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山东省2008-2012年普通高中学生学业水平考试数学试题及数学解题思想与方法举例


高中数学教学中转化与化归思想方法

转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法, 转化与化归思想贯穿 于整个数学中,掌握这一思想方法,学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问 题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程,把待解决的问题或未知解的 问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方 法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、 简单的问题。 一、转化与化归的主要方式: 1、等价转化,2、空间图形问题转化为平面图形问题,3、局部与整体的相互转化, 4、特殊与一般的转化,5、非等价转化,6、换元、代换等转化方法的运用,7、正与 反的转化,8、数与形的转化,9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实 际问题与数学语言的转化等. 我们可以通过以下例题来观察:
C b ,求证: c ? a ? 2 2 分析:已知条件是角的关系,而结论是边的关系,所以应设法将角的关系转化成边的 关系,所以使用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 进行等价转化。 C 解:由 A ? 即 C ? 2 A , 2

例 1.已知 ?ABC 中,若 A ?

故 B ? ? ? ( A ? C) ? ? ? 3A 所以 sin B ? sin(? ? 3 A) ? sin 3 A
1 1 故 sin C ? sin A ? sin B = sin 2 A ? sin A ? sin 3 A 2 2 1 = ? sin A(2 cos A ? 1) 2 <0 2 1 即 sin C ? sin A ? sin B 2 b 由正弦定理得: c ? a ? 2

本题是等价转化问题,转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中 前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程 是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它 能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。例如不等式的放缩。我们在应用 时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性, 保证逻辑上的正确。 例 2.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是____。 分析:为了求 ab 的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可。即运用不等式

a ? b ? 2 ab 。 ab ? a ? b ? 3 ? 2 ab ? 3 ? ab ? 9
本题是把等式问题转化成不等式问题进行处理。 二、转化与化归的基本原则: 1、熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟悉的知识、 经验和问题来解决 2、简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到 解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。这里的简单,有时还指问题的 处理方式或解决方案上的简单 3、和谐化原则:通过化归问题的条件或结论,使其表现形式更加和谐和统一, 或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律 4、直观化原则:将一些含糊的、抽象的、深奥的问题转化为比较具体的、直观 的、浅显的问题来解决 5、正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问 题的反面去探求,使问题获解 例 3.对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使得不等式 x2 ? px ? 1 ? 2x ? p 恒成立的 x 的取值范围 分析:若把此不等式看作是关于 x 的一元二次不等式,则求解过程比较麻烦,但 是是把次不等式看成是关于 p 的一元一次不等式,可以简化求解过程 解:把不等式化成 p ? x-1? + ? x-1? ? 0
2

令 f ? p ? =p ? x-1? + ? x-1? ,这是一个一次函数,
2

由 p ? 2 与一次函数一定是单调函数得

?f ? -2 ? ? ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 ? ? ? f ? 2 ? ? ? x ? 1?? x ? 1? ? 0 ?

得 x ? ?1 或 x ? 3 本题是把常量的问题转化成变量的问题,是将复杂的问题简单化。 化归方法不仅是高中数学常用的一种方法, 而且也是数学方法论中带有普遍意义 的基本方法之一,数学中许多重要的数学思想方法都属于化归范畴,例如:方程观点 是通过数学语言的形式将实际问题划归为相应的数学模型, 参数观点是建立坐标系的 条件下,实现数与形之间具体与抽象的转化。同时也是高中数学中重要的方法之一, 例如把高次方程化为低次方程,把多元方程化为单元方程,分式方程化为整式方程, 把立体几何化为平面几何等等。总而言之,化归与转化的思想具有灵活性和多样性的 特点,没有统一的模式可遵循,需要依据问题本身提供的信息,利用动态思维,去寻 找有利于问题解决的变换途径和方法,所以学习和熟悉化归与转化的思想,有意识地 运用数学变换的方法,去灵活地解决有关的数学问题,将有利于提高解决数学问题的 应变能力和技能、技巧。

高中数学教学中数列中的分类讨论

【教研目标】 知识目标:以数列知识为载体,使学生学会运用分类讨论的思想解决数学问题,通过本节课的
教学,使学生了解数列中有哪些问题蕴含着分类讨论思想,并解决几个分类中的关 键问题:为什么要分类(分类依据) ,何时分类(分类时机与层次) ,如何分类(分 类标准)等问题。

能力目标:培养学生分析问题能力,注重学生思维全面性的养成。 情感目标:优化学生的思维品质。 教学重点:了解数列中有哪些问题蕴含着分类讨论思想,并能把握分类讨论的时机,确定分类
标准。

教学难点:讨论的层次性。 教 具:多媒体教学

教学方法:讲练结合,归纳总结 【教研过程】 一、观察与实践。
例 1.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? 10n ? n 2 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列

{| an |} 的前 n 项和 Tn ;

n ?1 ? 1 ? 10n ? n2 1 ? n ? 5, n ? N ? 10 解: (1) an ? ? ; (2) Sn ? ? 2 n ? 6, n ? N ?11 ? 2n n ? 2, n ? N ?51 ? 10n ? n
解题回顾:绝对值是分类定义的,因而在求数列 {| an |} 的前 n 项和时引起了分类讨论。

二、主动构建
什么是分类讨论的思想方法? 所谓分类讨论,即对问题中的各种情况进行分类,或对所涉及的范围进行分割,然后分别研究和 求解,最后整合得答案,即有“分”有“合”,先“分”后“合”的一种解题策略。它既是一种数学思想, 也是一种逻辑方法,故称分类讨论的思想方法。 分类讨论的步骤: 1。确定讨论的对象及其取值范围; 2。正确地分类,做到层次分明,不重复、不遗漏,不互相嵌套; 3。整合讨论结果,做好最后陈述

三、深入思考

反思例 1 得 结论 1:已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? An2 ? Bn ? C( A ? 0) , ( A, B, C 均为常数) , 则 {an } 为等差数列的充要条件是 C ? 0 ; 类比例 1 得到: 例 2.若等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3? n ? a ,求实数 a 的值;答: a ? ?3 2 结论 2:已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? Aqn ? B( A ? 0, q ? 1) , ( A, B, q 均为常数)则 {an } 为 等比数列的充要条件是 B ? ? A ; 变式:对于非常数数列 {an } ,我们有以下结论:若数列 {an } 为等比数列,则该数列的前 n 项和为 ,写出它的逆命题并判断真假,请说明理由。 Sn ? A? n ? B ( A, B 为常数) a 解题回顾:等差、等比数列定义中的限制条件;运算中式子的变形所需要的限制条件 及公式 an ? ?

?

a1

n ?1

?Sn ? Sn?1 n ? 2, n ? N

的限制条件 ,引起了分类讨论。

四、再进一步思考
例 3. 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足 lgan=lgan-1+lgc,其中 n 是大于 1 的整数,c 是正数. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 和 Sn; (2)求 lim 解:(1)由已知得 an=c·an-1, ∴{an}是以 a1=3,公比为 c 的等比数列,则 an ? 3cn?1 , n ? N *

2 n?1 ? a n 2 n ? a n?1

n??

的值.

(c ? 1) ?3n ? ∴ Sn ? ? 3(1 ? c n ) (c ? 0且c ? 1). ? ? 1? c
? 1 ?? 4 ? ? 1 = ?? ? c ? 1 ? 2 ? c?2 c?2 0?c?2

(2) lim

2 n?1 ? a n 2 n ? a n?1

n??

= lim

n??

2 n ?1 ? 3c n ?1 2 n ? 3c n

解题回顾:运用极限法则、等比数列前 n 项和公式而引起的分类讨论 。 例 4.已知数列 {an}, {bn} 满足 a1=1, a2=a(a 为常数), 且 bn=anan+1,其中, n=1, 2, 3,?. (1) 若 {an} 是等比数列, 试求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn 的公式.

(2)当 {bn} 是等比数列时, 甲同学说: {an} 一定是等比数列, 乙同学说: {an} 一定不是等比数列. 你认为他们的说法是否正确? 为什么?

? ?n (a ? 1) ? ? 解( 1) S n ? ?? n (a ? ?1) (2) 当 q=a2 时,是等比数列, 当 q?a2 时不是等比数列 ? a (1 ? a 2 n ) ? (a ? ?1). ? 1 ? a2 ?
解题回顾:由于{an}的奇数项、偶数项各自满足不同的等式,引起的分类讨论

五、拓展与反思
? 1 ? 2 an 1 ? 例 5.设数列 {an } 的首项 a1 ? a2 ? ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 ? n 4 ?
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 数 偶
,

n为 数 奇

1 ,n==l,2,3,?· . 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n ??

解: (I)a2=a1+

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a ? ; 4 4 2 2 8 1 1 1 1 1 1 (II)因为 bn+1=a2n+1- = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{bn}是首项为 a- , 公比为 的等比数列· 4 2 1 b1 (1 ? n ) 2 ? b1 ? 2(a ? 1 ) . (III) lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim n ?? n ?? 1 1 4 1? 1? 2 2

解题回顾:分段本身就是一种分类讨论,需对数列的每一段情况分别进行研究, 因而引起了分类 讨论。

六、总结提炼
对建构概念的认识完善 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想, 2.分类讨论实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略。 3.分类原则:分类对象确定,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论。 4.分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分类;逐类进行讨论, 获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。

5. 引起分类讨论主要原因是: (1) .由概念、定义、基本方法引起的分类讨论: (2) .由公式、定理的应用条件引起的分类讨论: (3) .在含参数问题中,由参数的取值引起的分类讨论 (4) .在由几何图形或借助数形结合解决数学问题时,由于图形中各元素相对位置不确定而引发 的分类讨论 6.注意简化或避免分类讨论。

高中数学教学中函数与方程的思想方法

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入 手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程 (组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 Ⅰ、再现性题组: 1. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2)
2

C.

(2,3)

D.

(3,+∞) D. f(4)<f(2)<f(1)

2. 如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么_____。 A. f(2)<f(1)<f(4) A.有且仅有一个实根 B. f(1)<f(2)<f(4) B.至多一个实根 C. f(2)<f(4)<f(1) (a 是常数) ______。 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 3. 已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a

4. 已知 sinθ +cosθ = ,θ ∈( A. -

1 5

π ,π ),则 tgθ 的值是_____。 2
C.
p

4 3

B. -

3 4

4 3

D.

3 4

5. 已知等差数列的前 n 项和为 S n ,且 S =S q
2

(p≠q,p、q∈N),则 S p ? q =_________。

6.关于 x 的方程 sin x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是__________。 7.正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为___________。 8. 建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为___________。 Ⅱ、示范性题组: 例 1. 设 a>0,a≠1,试求方程 log a (x-ak)=log
a2
3

(x -a )有实数解的 k 的范围。(89 年全国高考)

2

2

【解】 将原方程化为:log a (x-ak)=log a

? x ? ak ? 0 x 2 ? a 2 , 等价于 ? ? 2 2 ? ? x ? ak ? x ? a

(a>0,a≠1)

∴ k= 设

x - ( x )2 ? 1 a a

( |

x |>1 ), a

x π ,0)∪(0, π ),则 k=f(θ )=cscθ -|ctgθ | =cscθ , θ ∈(- a 2 2

当θ ∈(- 当θ ∈(0,

π ,0)时,f(θ )=cscθ +ctgθ =ctg θ <-1,故 k<-1; 2 2 π )时,f(θ )=? 2

综上,k 的取值范围是? 【注】 引入新的变量,而用函数值域加以分析,此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。 (分 离参数法、三角换元法、等价转化思想) 【另解】 (数形结合法) :

【再解】 (方程讨论法) : 例 2. 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势, 易把它看成关于 x 的不等式讨论。 然而, 若变换一个角度以 m 为变量, 记 f(m)=(x -1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数 x 应满 足的条件。 【解】 设 f(m)=(x -1)m-(2x-1), 则 ? ?
2 2 2

? f ( 2) ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0
2 ? ? f ( ?2) ? ?2( x ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0

解得 x∈(

7 ?1, 3 ?1 ) 2 2
2 2

【注】本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)的解集是[-2,2]时求 m 的值、 关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围。 在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。 例 3. 设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12,S 12 >0,S 13 <0 。 ①.求公差 d 的取值范围; ②.指出 S 1 、S 2 、?、S 12 中哪一个值最大,并说明理由。(92 年全国高考) 【分析】 ①问用 a n 、S n 易求;②问利用 S n 是 n 的二次函数而求什么时候取最大值。 【解】

【注】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数, 因此可利用函数思想来分析或用 函数方法来解决数列问题。 【另解②问】 (寻求 a n >0、a n?1 <0 ) :

例 4. 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆周上任一点,设∠BAC=θ ,PA=AB=2r,求 异面直线 PB 和 AC 的距离。 【分析】 异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值,从而设定变量,建立 目标函数而求函数最小值。 【解】 在 PB 上任取一点 M,作 MD⊥AC 于 D,MH⊥AB 于 H, 设 MH=x,则 MH⊥平面 ABC,AC⊥HD 。 ∴ MD
2 2 2 2 2 2 2 2

P θ x+ A M H D C B

=x

+ [(2r - x)sin θ ]
2

= (sin
2

+ 1)x

- 4rsin

4r sin θ =(sin θ +1)[x- 2r sin θ ] + 4r sin θ
2 2
2

1 ? sin 2 θ

1 ? sin 2 θ

2 即当 x= 2r sin θ 时,MD 取最小值

2r sin θ 1 ? sin 2 θ

1 ? sin θ
2

为两异面直线的距离。

【注】 求最大值、最小值的实际问题,将文字说明转化成数学语言后,建立数学模型和函数关系式,利用函 数性质、重要不等式和有关知识解答。 (见再现性题组第 8 题) 例 5. 已知△ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列,且 tgA·tgC=2+ 3 ,又知顶点 C 的对边 c 上的高等 于 4 3 ,求△ABC 的三边 a、b、c 及三内角。 【解】 由 A、B、C 成等差数列,可得 B=60°; 由△ABC 中 tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC,得 tgA+tgC=tgB(tgA·tgC-1)= 3 (1+ 3 ) 设 tgA、tgC 是方程 x -( 3 +3)x+2+ 3 =0 的两根,解得 x 1 =1,x 2 =2+ 3 设 A<C,则 tgA=1,tgC=2+ 3 , ? ∴A=
2

π ,C= 5π 4 12

例 6. 若(z-x)

2

-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z 成等差数列。
2

【分析】 题设正好是判别式 b -4ac=0 的形式,因此构造一个一元二次方程求解。 【证明】 当 x=y 时,可得 x=z,
2

∴x、y、z 成等差数列;

当 x≠y 时,设方程(x-y)t -(z-x)t+(y-z)=0,由△=0 得 t 1 =t 2 ,并易知 t=1 是方程的根。 ∴t 1 ·t 2 = y ? z =1

x? y

, 即 2y=x+z ,

∴x、y、z 成等差数列

【注】 题设条件具备或经变形整理后具备 x 1 +x 2 =a、x 1 ·x 2 =b 的形式,则利用根与系数的关系构造方 程;具备 b -4ac≥0 或 b -4ac≤0 的形式,可利用根的判别式构造一元二次方程。 例 7. △ABC 中,求证:cosA·cosB·cosC≤ 【证明】 设 k=cosA·cosB·cosC=
2 2 2 2

1 。 8

1 1 [cos(A+B)+cos(A-B)]·cosC= [-cosC+cos(A-B)]cosC 2 2

整理得:cos C-cos(A-B)·cosC+2k=0,即看作关于 cosC 的一元二次方程。 ∴ △=cos (A-B)-8k≥0 即 8k≤cos (A-B)≤1
2

∴ k≤ 即 cosA·cosB·cosC≤

1 8

1 8

【注】既是方程思想,也属判别式法。还可用放缩法:cosA·cosB·cosC=? -



1 cos 2 C+ 1 cos(A-B)·cosC=- 1 [cosC- cos( A ? B) ] 2 + 1 cos 2 (A-B)≤ 1 cos 2 (A-B) ≤ 1 2 2 2 8 8 8 2

例 8. 设 f(x)=lg

1 ? 2 x ? 4 x a ,如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围。 3
x x

【解】 由题可知,不等式 1+2 +4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,即:( 设 t=(
2

1 ) 2 x +( 1 ) x +a>0 2 2

1 ) x , 则 t≥ 1 , 2 2

又设 g(t)=t +t+a,其对称轴为 t=-

2

1 2

∴ t +t+a=0 在[

1 ,+∞)上无实根, 即 g( 1 )=( 1 ) 2 + 1 +a>0,得 a>- 3 2 2 2 2 4

【注】 二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法:

Ⅲ、巩固性题组: 1. 方程 sin2x=sinx 在区间(0,2π )内解的个数是_____。 A. 1 B. 2
x

C. 3

D.

4

2. 已知函数 f(x)=|2 -1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),则_____。 A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0
2

C. 2

?a

<2

c

D. 2 +2 <2

a

c

3. 已知函数 f(x)=log a (x -4x+8), x∈[0,2]的最大值为-2,则 a=_____。 A.

1 2

B.

1 4

C.

2

D. 4

4.已知{a n }是等比数列,且 a 1 +a 2 +a 3 =18, 2 +a 3 +a 4 =-9,S n =a 1 +a 2 +?+a n ,那么 lim S n a
n→∞

等于_____。 A. 8 B. 16 C. 32 D. 48

5.等差数列{a n }中,a 4 =84,前 n 项和为 S n ,已知 S 9 >0,S 10 <0,则当 n=______时,S n 最大。 6. 对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p,使不等式 x +px〉4x+p-3 成立的 x 的取值范围是________。 7.若关于 x 的方程|x -6x+8|=a 恰有两个不等实根,则实数 a 的取值范围是____________。 8.已知点 A(0,1)、B(2,3)及抛物线 y=x +mx+2,若抛物线与线段 AB 相交于两点,求实数 m 的取值范围。
2 2 2

9.已知实数 x、y、z 满足等式 x+y+z=5 和 xy+yz+zx=3,试求 z 的取值范围。

10.已知 lg

2

a -4·lg a ·lg b =0,求证:b 是 a、c 的等比中项。 c b c

11.设α 、β 、γ 均为锐角,且 cos α +cos β +cos γ +2cosα ·cosβ ·cosγ =1,求证:α +β +γ =π 。

2

2

2

12.当 p 为何值时,曲线 y =2px (p>0)与椭圆

2

1 (x―2― p ) 2 +y 2 =1 有四个交点。(88 年全国高考) 4 2

13.已知关于 x 的实系数二次方程 x +ax+b=0 有两个实数根α 、β 。证明: ①. 如果|α |<2,|β |<2,那么 2|a|<4+b 且|b|<4; ②. 如果 2|a|<4+b 且|b|<4,那么|α |<2,|β |<2 。 (93 年全国理)

2

14.设 f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数, k∈Z, I k 表示区间(2k-1,2k+1], 对 用 已知当 x∈I 0 时, f(x)=x 。
2

①.求 f(x)在 I k 上的解析表达式; (89 年全国理)

②.对自然数 k, 求集合 M k ={a|使方程 f(x)=ax 在 I k 上

有两个不相等的实根}。

山东省 2008 年普通高中学生学业水平考试数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本答题共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求)

1.若全集 U={1.,2,3,4} ,集合 M={1,2},N={2,3},则集合 CU(M ? N)= A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4}

( )

2.若一个几何体的三视图都是三角形,则这个集合体是 ( ) A. 圆锥 B.四棱锥 C.三棱锥 D.三棱台 ( ) D.

3.若点 P(-1,2)在角 ? 的终边上,则 tan ? 等于 A. -2 B. ?

5 5

C. ?

1 2

2 5 5
( )

4.下列函数中,定义域为 R 的是 A. y= x B. y=log2X
|x|

C. y=x

3

D. y=

1 x
( )

5.设 a>1,函数 f(x)=a 的图像大致是

6.为了得到函数 y=sin(2x-

? ) ? R)的图像,只需把函数 (X 3
( )

y=sin2x 的图像上所有的点

? 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 3
A.向右平移 ( ) A. R=a B. R=

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6
B.向右平移

7. 若 一 个 菱 长 为 a 的 正 方 形 的 个 顶 点 都 在 半 径 为 R 的 球 面 上 , 则 a 与 R 的 关 系 是

3 a 2

C. R=2a

D. R= 3a

8.从 1,2,3,4,5 这五个数字中任取两数,则所取两数均为偶数,则所取两数均为偶数的概率 是 ( )

A.

1 10

B.

1 5

C.

2 5

D.

3 5

9.若点 A(-2,-3) 、B(0,y) 、C(2,5)共线,则 y 的值等于 ( ) A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 ( ) D. 192
2 2

10.在数列{an}中,an+1=2an,a1=3,则 a6 为 A. 24 B. 48 C. 96

11. 在 知 点 P ( 5a+1 , 12a ) 在 圆 ( x-1 ) +y =1 的 内 部 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A. -1<a<1 C. ? B. a<

12.设 a,b,c,d ? R,给出下列命题: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a>b,c>d,则 a+b>b+d; ③若 a>b,c>d,则 ac>bd; ④若 ac >bc 则 a>b; 其中真命题的序号是 A. ①② B. ②④
2 2,

1 1 <a< 5 5

1 13 1 1 D. ? <a< 13 13

( ) C. ①②④ D. ②③④

13.已知某学校高二年级的一班和二班分别有 m 人和 n 人(m ? n) 。某次学校考试中,两班学生的 平均分分别为 a 和 b(a ? b) ,则这两个班学生的数学平均分为 A. ( )

a?b 2

B. ma+nb

C.

ma ? nb m?n

D.

a?b m?n

14.如图所示的程序框图中, 若给变量 x 输入-2008, 则变量 y 的输出值为 ( A. -1 C. 1 )

B . -2008 D. 2008
0

15.在△ABC 中,若 a= 5 2 ,c=10,A=30 ,则 B 等于 ( ) A. 105
0

B. 60 或 120

0

0

C. 15

0

D. 105 或 15

0

0

第Ⅱ卷 (非选择题 共 55 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16.函数 y=2sin(

?
3

x?

1 )的最小正周期是 2



17.今年某地区有 30000 名同学参加普通高中学生学业水平考试, 为了了解考试成绩, 现准备采用 系统抽样的方法抽取样本。已确定样本容量为 300,给所有考生编号为 1~30000 以后,随机抽 取 的 第 一 个 样 本 号 码 为 为 18.已知函数 f(x)= ? 97 , 则 抽 取 的 样 本 中 最 大 的 号 码 数 应 .

? x ? 1 ( x ? 0) ,则 f(f(-2) )= ( x ? 0) ?0

. .

19.已知直线 a,b 和平面 ? ,若 a ? b,a ? 20.若 x,y 满足 ?

? ,则 b 与 ? 的位置关系是


?x ? y ? 3 ,则 z=3x+4y 的最大值是 ? y ? 2x

三、解答题(本小题共 5 个小题,共 35 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分 6 分)求函数 f(x)=2sin(x+

? )-2cosx 的最大值。 6

22.(本小题满分 6 分) 直线 L 过直线 L1:x+y-1=0 与直线 L2: x-y+1=0 的交点, 且与直线 L3: 3x+5y=7 垂直,求直线 L 的方程。

23. (本小题满分 7 分)在盒子里有大小相同,仅颜色不同的 5 个小球,其中红球 3 个,黄球 2 个,现从中任取一球请确定颜色后再放回盒子里,取出黄球则不再取球,且最多取 3 次,求: (1)取一次就结束的概率;

(2)至少取到 2 个红球的概率。

24. (本小题满分 8 分)等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,求该数列前 9 项和 S9.

25. (本小题满分 8 分)已知奇函数 f(x)= (1)求实数 a、b 的值:

1 x?b 的定义域为 R,且 f(1)= . 2 2 x ?a

(2)证明函数 f(x)在区间(-1,1)上为增函数: (3)若 g(x=3 -f(x) ,证明 g(x)在(- ?,?? )上有零点。
-x

山东省 2008 年学业水平(会考)考试答案

一、选择题 1.D 12.B 二、填空题 16、 6 19、b ? ?或b ∥α 三、解答题 17、 29997 20、 11 18、 1 2.C 13. C 3.A 14.A 4.C 5.A 15.D 6. B 7.B 8.A 9. C 10. C 11.D

21. 解:

f ( x) ? 2(

3 1 sin x ? cos x) ? 2 cos x ? 3 sin x ? cos x 2 2

? ). 6 ? ∵ -1≤sin(x- )≤1 6
= 2sin(x- ∴ f (x)max = 2 . 22. 解:联立 x+y-1=0 与 x-y+1=0, 得 x = 0, y = 1 . ∴直线 l1 与直线 l2 的交点是(0,1).

3 , 且直线 l⊥直线 l3 . 5 5 所以,直线 l 的斜率是 k = . 3
因为直线 l3 的斜率是 k3= ? 因此,直线 l 的方程是 5x – 3y + 3 = 0. 23. 解: (1)设第一次就取到黄球的事件为 A, 则 P(A)=

2 5

(2)设前两次取到红球,且第三次取到黄球的事件为 B, 设前三次均取到红球为事件 C, 则 B、C 为互斥事件, 故所求事件的概率为: P(B∪C)= P(B)+ P(C)

=

3? 3? 2 3? 3? 3 9 ? ? 5 ? 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 25
得, ?

24. 解:由 ? 得

?a1 ? a 4 ? a7 ? 15 ?a3 ? a6 ? a9 ? 3
a1+a9 = a4+a6 = 6

?a 4 ? 5 ?a6 ? 1

所以,S9=

(a1 ? a9) 9 ? 27 2

25. 解:(1)因为 f(X)的定义域为 R,且为奇函数, 所以 f(0)=0,即=0,所以 b=0, 又 f(1)=

1 2

所以

1 1 = 所以 a=1 a ?1 2

(2)由(1)知 f(x)= 设-1<X1<X2<1, f(x1)-f(x2)=

x x ?1
2

x1 x ? 22 x ?1 x2 ?1
2 1

=

2 x 1 x2 ? x1 ? x2 x12 ? x2 = 2 (x1 ? 1)(x2 ? 1) 2

X1 X 2

( X1 ? X 2 ) ? ( X 2 ? X1 )
2 (x1 ? 1)(x2 ? 1) 2

=

(x1 x 2 ? 1)(x 2 ? x1 ) 2 (x1 ? 1)(x2 ? 1) 2

由 -1<X1<X2<1, 得 X2 -X1>0 , x1x2<1 . ∴f(x1) – f (x2) < 0 , f (x1) < f(x2) ∴ 函数 f(x)在区间(-1,1)上为增函数 . (3)∵ g(x) = 3
-x

-

x , ∴ g(0) =1>0 . x ?1
2 1

g(1) =

1 1 1 ? ? ? ? 0. 3 2 6

∴ g(0)g(1) < 0 . ∴ g(x)在(0,1)内至少有一个零点. 因此,函数 g(x)在(-∞,+∞)上有零点.

山东省 2009 年新课标学业水平考试样卷一(高中数学) 第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目的要求) 1、已知集合 U ? ? ,2,3 4,5,6,7? A ? ?2,4,6? B ? ? ,3,5,7? A ? CU B 等于 1 , , 1 , A

?2,4,6?
x

B

?1,3,5?

C

?2,4,5?

D

?3,5?

2、函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 等于 A 0.5 B 2 C 4 D 0.25

3、若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? 3 ,则在直线 l 上的点是 A C

(1, 3) (? 3,1)

B D

( 3,1) (1,? 3)

4、某建筑物的三视图如图所示,则此建筑物结构的形状是 A 圆锥 B 四棱柱 C 从上往下分别是圆锥和四棱柱 D 从上往下分别是圆锥和圆柱 5、直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l 2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k 的值是 A -3 B 0 C 0 或-3 D 0或1 6、算法程序框图如图所示,最后输出的结果是 A C 数列 ?n?的第 100 项 数列 ?n?的前 100 项和 B D 数列 ?n?的前 99 项和 数列 ?n?的前 101 项和

7、抽样时,每次抽取的个体再放回总体的抽样为放回抽样,那么 在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,属放回抽样的有 A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 8、袋内装有红、白、黑球分别为 3、2、1 个,从中任取两个, 则互斥而不对立的事件是 A 至少一个白球;都是白球 B 至少一个白球;至少一个黑球 C 至少一个白球;一个白球一个黑球 D 至少一个白球,红球、黑球各一个 9、已知 sin ? cos ? ?

1 ? ,0 ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的值是 8 2
B

A

3 2

1 4

C

?

3 2

D

5 2

10、已知正方形 ABCD 的棱长为 1,设 AB ? a, AC ? c, BC ? b, 则 a ? b ? c 等于 A 0
0

B

2

C

2 2

D

3

11、 cos105 等于

A

2? 3

B

2? 6 4

C

2? 6 4

D

6? 2 4

12、在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, C ? 1200 ,则 sin A 的值是

A

57 19

B

21 7

C

3 38

D

?

57 19

2 2 13、在等差数列 ?an ? 中,若an ? 0, a3 ? a8 ? 2a3 a8 ? 9 ,则其前 10 项和为

A

-13

B

-15

C

-11

D

-9

14 、 若 a, b, c ? R , 给 出 下 列 命 题 : ① 若 a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ; ② 若

a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ;
③若 a ? b, c ? d , 则ac ? bd ;④若 a ? b, c ? 0,则ac ? bc .其中正确命题的序号是 A ①②④ B ①④ C ①③④ D ②③ 15、下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是 x Y A 4 15 5 17 B 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27

二次函数模型 C 指数函数模型 D 对数函数模型 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16、已知幂函数 y ? f (x) 的图像过点 (2, 2 ) ,则 f (9) ? ______________. 17、圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 _________________________. 18、一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下:

一次函数模型

(10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2. ,则样本在区间 (10,50] 上的频率是_____________.
19、设 a ? ( x,?2),b ? (?3,5), 且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是___________. 20、在等比数列 ?an ? 中,an ? 0(n ? N * ),且a6 ? a4 ? 24, a3 a5 ? 64, ,则 ?an ? 的前 8 项和是 ________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 35 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 21、本小题满分 6 分 已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos? , sin ? ), a ? b ?

2 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值. 5

22、本小题满分 6 分 在正方体 ABCD? A1 B1C 1D1 中, E, F 分别是 DC和CC1 的中点.求证: D1 E ? 平面ADF

23、本小题 8 分已知 a ? R ,解关于 x 的不等式 (a ? x)(x ? 1) ? 0 .

24、本小题 7 分 已知函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? a ( a , b ? R )
2

(1)若 a 从集合 {0,1, 2,3} 中任取一个元素, b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程

f ( x) ? 0 恰有两个不相等实根的概率;
(2)若 b 从区间 [0, 2] 中任取一个数, a 从区间 [0,3] 中任取一个数,求方程 f ( x) ? 0 没有实

根的概率.

25、本小题 8 分 对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) . 2 ?1
x

(1)用函数单调性的定义证明 f ( x)在(??,??) 上是增函数; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x) 为奇函数?

2010 年山东省普通高中学业水平考试数学试题
第一卷(选择题 共 45 分)

一、选择题(15’×3=45’)
1、已知角的终边经过点(-3,4) ,则 tanx 等于

4 D 3 3 2、已知 lg2=a,lg3=b,则 lg 等于 2 b A a-b B b-a C a
A B

3 4

?

3 4

C

?

4 3

D

a b

3、设集合 M= ?(1,2)?,则下列关系成立的是 A 1∈M B 2∈M C (1,2)∈M D (2,1)∈M 4、直线 x-y+3=0 的倾斜角是 A 300 B 450 C 600 D 900 5、底面半径为 2,高为 4 的圆柱,它的侧面积是 A 8π B 16π C 20π D 24π 6、若 b<0<a(a,b∈R),则下列不等式中正确的是 A b2<a2 B

7、已知 x∈(A

3 4

4 ? ,o),cosx= ,则 tanx 等于 5 2 4 3 4 ? B ? C D 3 4 3

1 1 ? b a

C

-b<-a

D a-b>a+b

8、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn= A

1 20

B

1 24

C

1 28

n ?1 ,则 a3 等于 n?2 1 D 32

9、在Δ ABC 中,sinA ? sinB-cosA ? cosB<0 则这个三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 10、若函数 f ( x) ?

A 在(-2,+ ? ),内单调递增 B 在(-2,+ ? )内单调递减 C 在(2,+ ? )内单调递增 D 在(2,+ ? )内单调递减 11、在空间中,a、b、c 是两两不重合的三条直线,α 、β 、γ 是两两不重合的三个平面,下列 命题正确的是 D1 A 若两直线 a、b 分别与平面α 平行, 则 a∥b C1 B 若直线 a 与平面β 内的一条直线 b 平行,则 a∥β A1 B1 C 若直线 a 与平面β 内的两条直线 b、c 都垂直,则 a⊥β D 若平面β 内的一条直线 a 垂直平面γ ,则γ ⊥β 12、不等式(x+1) (x+2)<0 的解集是 D C A x ? 2 ? x ? ?1 B x x ? ?2或x ? ?1 A B

1 ( x ? 2) ,则 f(x) x?2

?

?

?

?

C x1 ? x ? 2

?

?

D

?x x ? 1或x ? 2?

13、正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1 C1 与 BD 所在直线所成角的大小是 A 300 B 450 C 600 D 900 14、某数学兴趣小组共有张云等 10 名实力相当的组员, 现用简单随机抽样的方法从中抽取 3 人参加比赛, 则张云被选中的概率是 A 10% B 30% C 33.3% D 37.5% 15、如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c, 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白处的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?”或“:=” ) A c>x B x>c C c>b D b>c

开始

输入 a,b,c

x=a

b>x? 否

是 x=b 是 x=c

第二卷(非选择题共 55 分)
二、填空题(5’ ×4=20’)
16、已知 a>0,b>0,a+b=1 则 ab 的最大值是____________ 17、若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1=0 平行,则实数 a 等于____________ 18、已知函数 f ( x) ? ?

?2 , ( x ? 4) , f ( x ? 1), ( x ? 4) ?
x



那么 f(5)的值为____________ 19、在[-π ,π ]内,函数 y ? sin( x ?

?
3

输出 x

) 为增函数的区间是____________
结束

20、设┃a┃=12,┃b┃=9,a ? b=-54 2 , 则 a 和 b 的夹角θ 为____________

三、解答题(共 5 小题,共 35 分)
21、已知 a =(2,1)b=(λ ,-2) ,若 a⊥ b,求λ 的值 22、 (6’)已知一个圆的圆心坐标为(-1, 2) ,且过点 P(2,-2) ,求这个圆的标准方程

23、 (7’)已知 ?an ? 是各项为正数的等比数列,且 a1=1,a2+a3=6,求该数列前 10 项的和 Sn

24、 (8’)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin x ? cos x, x ? R 2 2

求 f(x)的最大值,并求使 f(x)取得最大值时 x 的集合 25、 (8’)已知函数 f(x)满足 xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且 f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任意 x 都 成立 (1)求 f(x)的解析式及定义域 (2)写出 f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数?

参考答案
一、1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A 1 1 ? 5? 3? 二、16、 17、 18、8 19、 [ ? , ] 20、 4 3 6 6 4 三、21、解:∵a⊥b,∴a ? b=0,又∵a=(2,1) =(λ ,-2) ,b ,∴a ? b=2λ -2=0,∴λ =1
22、解:依题意可设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=r2。 ∵点 P(2,-2)在圆上,∴ r2=(2+1)2+(-2-2)2=25 ∴所求的圆的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=52 。 23、解:设数列 ?an ? 的公比为 q,由 a1=1,a2+a3=6 得:q+q2=6,即 q2+q-6=0, 解得 q=-3(舍去)或 q=2∴S10=

a1 (1 ? q10 ) 1 ? 210 ? ? 210 ? 1 ? 1023 1? q 1? 2

24 解:∵ f ( x) ?

3 1 ? ? ? sin x ? cos x ? sin x cos ? cos x sin ? sin(x ? ) 2 2 6 6 6

∴f(x)取到最大值为 1 当x?

?
6

? 2k? ?

?

2 , k ? Z ,即x ? 2k? ? ? , k ? Z时 ,f(x)取到最大值为 1 2 3

∴f(x)取到最大值时的 x 的集合为 ? x│x ? 2k? ?

? ?

2 ? ? .,k ? Z ? 3 ?
b , x?c

25、解: (1)由 xf(x)=b+cf(x),b≠0,∴x≠c,得 f ( x) ? 由 f(1-x)=-f(x+1)得

b b ?? ∴c=1 1? x ? c x ?1? c b ?1 1 ? 由 f(2)=-1,得-1= ,即 b=-1∴ f ( x) ? , 2 ?1 x ?1 1? x
∵1-x≠0,∴x≠1 即 f(x)的定义域为 x│x ? 1

?

?

(2)f(x)的单调区间为(- ? ,1)(1,+ ? )且都为增区间 , 证明:当 x∈(- ? ,1)时,设 x1<x2<1, 则 1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? x2 1 1 ,∵1- x1>0,1- x2>0 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) x1 ? x2 1 1 <0 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴f(x)在(- ? ,1)上单调递增。同理 f(x)在(1,+ ? )上单调递增。

山东省 2011 年高中学业水平考试数学
一、选择题:本大题共 15 小题,每题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1.集合 M ? {0}, N ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1} ,则 M ? N 等于 A.{-1,1} B.{-1} C.{1} D.{0}
1

2.下列函数中,其图象过点(0,1)的是 A. y ? 2x B。 y ? log 2 x C。 y ? x 3 D. y ? sin x

3.下列说法正确的是 A.三点确定一个平面 C。过一条直线的平面有无数多个

B。两条直线确定一个平面 D. 两个相交平面的交线是一条线段

4.已知向量 a ? (2,1), b ? (?3, 4) ,则 a ? b 的坐标为 A. (-5,3)
0

?

?

? ?

B.(-1,5)
0 0 0

C.(5,-3)

D.(1,-5)

5. cos 75 cos15 ? sin 75 sin15 的值为

A..0

B.

1 2

C.

3 2

D.1

6.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 A. -8 B. 0 C. 2 D. 10

7.高三某班共有学生 56 人,其中女生 24 人,现用分层抽样的方法,选取 14 人参加一项活动, 则应选取女生 A. 8 人 B. 7 C. 6 人 D. 5 人 8.已知一个半球的俯视图是一个半径为 4 的圆,则它的主(正)视图的面积是 开始 A. 2? B. 4? C. 8? D. 16? 9.函数 f ( x) ? ( x ?1)( x ? 3x ? 10) 的零点个数是
2

S=0,n=1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10.已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x)( x ? R) ,下面结论正确的是

A. 函数 f ( x ) 的最小正周期为 C. 函数 f ( x ) 是奇函数

? 2

B. 函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上是增函数

S=S+

1 n

D. 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称

n=n+1
11.如图所示的程序框图,其输出的结果是 A. 1 B.

3 2

C.

11 6

D.

25 12

否 n>3 是 输出S 结束

12.在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则角 A 等于

A. 30

0

B. 60

0

C.

1200

D. 150

0

13.不等式组 ? x ? 0

?x ? y ? 4 ? ?y ? 0 ?

表示的平面区域内横、纵坐标均为整数的点的个数是 D. 9

A.15 B.14 C. 10 x , y 有如下观察数据: 14.已知变量

x
y

0 2.4

1 4.5

3 4.6

4 6.5

则 y 对 x 的回归方程是 ? ? 0.83x ? a ,则其中 a 的值为 y A. 2.64 B .2.84 C. 3.95 D.4.35 15.等比数列的前 2 项和为 2,前 4 项和为 10,则它的前 6 项和为 A. 31 B. 32 C. 41 D. 42 二、填空题:本大题共 5 题,每题 4 分,共 20 分. 16.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, x ? 0 ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? 。

17.等差数列 10、7、4?的第 10 项是 。 18.将一枚硬币连续投掷 3 次,则恰有连续 2 次出现正面向上的概率为 19.已知 sin ? ?



3 ? , ? ? ( , ? ) ,则 sin 2? 等于 5 2
0

。 cm.

20.一个圆锥的母线长是 20cm,母线与轴的夹角为 30 ,则圆锥的底面半径是

三、计算题:本大题共 5 题,其中第 21、22 题每题 6 分,23 题 7 分,24、25 题每题 8 分 21.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

22.已知平面向量 a ? (1, 3), b ? (cos x,sin x) ,设函数 f ( x) ? a ? b ,求函数 f ( x ) 的最大值及 取最大值时 x 的值。

?

?

? ?

23.袋中有标号为 1、2、3、4、5 的 5 个球,从中随机取出两个球。 (1)写出所有的基本事件; (2)求所取出的两个球的标号之和大于 5 的概率。

24.设 f ( x) ? x 2 ? ax 是 R 上的偶函数 (1)求实数 a 的值 (2)用定义证明: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。

25.已知平面上两点 M (4,0), N (1,0) ,动点 P 满足 | PM |? 2 | PN | (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程。 (2) 若点 Q (a,0) 是轨迹 C 内一点,过点 Q 任作直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,使证:

???? ?

??? ?

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? QA ?QB 的值只与 a 有关;令 f (a) ? QA ?QB ,求 f (a ) 的取值范围。

数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 15 小题,每题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1~5:DACCB 6~10:ACCCD 11~15:CBABD 二、填空题:共 5 题,每题 4 分,共 20 分. 16. ? 3 17. ? 17 18.

1 4

19. ?

24 25

20. 10

三、三、计算题:本大题共 5 题,其中第 21、22 题每题 6 分,23 题 7 分,24、25 题每题 8 分 21. 【解析】当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 不满足

?2, n ? 1, an ;所以数列的通项公式为 an ? ? ?2n ? 1, n ? 2.
22. 【解析】 f ( x) ? a ? b ? (1, 3) ? (cosx, sin x) ? cos x ? 3 sin x

? ? ? 1 3 ? ? 2( cos x ? sin x) ? 2 sin(x ? ) ,当 x ? ? 2k? ? ,即 x ? 2k? ? 时,函数 f (x) 取 6 2 3 2 2 6
得最大值 2. 23. 【解析】 (1)随机取两个球的基本事件为(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5) , , , , , , , (3,4)(3,5)(4,5). , , (2)两球标号之和大于 5 的有(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5) , , , , , , ,共有 7 个, 所以所求概率为

7 . 10
2 2

24 . 解 析 】 1 ) 因 为 函 数 f ( x) ? x ? ax 是 偶 函 数 , f (? x) ? x ? ax ? f ( x) , 即 【 (

x 2 ? ax ? x 2 ? ax ,所以 a ? 0 .
( 2 ) 证 明 : 由 ( 1 ) 知 f ( x) ? x , 任 设 两 个 变 量 x1 , x2 ? (0,??) , 不 妨 设 x1 ? x2 , 则
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) , 因 为 x1 ? x2 , 所 以 x1 ? x2 ? 0 , 又
2 2

x1 , x2 ? (0,??) , 所以 x1 ? x2 ? 0 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
即函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数.

25 . 【 解 析 】 (1) 设 点

P

的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 PM ? (4 ? x,? y) ,

???? ? ??? ? PN ? (1 ? x,? y) , PM ? (4 ? x) 2 ? y 2 ) , PN ? (1 ? x) 2 ? y 2 ) , 由 | PM |? 2 | PN | , 得
(4 ? x) 2 ? y 2 ) ? 2 (1 ? x) 2 ? y 2 ) ,整理得 x2 ? y 2 ? 4 ,它的轨迹是圆心在原点,半径为 2 的
圆. (2)由题意知直线斜率 k 存在,则直线方程为 y ? k ( x ? a) ,代入 x 2 ? y 2 ? 4 ,

2ak 2 整 理 得 (1 ? k ) x ? 2ak x ? (k a ? 4) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 得 x1 ? x2 ? , 1? k 2
2 2 2 2 2

x1 x2 ?

a 2k 2 ? 4 1? k 2

.

QA? QB ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 )

? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? y1 y2



y1 y2 ? k 2 ( x1 ? a)(x2 ? a) ? k 2[ x1x2 ? a( x1 ? x2 )] ,
所以 QA? QB ? (1 ? k 2 )[x1 x2 ? a( x1 ? x2 )] ? (1 ? k )[
2

k 2 a 2 ? 4 a ? 2ak 2 ? ? a2 ] ? a2 ? 4 , k 无 与 2 2 1? k 1? k

关,只与 a 有关.所以 f (a) ? a 2 ? 4 ,又因为点 Q (a, 0) 是轨迹 C 内一点,所以 ? 2 ? a ? 2 ,

0 ? a 2 ? 4 , ? 4 ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 f (a) ? a 2 ? 4 的取值范围是 (?4,0) .


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