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2.3.2_平面与平面垂直的判定定理_图文

2.3.2 平面与平面垂直的判定定理

复习引入
1.在立体几何中,“异面直线所成的角”是怎样定义的? 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 (或直角)叫做异面 直线所成的角. 范围:( 0o, 90o ]. 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的? 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围:[ 0o, 90o ].

空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究,对于两个平面相交,我们应从理论 上有进一步的认识.

?

? ?

? ?

? ?

两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的.

在生产实践中,有许多问题也涉及到两个平面所成的角.如: 修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成 适当的角度;发射人造地球卫星时,也要根据需要,使卫星的 轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.再举几个实例?

1.二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做 半平面.

(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.

半 平 面

l

半 平 面

面? 面


?

l

1.二面角的概念
(3) 二面角的画法和记法: 面1-棱-面2 ①平卧式: 二面角?- l- ?
点1-棱-点2

?

?

l
②直立式: A
二面角?-AB-?

? ?
C

l
二面角C-AB- D B

? ?
A

B

D

(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂 直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面 角. 如图, OA ? l , OB ? l ,则射线OA和OB构成的∠AOB 成为 该二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.

?

A'

A

二面角的平面角必须满足: ①角的顶点在棱上

l
B' ?

O' B

O

②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱

(4) 二面角的平面角
? A A

l
O B

注1: ①当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角的大小为180°; ②平面角是直角的二面角叫做直二面角,此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.

二面角的范围为:[0。,180。]

O

?

B

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

S

N M D C

A

A

B

B

D
中点

C

端点

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

N M D C

E
A

G

F

B

中点

?

(5) 二面角的平面角的作法:
①定义法

A

l
?
A
O

②垂线法
l

O

B

?

B

?

③作棱的垂面法

AB ? ? , A ? ? , B ?? 过A作AO ? l 连接OB, 则OB ? l

o

?
A
l

?
B

一个平面垂直于二面角 ?-l-? 的棱 l,

l

且与两半平面的交线分别是射线 OA、 OB,O 为垂足,则∠AOB 为二面角 ?-l-? 的平面角.
补充

例 正方体ABCD—A1B1C1D1中, 45° 二面角B1-AA1-C1的大小为_____ , 二面角B-AA1-D的大小为______ , 90° 二面角C1-BD-C的正切值是_______. 2

练习

练 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB = 2,BC = BB1 =1 , E为D1C1的中点,求二面角E-BD-C的大小. 思路分析:①找基面 平面BCD ②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
D1 A1 E C1 B1 G F

③作平面角 作FG⊥BD于G,连结EG

D

C

解:过E作EF⊥CD于F, M A ∵ ABCD-A1B1C1D1是长方体, B ∴EF⊥平面BCD,且F为CD中点, 过F作FG⊥BD于G,连结EG,则EG⊥BD.(三垂线定理) 于是,∠EGF为二面角E-BD-C的平面角. 1 BC ? CD 1? 2 1 GF ? ? ? ? ∵BC = 1,CD = 2, ∴ 2 BD 2 5 5 EF tan ? EGF ? ? 5 而EF = 1,在△EFG中 GF
练习

例 如图,将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二 面角. 求证: BD?CD, ?BAC ? 60
0

分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , ?BDC 为直角 , 就是这个直二面角的平面角 . 所 以 BD?CD . 若设 AD ? a ,则 BD ? CD ? a ,即可求得: AB ? AC ? BC ? 2a , 那么 ?BAC 为等边三角形, 0 即有 ?BAC ? 60 .

A

D

C

B

思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

面面垂直的定义:
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
β

a
A α b

(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?

2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直.记作 ? ? ?
a

?
?

?
a

?
(2) 面面垂直的判定定理:

若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂 直. 注2:① a ? ? , a ? ? ? ? ? ? ②该定理作用:“线面垂直?面面垂直” ③应用该定理,关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.

例 .如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平 面于A,C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证:平面PAC⊥平面PBC
证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC
PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC BC ? 平面ABC ? BC ? AC PA ? AC ? A
C A
B

P

? BC ? 平面PAC
BC ? 平面PBC
O

? 平面PAC⊥平面PBC
练习

例 过?ABC所在平面? 外一点P, 作PO ? ? , 垂足为O, 连接PA, PB, PC.
外 心. 1).若PA ? PB ? PC , 则O是?ABC的 _____

2).若PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA, 则O是?ABC
垂 心. 的 _____
练习:P79 B组2(2)

中 点. 3).若PA ? PB ? PC , ?C ? 900 , 则O是AB边的 ______ P

A B

C

过? ABC所在平面? 外的一点P,作PO ? ?,垂足为O,连接PA,PB,PC.求证: i)若PA ? PB ? PC,则点O是AB的中点.

P

证明:连接OA,OB,OC ? PO ? 面ABC ? PO ? OA,PO ? OB,PO ? OC ? PA=PB=PC,PO=PO=PO ? Rt? POA ? Rt? POB ? Rt? POC ? OA=OB=OC,即O为? ABC的外心.
A O B C

特别地,当? ABC为直角三角形,如?ABC=90?,则O为斜边AC的中点.

变式1 在三棱锥P-ABC中,PA ? PB ? PC,?ABC=90?,求证 : 面PAC ? 面ABC.

法一:过P作面ABC的垂线PO,垂足为O.连接OA,OB,OC P ? PO ? 面ABC ? PO ? OA,PO ? OB,PO ? OC ? PA=PB=PC,PO=PO=PO ? Rt? POA ? Rt? POB ? Rt? POC ? OA=OB=OC,即O为? ABC的外心.
A B C

?? ABC为直角三角形,?ABC=90?,则O为斜边AC的中点. ?由PO ? 面PAC,PO ? 面ABC,可得面PAC ? 面ABC.

变式1 在三棱锥P-ABC中,PA ? PB ? PC,?ABC=90?,求证 : 面PAC ? 面ABC.

P

法二:分别取AC,BC的中点E,F,连接PE,EF,PF.
? PA ? PB, 点E为AC的中点, ? PE ? AC.

? ?ABC=90?, ? BC ? AB ? 在? ABC中,E,F分别是边AC,BC的中点 A ? EF//AB, 故有BC ? EF
又? PB=PC,F为BC的中点, ? PF ? BC

E
F

C B

而? PF ? EF=F, ? BC ? 面PEF. 即有BC ? PE
故由PE ? AC,PE ? BC,AC ? BC=C, ? PE ? 面ABC. ? PE ? 面PAC, ?面PAC ? 面ABC.
分析

变式2 把等腰Rt? ABC沿着斜边AC旋转到? ACP的位置,使得PB ? AB. i)求证面PAC ? 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.

P

注意:Rt? APC ? Rt? ABC

证明:取AC的中点E,连接PE,往证PE ? 面ABC.
? PA ? PB, 点E为AC的中点, ? PE ? AC.
接下来往证PE ? BC,可转化为异面直线所成角问题.A

E
F

C

? 取AB的中点F,连接EF,PF,则EF//BC.

B 往证PE ? EF即可. (PE和EF相交,本题已知的边角关系较多,可考虑勾股定理) . 1 a 设BC ? a,在? ABC中,EF ? BC ? . 2 2 1 2a 在等腰Rt? APC中,PE ? AC ? . 2 2 3a 2 2 在等腰? APB中,PF= PA ? AF = ? PE2 +EF2 =PF2, ? PE ? EF 2 或者考虑二面角定义法

变式2 把等腰Rt? ABC沿着斜边AC旋转到? ACP的位置,使得PB ? AB. i)求证面PAC ? 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.

P
G

解1:取PC的中点G,连接EG,BG,BE ? EG为? CPA的中位线, ? EG//PA 又 ? PA ? PC, ? EG ? PC. ? BP=BC,G为PC的中点, ? BG ? PC ??EGB为所求二面角B-PC-A的平面角.
A
E

C B

1 1 2 设BC ? a, 在Rt? APC中,EG= a, 在Rt? ABC中,EB= AC= a, 2 2 2 3 在等边? PBC中,BG= a. 2 在? GEB中,EG 2 +EB2 =GB2, ??BEG=90?.

EG 3 在Rt? GEB中,cos?EGB= ? GB 3

变式2 把等腰Rt? ABC沿着斜边AC旋转到? ACP的位置,使得PB ? AB. i)求证面PAC ? 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.

P
G E

解2:由i)知面PAC ? 面ABC,面PAC ? 面ABC=AC, 故连接BE,则由BE ? AC,可得BE ? 面PAC. (或由BA ? BP ? BC,?APC ? 90?,知BE ? 面PAC.)
A 过E点在平面PAC内作EG ? PC于点G,连接BG,

C B

此时BG ? PC. ??EGB为所求二面角B-PC-A的平面角.

EG GB ? 在? PAC内,EG//PA,E为AC的中点,故点G为PC的中点, ? 在Rt? GEB中,cos?EGB=

1 1 设BC ? a, EG= PA= a 2 2 3 又在等边? PBC中,GB= a. 2
?cos?EGB= EG 3 ? GB 3
练习

三、角度问题
名称 定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a'、b',并使 a'//a,b'//b,我们把直线a'和b'所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是的角。

图形

两条异面直线 所成的角

直线与平面 所成的角

A L
α
o

θ

B

二面角及它的平面 角

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。

α L

A O

B

β

1.数学思想: 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化,即 把空间的角转化为平面的角,进而转化为三角形的内角,然后 通过解三角形求得. 2.方法: a.求异面直线所成的角:平移 构造可解三角形

找平行线方法:中位线,平行四边形,线段成比例,线面平行的性质定理等

b.求直线与平面所成的角: 找(或作)射影
即找面的垂线,找出垂足

构造可解三角形 构造可解三角形

c.求二面角的大小: 找(或作)其平面角
定义法或者垂线法

3.步骤:

①作(找) ② 证③ 点④ 算

练 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,PA=PB=AB, ∠ACB=90o,PC⊥AC. (1)求证:PC⊥ AB;(2)求二面角B—AP—C的大小.

back

练2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, BC=BB1=1, E为 C1D1的中点,求二面角 E-BD-C的大小.

D1 A1 D
M A

E

C1
B1 C B

F

back

练1 如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB的中点,求二 面角A1-MC-A的正切值. 思路分析:①找基面 平面ABCD ②找基面的垂线 AA1 ③作平面角 作AH⊥CM交CM的延长 线于H,连结A1H
D1 A1

C1

B1

D M B

C

解:作AH⊥CM交CM的延长线于H,连 A 结A1H.∵A1A⊥平面AC,AH是A1H 在平面AC内的射影,∴A1H⊥CM, N ∴∠A1HA为二面角A1-CM-A的平面角.

H

设正方体的棱长为1.∵M是AB的中点,且AM∥CD,则在 直角△AMN中,AM = 0.5,AN= 1,MN = 5 . 2 AM ? AN 1 A1 A AH ? ? tan ?A1 HA ? ? 5 MN AH 5
back

如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°, SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1. (1)求四棱锥S-ABCD的体积; (2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. (2)提示: 因所求二面角无“棱”,故先延 长BA、CD以确定棱SE,然后证 明∠BSC为平面角.

back

练 已知二面角?- l - ? ,A为面?内一点,A到? 的距离为 2 3, 到l的距离为 4. 求二面角 ?- l - ? 的大小. 解: 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD,
则AD⊥ l . ??ADO就是二面角?- l - ?的平面角. A.

且AO ? 2 3, AD ? 4
在Rt△ADO中, 2 3 AO ? ∵sin∠ADO= AD 4 ∴ ∠ADO=60°. 即二面角 ?- l- ? 的大小为60 °.

?

D

O

l

?

练 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB,它与棱 l 所成 的角为45°,与平面β所成的角为30°,则这个二面角的大小是 45°或135° ________________.

back

已知:a ? ?,a ? ? . 求证:? ? ?
证明: 设α∩β=CD,则B∈CD. ∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD. 在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角, ∵AB⊥β,BE β, ∪
C β α a B D

A

E

∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角,∴α⊥β.



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练习 无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 一 个平面与平面α垂直. 3.过平面α的一条斜线,可作____ 一个平面与α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____

back

练 正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: 平面ACC1 A1 ? 平面A1BD D1 C1 A1 D A B B1 C B

A D

E

C

练 如图,A是?BCD所在平面外一点,AB ? AD,?ABC ? ?ADC ? 90?,E是BD的中点.求证:平面AEC ? 平面ABD
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已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点,且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值. 思路分析: ①找基面 平面ABC
②找基面的垂线 取AB的中点M,连结PM. 由己知AB2 = AC2 + BC2,∴∠ACB是直角. 连结CM,∴AM = BM = CM, ∵PA = PB = PC,∴△PAM≌△PCM. A ∵PM⊥AM,∴PM⊥CM, ∴PM⊥平面ABC
P

N M B

C

③作平面角 取AC的中点N,连结MN、PN.
∵MN∥BC,AC⊥BC,∴MN⊥AC,由三垂线定理知PN⊥AC. ∴∠MNP就是二面角P—AC—B的平面角

练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小?
back

练 如图,过点S作三条不共面的直线,使∠BSC=900, ∠ASB= ∠ASC=600,截取SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面BSC A
利用定义,通过计算证之
请计算AC与平面BSC所成的角的大小

B S C
back

D

如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面ABC, BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点. (1)求证:DE=DA (2)求证:平面BDM⊥平面ECA (3)求证:平面DEA⊥平面ECA E F C
请作出平面EAD和平面BAC 所成的二面角的平面角

D M N A
back

B


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