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2.1.4两条直线的交点坐标课件


高中数学 必修2

导入
1.利用两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. ①斜率存在, l1∥l2 ? k1=k2,且截距不等;l1⊥l2 ? k1· k2 =-1, ②斜率不存在. 注:若用斜率判断,须对斜率的存在性加以分类讨论. 2.利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系. l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2 ? A1B2-B1A2=0,且A1C2-C1A2≠0或B1C2-B2C1≠0. l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0.

1.两条直线的交点 A1x+B1y+C1=0

y
. P(x0,y0) O x

P(x0,y0)
A2x+B2y+C2=0 方程组的解就是两条直线的交点的坐标.

已知直线x+y-2=0与x-y=0垂直,求垂足的坐标.

2..解下列方程组,并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条 直线,观察它们的位置关系. (1) l1:2x-y=7, l2:3x+2y-7=0 4x+2y+4=0 (3) (2) l1:2x-6y+4=0;l2:4x-12y+8=0 y=-2x+3 y 有且只有一个解 2x-y=7 x 有无数多个解 无解

y
y 1 -2-1 O x

O

O

x

3x+2y-7=0

重合!

相交!交点坐标为(3,-1) 想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系?

y=-2x+3 4x+2y+4=0 平行!

总结 两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系.

设两直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0;
l2:A2x+B2y+C2=0.

方程组

A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0

的解的组数 .

(无数组解、惟一组解、无解)与两直线的 ( 重合、相交、 平行)对应.

1 .已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m -1=0的交点M在第四象限,求m的取值范 围. [思路探索] 本题主要考查两条直线的交点 坐标的求法和不等式的解法,关键是求出交 点坐标,利用交点在第四象限,再确定m的 不等式即可.



? ?x=m+1, ? ?x+y-3m=0, 3 ? 由? 得? ? ? 8m-1 ?2x-y+2m-1=0, y= . ? 3 ?
?m+1 8m-1? ? 的坐标为? ? 3 , 3 ?. ? ?

∴交点 M

∵交点在第四象限, ? ?m+1>0, ? 3 ∴? ?8m-1 <0. ? ? 3 ∴m

1 解得-1<m<8.

? 1? 的取值范围是?-1, ? 8? ?

规律方法 这类问题要先求出交点坐标,再 根据题意列出关于参数的方程或不等式,然后 求参数的值或范围.

2.已知三条直线l1:3x-y+2=0,l2:2x+ y+3=0,l3:mx+y=0不能构成三角形,求 实数m的取值范围.
依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直 线交于一点时,三条直线不能构成三角形, 因为直线3x-y+2=0,2x+y+3=0相交, 由mx+y=0与3x-y+2=0平行求得m=-3, 由mx+y=0与2x+y+3=0平行求得m=2, 直线3x-y+2=0,2x+y+3=0联立解得x=y=-1,代入 mx+y=0求得m=-1, 所以m的取值集合是{-3,2,-1}.

3.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点, 求直线l的方程.

关于直线系
1.当实数?取不同实数时,方程2x+3y+8+?(x-y-1)=0表示什么 图形?它们有什么共同的特点?

一般地: 过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y +C2= 0交点的直线系方程为:(A1x+B1y+C1) +?(A2x+B2y+C2)=0(不含l2).

? 3.求证:不论取什么实数,直线(2m-1)x +(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点, 并求出这个定点的坐标.

? 令m=0,得x-3y-11=0; 令m=1,得x+4y+10=0. 解得两条直线的交点为(2,-3),将点(2,-3)代入直线方程得(2m1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m-11=0. 这说明不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一 个定点, 这个定点为(2,-3).

检测
(1)直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0 的交点,求直线l的方程. (2)经过两直线3x+y-5=0与2x-3y+4=0的交点,且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程为_____________

(3)已知两条直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m为何值 时,两条直线:(1)相交;(2)平行;(3)重合.

本节课总结:

(1)通过解方程组确定两直线交点坐标. (2)通过求交点坐标判断两直线的位置关系 . (3)过定点的直线系方程的理解.

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