导函数.

(3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M,使得对任意 x∈[M,0]时|f(x) |≤4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用导数小于 0,可得函数的单调减区间. (2)先
2

用函数 f(x)的表达式表示出来,再进行化简得﹣

(x1﹣x2) <0,由此式即可求得实数 a 的取值范围; (3)本小题可以从 a 的范围入手,考虑 0<a<2 与 a≥2 两种情况,结合二次的象与性质,综合运 用分类讨论思想与数形结合思想求解. 解答: 解: (1)当 a=1 时,g(x)= x +2x ﹣2x,g′(x)=x +4x﹣2 …(1 分) 由 g′(x)<0 解得﹣2﹣ <x<﹣2+ ∴当 a=1 时函数 g(x)的单调减区间为 (﹣2﹣ 2 (2)易知 f(x)=g′(x)=x +4x﹣2 依题意知 …(2 分) ,2+ ) ;…(3 分)
3 2 2

=a(

) +4×

2

﹣2﹣

=﹣ (x1﹣x2) <0 …(5 分) 因为 x1≠x2,所以 a>0,即实数 a 的取值范围是(0,+∞) ;…(6 分) (3)易知 f(x)=ax +4x﹣2=a(x+ ) ﹣2﹣ ,a>0. 显然 f(0)=﹣2,由(2)知抛物线的对称轴 x=﹣ <0 …(7 分)
2 2

2

①当﹣2﹣ <﹣4 即 0<a<2 时,M∈(﹣ ,0)且 f(M)=﹣4 令 ax +4x﹣2=﹣4 解得 x=
2

…(8 分)

此时 M 取较大的根,即 M=

=

…(9 分)

∵0<a<2,∴M=

=

>﹣1

…(10 分)

②当﹣2﹣ ≥﹣4 即 a≥2 时,M<﹣ 且 f(M)=4 令 ax +4x﹣2=4 解得 x=
2

…(11 分) …(12 分)

此时 M 取较小的根,即 M=

=

∵a≥2,∴M=

=

≥﹣3 当且仅当 a=2 时取等号 …(13 分)

由于﹣3<﹣1,所以当 a=2 时,M 取得最小值﹣3 …(14 分) 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知 识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.


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