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高中数学 3-2-3 直线方程的一般式课件 新人教A版必修2


第三章
3.2 直线的方程

第三章
3.2.3 直线方程的一般式

课前自主预习

方法警示探究 课堂基础巩固

思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.直线方程的四种形式: (1)点斜式:当直线斜率 k 存在时,则过点 P(x0,y0)的直线
y-y0=k(x-x0) 方程为_____________________;

(2)斜截式:当直线斜率 k 存在时,设在 y 轴上截距为 b,
y=kx+b 则直线方程为_________;

(3)两点式:P1(x1,y1),P2(x2,y2),当 x1≠x2,y1≠y2 时,
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 直线方程为______________;

(4)截距式:当直线在x轴、y轴上的截距存在(分别为a、b) x y 且不为零时,直线方程为____________. a+b=1 x y + =1 2.过点(0,2)和(-3,0)的直线的截距式方程是__________. -3 2 x y 3.过点(-1,5),且与直线 2 + 6 =1垂直的直线方程是 ________.
[答案] x-3y+16=0

[解析]

x y 直线 + =1的斜截式为y=-3x+6故斜率是- 2 6

1 3,所以所求直线的斜率是3, 1 所以所求直线方程是y-5=3(x+1), 即x-3y+16=0.

[解析]

x y 直线 + =1的斜截式为y=-3x+6故斜率是- 2 6

1 3,所以所求直线的斜率是3, 1 所以所求直线方程是y-5=3(x+1), 即x-3y+16=0.

自主预习 阅读教材P97~99,回答下列问题. 1.直线的一般式方程
Ax+By+C=0 (1)定义:关于x,y的二元一次方程______________ (其中

A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用 一般式表示.

(3)系数的几何意义: A C ①当B≠0时,则- =k(斜率),- =b(y轴上的截距); B B C ②当B=0,A≠0时,则- A =a(x轴上的截距),此时不存 在斜率. (4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组 解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的 全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的 集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平 面直角坐标系中的直线是一一对应的.

[破疑点]AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;AB<0时,k>0, 倾斜角α为锐角;A=0时,k=0,倾斜角α=0° ;B=0时,k不 存在,倾斜角α=90° .

若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为 ( ) A.A≠0 C.A· B≠0
[答案] D
[解析] A,B不能同时为0,则A2+B2≠0.

B.B≠0 D.A2+B2≠0

直线2x+y+4=0的斜率k=________.

[答案]

-2

[解析]

A A=2,B=1,则k=-B=-2.

2.直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤: ①移项:By=-Ax-C; A C ②当B≠0时,得斜截式:y=-Bx- B. 一般式化截距式的步骤: ①把常数项移到方程右边,得Ax+By=-C; Ax By ②当C≠0时,方程两边同除以-C,得 + =1; -C -C x y ③再化为截距式: C+ C=1. -A -B

x y 直线 + =1化成一般式方程为( 3 4 4 A.y=-3x+4

)

4 B.y=-3(x-3)

C.4x+3y-12=0 D.4x+3y+12=0
[答案] C
[解析] x y + =1→4x+3y=12 3 4

→4x+3y-12=0

3.直线方程五种形式的比较
名称 一般 点 斜 式 斜截式 y=kx+b 情况 方程 y-y0=k(x- x0) k是斜率 k是斜率,b是直 线在y轴上的截 距 直线不垂直于 x轴 常数的几何意义 (x0,y0)是直线 上的一个定点, 适用条件 直线不垂直于 x轴

一般 两 点 式 截距 式 情况

y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1 x y + =1 a b

(x1,y1),(x2,y2) 是直线上的两个 定点

直线不垂直于 x轴和y轴

a,b分别是直线 直线不垂直于 在x轴,y轴上的 x轴和y轴,且 两个非零截距 不过原点

一般 式

Ax+By+C=0 A,B不同时为0 x=a(y轴:x=0)

A,B,C为系 数 垂直于x轴

任何情况

特殊 直线

且过点(a,0) 垂直于y轴且过

斜率不存在

y=b(x轴:y=0)

点(0,b)

斜率k=0

设直线l的方程为(m2-2m)x+2my+6-m=0,已知l在y轴 上的截距为2,试确定m的值.

[解析]

直线l在y轴上的截距为2,即x=0时,y=2,所以

m-6 2m =2,解得m=-2. [点评] 求截距的方法:

(1)令x=0,解出y的值,即得直线l在y轴上的截距. (2)令y=0,解出x的值,即得直线l在x轴上的截距.

思路方法技巧

命题方向

选择适当的形式写出直线的方程

[例1] 般式方程.

根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一

(1)斜率是 3,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴,y轴上的截距分别是-3,-1. [分析] 写成一般式 分析条件→选择方程形式→代入条件→整理并

[解析]

(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=

3(x-5),化为一般式方程为 3x-y+3-5 3=0. (2)由斜截式方程可知, 所求直线方程为y=4x-2, 化为一般式方程为4x-y-2=0.

(3)由两点式方程可知, y-5 x-?-1? 所求直线方程为 = . -1-5 2-?-1? 化为一般式方程为2x+y-3=0. x y (4)由截距式方程可得,所求直线方程为 + =1, -3 -1 化为一般式方程为x+3y+3=0.

规律总结:已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用 点斜式;已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式; 已知直线上两点坐标时,选用两点式;已知直线在x轴,y轴上 的截距时,选用截距式.

直线l:2x-3y+6=0的斜率及在y轴上的截距分别为 ________.

2 [答案] 2 3

[解析]

2 已知直线方程可化为y= x+2. 3

2 所以直线l的斜率k=3,在y轴上的截距是2.

已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线的一般式 方程和截距式方程,并画图.

[解析]

直线过A(-5,6)、B(-4,8)两点,

y-6 x+5 由两点式得, = , 8-6 -4+5 整理得2x-y+16=0, x y ∴2x-y=-16,两边同除以-16得, +16=1. -8 故所求直线的一般式方程为2x-y+16=0,截距式方程为 x y + =1.图形略. -8 16

[点评]

熟练进行直线各种形式方程的互化,是解决直线

方程问题的基本功.请自己再用点斜式求l的方程,并化为斜 截式.

命题方向

平行与垂直的应用

过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法: (1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率 之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程; (2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行 的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定 C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+ C2=0,再由直线所过的点确定C2.

[例2]

(1)已知三直线l1? 2 x-4y+7=0,l2?x-2y+5=

0,l3? 4 x+2y-1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3; (2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程: 直线l:3x+4y-20=0平行; ?与直线l:3x+4y-20=0垂直.

[解析]

(1)把l1、l2、l3的方程写成斜截式得

1 7 1 5 l1:y= x+ ;l2:y= x+ ; 2 4 2 2 1 l3:y=-2x+ , 2 1 7 5 ∵k1=k2=2,b1=4≠2=b2,∴l1∥l2. ∵k3=-2,∴k1·3=-1,∴l1⊥l3. k

3 (2)解法1:已知直线l:3x+4y-20=0的斜率k=- . 4 ?过A(2,2)与l平行的直线方程为 3 y-2=-4(x-2).即3x+4y-14=0. 1 4 ?过A与l垂直的直线的斜率k1=- k=3 4 方程为y-2= (x-2).即4x-3y-2=0为所求. 3

解法2:?设所求直线方程为3x+4y+c=0, 由(2,2)点在直线上,∴3×2+4×2+c=0, ∴c=-14.∴所求直线为3x+4y-14=0. ?设所求直线方程为4x-3y+λ=0, 由(2,2)点在直线上,∴4×2-3×2+λ=0, ∴λ=-2.∴所求直线为4x-3y-2=0.

规律总结:1.与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax +By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为 Bx-Ay+m=0. 2.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0 若l1⊥l2则:A1A2+B1B2=0;若A1A2+B1B2=0则l1⊥l2. 若l1∥l2,则A1B2-A2B1=0,反之若A1B2-A2B1=0,则l1 ∥l2或l1与l2重合.

(2010· 安徽高考)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直 线方程是( ) B.x-2y+1=0

A.x-2y-1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
[答案] A

[解析]

所求直线与直线x-2y-2=0平行,故所求直线

1 的斜率k= ,又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程y 2 1 -0= (x-1),即x-2y-1=0. 2

(2009· 安徽高考)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0 垂直,则l的方程是( A.3x+2y-1=0 ) B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
[答案] A

[解析]

由直线l与直线2x-3y+4=0垂直,可知直线l的

3 3 斜率是- ,由点斜式可得直线l的方程为y-2=- (x+1),即 2 2 3x+2y-1=0.

探索延拓创新

命题方向

一般式的综合应用

关于直线平行(垂直)的参数的求解: 解决含参数的两条直线的一般式方程的平行或垂直关系 时,若分类讨论,情况较多、较复杂,可尝试如下判定方 法: 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.

(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0. (2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 以上两种判定方法避开了讨论斜率是否存在的情况,可 以减少失误.

[例3]

已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+

2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)平行;(2)垂直. [分析] 程图. 让我们仔细审题,探寻方法,可采用审题导引流

[解析]

法一:当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x-3y=

0,l1与l2相交且不垂直. m-2 2m 1 6 当m≠0时,l1:y=- x- ,l2:y=- x- . m m 3 3 m-2 1 6 2m (1)l1∥l2?-m=- 3 且-m≠- 3 ,解得m=-1.∴当 m=-1时,l1∥l2. m-2 1 1 (2)l1⊥l2?(-m)(- 3 )=-1,解得m=2. 1 ∴当m= 时,l1⊥l2. 2

法二:(1)l1∥l2?1×3-m· (m-2)=0且1· (2m)-6· (m- 2)≠0,解得m=-1.∴当m=-1时,l1∥l2. 1 (2)l1⊥l2?1· (m-2)+m· 3=0,解得m= . 2 1 ∴当m=2时,l1⊥l2.

规律总结:两种方法各有优点:斜率法易于记忆,系数 法易于操作,比较而言,当方程中含有字母时,化为一般式 进行判定,可避免分类讨论.

(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2 =0平行,求m的值; (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直 线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

[解析] 2=0.

(1)法一:由l1:2x+(m+1)y+4=0.l2:mx+3y-

①当m=0时,显然l1与l2不平行. ②当m≠0时,l1∥l2, 2 m+1 4 需m= 3 ≠ . -2 解得m=2或m=-3. ∴m的值为2或-3.

法二:令2×3=m(m+1),解得m=-3或m=2. 当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0, 显然l1与l2不重合, ∴l1∥l2, 同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0, l2:2x+3y-2=0, l1与l2不重合,l1∥l2, ∴m的值为2或-3.

(2)法一:由题意,直线l1⊥l2, ①若1-a=0,即a=1时, 直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直. 3 ②若2a+3=0,即a=-2时, 直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.

③若1-a≠0,且2a+3≠0, 则直线l1,l2的斜 率k1,k2都存在,

a+2 a-1 k1=- ,k2=- , 1-a 2a+3 当l1⊥l2时,k1·2=-1, k a+2 a-1 即(- )· (- )=-1, 1-a 2a+3 所以a=-1. 综上可知,当a=1或a=-1时, 直线l1⊥l2.

法二:由直线l1⊥l2, 所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 解得a=± 1. 将a=± 1代入方程,均满足题意. 故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.

名师辨误做答

易错点 忽视一般式方程中A与B的条件 [例4] 直线l1:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与 )

直线l2:x-y+1=0的斜率相同,则m等于( A.2或3 B.2 C.3 D.-3

[错解]

2m2-5m+2 直线l1的斜率为 ,直线l2的斜率为1, m2-4

2m2-5m+2 则 =1,即2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0, 2 m -4 解得m=2或3.故选A. [错因分析] 错解忽视了当m=2时,2m2-5m+2=0且- (m2-4)=0.

[思路分析] 直线的一般式方程Ax+By+C=0中,A与B 满足的条件是A与B不能同时为0,即A2+B2≠0.当A=B=0 时,方程变为C=0,不表示任何图形.

[正解]

2m2-5m+2 直线l1的斜率为 ,直线l2的斜率为1, m2-4

2m2-5m+2 则 =1,即2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0, 2 m -4 解得m=2或3,当m=2时,2m2-5m+2=0,-(m2-4)=0, 则m=2不合题意,仅有m=3.

[答案] C

课堂基础巩固

x y 1.直线3+4=1,化成一般式方程为( 4 A.y=-3x+4 4 B.y=-3(x-3)

)

C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12

[答案] C

2.直线 x+y-1=0 的倾斜角为( A.45° B.60°

)

C.135° D.30°

[答案] C

[解析]

∵直线的斜率为-1,∴倾斜角为 135° .

3.直线 5x- 3y+10=0 在 x 轴上的截距等于( A.5 B.- 3

)

10 C. 3 3 D.-2
[答案]
[解析]

D
令 y=0,即 5x+10=0,解得 x=-2.

4.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( ) B.3x+2y+7=0

A.3x+2y-1=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

[答案] A

[解析]

2 直线 2x-3y+4=0 的斜率为3,

3 则 l 的斜率为- , 2 3 则 l 的方程是 y-2=-2(x+1), 即 3x+2y-1=0.

1 5 .过点 A(1,-2),斜率为 2 的直线的一般式方程为 ________.
[答案] x-2y-5=0
1 直线方程为 y+2= (x-1), 2

[解析]

即 x-2y-5=0.

6.直线 2x-4y-8=0 的斜率 k=________,在 y 轴上的 截距 b=________.
1 [答案] 2 -2
1 直线方程化为斜截式,得 y=2x-2,

[解析]

1 所以 k=2,b=-2.

7.已知直线 l 经过点 A(-5,6)和点 B(-4,8),求直线 l 的 一般式方程和截距式方程,并画出图形.

[解析]

y-6 直线 l 过 A(-5,6), B(-4,8)两点, 由两点式, 得 8-6

x+5 = ,整理,得 2x-y+16=0. -4+5 x y 所以 2x-y=-16,两边同除以-16,得 +16=1.故直 -8 x y 线 l 的一般式方程为 2x-y+16=0,截距式方程为 + = -8 16 1.图形如图所示.

8.直线 l1:2x+4y-1=0,直线 l2 过点(1,-2),试分别 求满足下列条件的直线 l2 的方程: (1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.

[解析]

直线 l1 的方程化为斜截式为

1 1 y=- x+ , 2 4 1 ∴直线 l1 的斜率 k1=-2. 设直线 l2 的斜率为 k2,则

1 (1)当 l1∥l2 时,k2=k1=-2, 1 则直线 l2 的方程为 y+2=- (x-1), 2 即 x+2y+3=0. -1 (2)当 l1⊥l2 时,k1k2=-1,∴k2= k =2, 1 则直线 l2 的方程为 y+2=2(x-1), 即 2x-y-4=0.


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