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湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

华中师大一附中 2016-2017 学年度第一学期期中考试 高三年级理科数学试卷
试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是符 合要 求的。 1.集合 A ? { y | y ? 2 x ?1} , B ? {x || 2 x ? 3 |? 3} ,则 A ? B ? A. {x | 0 ? x ? 3} B. {x | 1 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 1 ? x ? 3}

2.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.数列{an}中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 2n ,则 a17 ? A. ? 15 ? 216 4. sin? ? cos? ? ? A. ?3 B. 15? 217 C. ? 16 ? 216 D. 16 ? 217

10 , ? 是第二象限的角,则 tan ? ? 5

B. ?2

C. ?

1 3

D. ?

1 2

5.已知向量 a ? (2 cos2 x, 3 ) ,b= (1, sin 2 x) .设 f ( x) ? a·b,若 f (? ? ) ? 2, ? ?[ , ? ] , 3 2 则

?

?

sin 2? ( ? )? 6
A. ?
3 2

?

B.

1 2

C. ?

1 2

D.

3 2

6 . 两 个 单 位 向 量 OA , OB 的 夹 角 为 60? , 点 C 在 以 O 圆 心 的 圆 弧 AB 上 移 动 ,

OC ? xOA ? yOB ,
则 x ? y 的最大值为 A.1 B.
2 6 3

C. 3

D.

2 3 3

? 3 ,x ? a ? 7.已知函数 f ( x) ? ? | x ? a | ,若函数 y ? f ( x) ? 4 有 3 个零点,则 a 的值为 ?a ,x ? a ?

A.3

B.4

C.5

D.6

8.下列四个命题中,正确的个数是 ①命题“存在 x ? R , x 2 ? x ? 0 ”的否定是“对于任意的 x ? R , x 2 ? x ? 0 ” ; ②若函数 f ( x) 在(2016, 2017)上有零点,则 f (2016) ? f (2017) ? 0 ; ③在公差为 d 的等差数列{an}中,a1=2, a1, a3, a4 成等比数列,则公差 d 为 ? ④函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 在 [0, ] 上的单调递增区间为 [0, ] ; 2 8 A.0 9.若 B.1 C.2
1

1 ; 2

?

?

D.3

?
2

? ? ? ? , P ? 3cos? , Q ? (cos? )3 , R ? (cos? ) 3 ,则 P,Q,R 的大小关系为
B. Q ? R ? P C. P ? Q ? R D. R ? P ? Q

A. R ? Q ? P

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10.实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,若目标函数 z ? mx ? y (m ? 0) 的最大值为 5,则 m 的值为 ?y ?1 ?

A.

1 5

B.

1 2

C.2

D.5

11.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) , f ' ( x)( x ? 1) ? 0 ,则对任意的 x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 2 的

A.充分不必要条件 C.必要不充分条件

B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知函数 y ? f ( x) 的定义域的 R,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x, y ? R ,等 式
f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) 成立,若数列{an}满足 f (an ?1 ) f (
1 ) ? 1(n ? N * ) ,且 a1 ? f (0) , 1 ? an

则下 列结论成立的是 A. f (a2013 ) ? f (a2016 ) B. f (a2014 ) ? f (a2017 )

C. f (a2016 ) ? f (a2015 )

D. f (a2013 ) ? f (a2015 )

第Ⅱ卷
二、 填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分,请将答案填写在答题卡对应题号的位置上. 答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
?x ? 0 ? 13. 关于 x 的不等式 ? x ? y ? 0 表示的平面区域是等腰直角三角形,则该三角形的面积为 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?

. 14. 在△ABC 中,4 cos2

A 7 则△ABC 面积的最大值是 ? cos 2( B ? C ) ? ,a ? 2 , 2 2




1 1 15.已知 a ? 1 , b ? 1 ,且 ln a , , ln b 成等比数列,则 ab 的最小值为 4 4

16.已知函数 f ( x) ? m( x ? m ? 5) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若任意的 x ? R ,总有 f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 , 则 m 的取值范围是 .

三、解答题:写出文字说明,证明过程或演算过程。 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ( 3 sin?x ? cos?x) cos?x ? (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)锐角三角形 ABC 中, (2a ? c) cos B ? b cos C ,求 f ( A) 的取值范围.

1 ,其中 ? ? 0 ,若 f ( x) 的最小正周期为 4? . 2

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,△ABC 中,D 为 AC 的中点, AB ? 2 , BC ? 7 , ?A ? (1)求 cos ?ABC 的值; (2)求 BD 的值.
C A D

?
3


B

19. (本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 2n ? 1 (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn ? an 2n ,求{bn}的前 n 项和 Tn.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) . 1 ? x2

(1)试讨论 y ? f ( x) 的极值; (2)若 a ? 0 ,设 g ( x) ? x 2 e mx ,且任意的 x1, x2 ?[0,2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?1 恒成立,求 m 的取 值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ln x (其中 a 是实数) . (1)求 f ( x) 的单调区间;

1 20 (2)若设 2(e ? ) ? a ? ,且 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ( x1 ? x2 ) ,求 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 取值 e 3
范 围. (其中 e 为自然对数的底数) .

22. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ?| x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)关于 x 的不等式 f ( x) ?

3 2 a ? a 的解集为 R,求 a 的取值范围. 2

高三年级理科数学参考答案
ABACC
13.

DBBAC

BD
15.e 16. ?6 ? m ? 0

1 1 或 ; 2 4

14. 3

17.(1) f ( x ) ?

1 cos 2? x ? sin(2? x ? ? ) …………………………………….3 分 2 2 6 1 ? 最小正周期为 4? , ∴ f ( x) ? sin( x ? ) …………………………………………………………4 分 2 6 ? 1 ? ? 4? 2? 2k? ? ? x + ? 2k? + ,k ? Z , 4k? ? ? x ? 4k? + ,k ? Z 2 2 2 2 3 3 4? 2? , 4 k? + ],k ? Z …………………………………6 分 ∴f(x)的单调递增区间为 [4k? ? 3 3 sin 2? x ?

3

1

(2)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,∴ (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 整理得 2sin A cos B ? sin A, cos B ?

1 ? , B ? ,………………………………………………8 分 2 3

? ? 0? A? , ? ? ? ? 2 ∵锐角三角形 ABC,∴ ? ,∴ ? A ? ………………………………………………10 分 6 2 ?0 ? 2? ? A ? ? ? 3 2 ?
?
4 ? 1 ? 5? 2 6? 2 A? ? ………………………………………………………………..12 分 ? f ( A) ? 2 6 12 , 2 4

18. (1)在△ABC 中,

AB BC 3 2 ? ;sin C ? ,? cos C ? sin C sin A 7 7

2 2 2 cos ?ABC ? cos( ? ? C ) ? cos ? cos C ? sin ? sin C 3 3 3
=

7 ………………………………………………………………………………………………………………………6 分 14
2 2 2 (2)在△ABC 中, AC ? AB ? BC ? 2AB ? BC cos ?ABC ? 9 , AC ? 3

在△ABD 中, BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos A ?

13 13 , BD ? . ………………………12 分 4 2

19.(1) an ? ?

?6n ? 1, n ? 2 ………………………………………………………………………………………………..4 分 ?6, n ? 1

(2)n=1 时, T1 ? b1 ? a1 ? 2 ? 12 ……………………………………………………………………..5 分 n>1 时,

Tn ? 6 ? 21 ? 11? 22 ? 17 ? 23 ? ... ? (6n ? 1) ? 2n 2Tn ? 6 ? 22 ? 11? 23 ? 17 ? 24 ? ... ? (6n ? 7) ? 2n ? (6n ? 1) ? 2 n?1

……9 分

Tn ? ?32 ? 6(23 ? 24 ? ... ? 2n ) ? (6n ?1) ? 2n?1
= 16 ? (6n ? 7)2n?1 ………………………………………………………………………………………………..11 分

?16 ? (6n ? 7)2n ?1 , n ? 1 …………………………………………………………………………….12 分 Tn ? ? ?12, n ? 1
a ; 2

20.(1)a>0 时,当 x=-1 时,f(x)的极小值为 f (?1) ? ? 当 x=1 时,f(x)的极大值为 f (1) ?

a ; 2

a<0 时,当 x=-1 时,f(x)的极大值为 f (?1) ? ? 当 x=1 时,f(x)的极小值为 f (1) ?

a ; 2

a ; ……………………………………………………………………………….4 分 2

(2)由题意知, x1 , x2 ?[0, 2], f min ( x1 ) ? 1 ? gmax ( x2 ) ………………………………………………….6 分

x1 ?[0, 2], f min ( x1 ) ? 1 ? 1 :………………………………………………………………………………………………7 分
x ? [0, 2], x 2e mx ? 1, m ? ?
方法二:分类讨论

2 ln x 2 ln x }min , m ? ? ln 2 ………………………………12 分 , m ? {? x x

x1 ?[0, 2], f min ( x1 ) ? 1 ? 1


x ?[0, 2], gmax ( x) ? 1 …………………………………………………………………………………………………….7 分

g ( x) ? x2emx , g '( x) ? 2xemx ? x2memx ? emx ? x(mx ? 2) ………………………………………………..8 分
1) 当 m≥0 时,g(x)在[0,2]上单调递增, 分 2) 当 - 1<m<0 时 , g(x) 在 [0,2] 上 单 调 递 增 ,

gmax ( x) ? g (2) ? 4 ? e2m ? 1, m ? ? ln 2

(舍)

…9

gmax ( x) ? g (2) ? 4e2 m ? 1, m ? ? ln 2



?1 ? m ? ? ln 2 ……………………………………………………………………10 分

3) 当 m≤-1 时,g(x)在 [0, ?

2 2 ] 上单调递增,在 [? , 2] 上单调递减, m m 2 4 2 g max ( x) ? g (? ) ? 2 2 ? 1, m ? ? ,∴m≤-1……………………………………………11 分 m me e

综合得 m ? ? ln 2 ……………………………………………………………………………………………………..12 分 21.(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? a ? 令 g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 2 , ? ? a 2 ? 16 ,对称轴 x ?

2 2 x 2 ? ax ? 2 ? ,…….1 分 x x

a , g (0) ? 2 , 4

1)当 ? ? a 2 ? 16 ≤0,即-4≤ a ≤4 时, f ?( x) ≥0 于是,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无单调递减区间.……………………………………2 分 2)当 ? ? a 2 ? 16 >0,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, ①若 a ? ?4 ,则 f ?( x) ? 0 恒成立 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无减区间.………………………………………………………3 分 ②若 a ? 4 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 , x2 ? , 4 4

当 x ? (0,x1 ) ? ( x2, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1,x2 ) 时, f ?( x) ? 0 . 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) .…………4 分 综上所述:当 a? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无单调递减区间. 当 a ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) . ………………………………………………………………………………………………………………………………………………5 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , 若 f ( x ) 有 两 个 极 值 点 , 则 a ? 4 , 且 x1 ? x2 ?

a ? 0 , x1 x2 ? 1 , 2

?0 ? x1 ? 1 ? x2
2 又 ? 2x1 ? ax1 ? 2 ? 0 , a ? 2( x1 ?

1 20 1 1 1 1 , e ? ? x1 ? ? 3 ? , 又 ) , 2(e ? ) ? a ? e 3 e x1 3 x1

1 1 0 ? x1 ? 1,解得, ? x1 ? ………………………………………………………………………………………………7 分 3 e

2 2 于是, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ax1 ? 2 ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? 2 ln x2 )

x a 2 ? ( x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ln 1 2 x2
? ?( x1 ? 1 1 1 ) ? ( x1 ? ) ? 4ln x1 ? 2 ? x12 ? 4ln x1 …………………………………………………………9 分 x1 x1 x1

令 h( x ) ?

?2( x 2 ? 1) 2 1 1 1 2 ? ? x ? 4 l n x h ( x ) ? ? 0 恒 成 立 , ? h( x ) 在 ( ? x ? ) , 则 x2 x3 2 e

1 1 1 1 1 80 ( , ) 单调递减,? h( ) ? h( x) ? h( ) ,即 e 2 ? 2 ? 4 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 4 ln 3 ,故 e 3 e 9 3 e

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围为 (e 2 ?

1 80 ? 4, ? 4 ln 3) .…………………………………………………12 分 2 e 9

22.(1) ?

3 ? ? 3 ?x ? 1 ?x ? ? ?? ? x ? 1 ,①,或 , ②,或 ? 2 ? 2 ③ ? x ? 1 ? (2 x ? 3) ? 2 ? ? ?1 ? x ? (2 x ? 3) ? 2 ?1 ? x ? (2 x ? 3) ? 2

3 2 3 4 解②得 ? ? x ? ? 2 3
解①得 ?2 ? x ? ? 解③得 x ??, 综上得解集为∴ ? x ?2 ? x ? ? ? …………………………………………………………………………………5 分

? ?

4? 3?

3 ? ? x ? 4, x ? ? 2 ? 3 ? (2) f ( x) ? ? ?3 x ? 2, ? ? x ? 1 2 ? ?? x ? 4, x ? 1 ? ?

5 3 ? ?(??, 2 ], x ? ? 2 ? 5 3 5 ? f ( x) ? ?(?5, ), ? ? x ? 1, f ( x) ? …8 分 2 2 2 ? ?(??, ?5], x ? 1 ? ?

3 2 5 5 5 a ? a ? ,3a 2 ? 2a ? 5 ? 0, a ? , 解得 a ? , 或a ? ?1 …………………………………..10 分 2 2 3 3


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