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高中数学第二章§2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件新人教A版必修


2.1.1
【学习要求】

指数与指数幂的运算(一)

1.理解 n 次方根与根式的概念; 2.正确运用根式运算性质化简、求值; 3.了解分类讨论思想在解题中的应用. 【学法指导】 通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清 根式与绝对值的联系,提高归纳、概括的能力,了解由特 殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.

1.如果 xn=a(n>1,且n∈N*) n

, 那么 x 叫做 a 的 n 次方根.

2.式子 a叫做 根式 ,这里 n 叫做 根指数,a 叫做被开方数 . n n * 3.(1)n∈N 时,( a) =a. n n (2)n 为奇数时, a =a; n 为偶数时, a =| n
n

? ?a,a≥0, a| =? ? ?-a,a<0.

问题情境:我们在初中学习了平方根、立方根,那么 有没有四次方根、五次方根,??,n 次方根呢?答 案是肯定的, 这就是本节我们要研究的问题: 指数与 指数幂的运算.

探究点一 问题 1

根式

阅读教材 48 页“问题 1”,由此问题得出的(1+

7.3%)1,(1+7.3%)2,(1+7.3%)3,?,(1+7.3%)x 都是 正整数指数幂,那么正整数指数幂的意义是什么? 答 an(n∈N+)的意义为:an=a· a?a
n

问题 2


什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有

几个,立方根呢?
同理,若 x3=a,则 x 若 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平 叫做 a 的立方根.

方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根为± 2,负数 没有平方根, 一个数的立方根只有一个, 如-8 的立方根为 -2;零的平方根、立方根均为零.

问题 3


类比 a 的平方根及立方根的定义,如何定义 a 的 n
n 次方根:如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其

次方根?
中 n>1,且 n∈N*.

小结

当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根中,正数用 a表 n

n

示,如果是负数,用- a表示. 当 n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 a表示. n a叫做根式.其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. n

问题 4

类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个
? n ?n为奇数,a的n次方根有一个,为 a a 为正数:? n ? n 为偶数, a 的 n 次方根有两个,为 ± a ?

数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数时呢?
答 ,

? ?n为奇数,a的n次方根只有一个,为 n a a 为负数:? . ? ?n为偶数,a的n次方根不存在
零的 n 次方根为零,记为 0=0. n

小结

一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开

方数到底是正数还是负数,还要分清 n 为奇数和偶数这两 种情况.

问题 5

根据 n 次方根的意义,可得:( a) =a,即( a)n=

n

n

n

n n n n n a 肯定成立, a 表示 a 的 n 次方根,等式 a =a 一定成 立吗?如果不一定成立,那么 an等于什么? n

答 通过探究得到:n 为奇数, an=a, ? ?a≥0? ?a n n n 为偶数, a =|a|=? . ? ?-a ?a<0?

n

例1 3

求下列各式的值:

(1) ?-8?3; (2) ?-10?2; 4 (3) ?3-π?4;(4) ?a-b?2(a>b).
解 (1) ?-8?3=-8; 3

(2) ?-10?2=|-10|=10;
(3) ?3-π?4=|3-π|=π-3;
(4) ?a-b?2=|a-b|=a-b.

4

小结 当 n 为偶数时, an化简得到结果,先取绝对值, 再由绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.

n

跟踪训练 1 求下列各式的值: (1) ?-2?7; 4 (2) ?3a-3?4(a≤1).
解 (1) ?-2?7=-2;
(2) ?3a-3?4=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. 4

7

7

探究点二 例2

利用根式的性质化简或求值
2 2

a-1 化简:( a-1) + ?1-a? + ?1-a?3=________.

3

解析

由题意知 a-1≥0,即 a≥1.

原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
小结 根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况, 应注意两者运算顺序是否可换,如对 有 m a =(
n

m

an仅当 a≥0 时,恒

m

a)n,若 a<0,则不一定成立.
化简 a + ?1-a?4的结果是 B.2a-1 3
3

跟踪训练 2 A.1

4

( C )

解析

C.1 或 2a-1 D.0 ? a≤1 ?1, 3 3 4 4 a + ?1-a? =a+|1-a|=? . 故选 C. ? ?2a-1, a>1

探究点三 例3


有限制条件的根式的化简

设-3<x<3,求 x2-2x+1- x2+6x+9的值.
原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|

∵-3<x<3,

∴当-3<x<1 时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当 1≤x<3 时,原式=(x-1)-(x+3)=-4,
? ?-2x-2?-3<x<1? ∴原式=? ? ?-4 ?1≤x<3?

.

小结

此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方

部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解.

跟踪训练 3

本例中,若将“-3<x<3”变为“x≤-3”,

则结果又是什么?
解 原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,
∴x-1<0,x+3≤0,

∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.

1.下列说法中: ①16 的 4 次方根是 2; ② 16的运算结果是± 2; n ③当 n 为大于 1 的奇数时, a对任意 a∈R 都有意义; n ④当 n 为大于 1 的偶数时, a只有当 a≥0 时才有意义. 其 中正确的是 A.①③④ C.②③
解析

4

( D ) B.②③④ D.③④

2; ①错,∵(± 2)4=16,∴16 的 4 次方根是±

4 4 ②错, 16=2,而± 16=± 2. ③④正确.

2.已知 x5=6,则 x 等于 A. 6 B. 6 5 C.- 6
5

( B ) 5 5 D.± 6

解析 由根式的定义知,x =6,x= 6,故选 B.
3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是 A. m
解析

5

( C )

4

2

B. m
6

3

C. m

6

D. -m

5

要使 m有意义,则 m≥0.

1.根式的概念:如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n n>1,且 n∈N .n 为奇数时,x= a,n 为偶数时,x=± a
*

n

(a>0);负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 2.掌握两个公式:(1)( a) =a;(2)n 为奇数, an=a,n 为 偶数, a n
n

n

n

n

? ?a =|a|=? ? ?-a

?a≥0? . ?a<0?


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