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2015年重庆南开中学高2016级高三(上)12月月考 理科数学


重庆南开中学高 2016 级高三(上)12 月月考

数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.己知集合 M ? x x 2 ? 1 ? 0 ,N ? ? x <2 x ?1<4,x ? Z ? ,则 M ? N ? (

?

?

? 1 ? 2

? ?

) D.

A. ? 1?

B. ?? 1 , 0? )

C. ?? 1 , 0, 1?

2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为( A.

1 4

B.

1 2

C. 2 )

D.4

3.已知命题 p :对任意 x∈R,有 cos x ? 1 ,则( A. ?p:存在x ? R ,使 cos x>1 C. ?p:存在x ? R ,使 cos x ? 1
2

B. ?p:存在x ? R ,有 cos x>1 D. ?p:存在x ? R ,使 cos x ? 1 ) B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

4.若 P?2, 1? 为圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0

5.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4a1, 2a2,a3 成等差数列,若 a1 ? 1 ,则 S 4 ? ( A.7 B.8 C.15 D.16 6.已知函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? ?0<?<? ? ,若将函数 y ? f ?x ? 的图像向左平移 图像对应的函数为偶函数,则实数 ? ? ( A. ) C.

? 个单位后所得 6
D.

5? 6

B.

2? 3

? 3

? 6

7.已知 P?x,y ? 为区域 ? 是( A.5 )

? y 2 ? 4x 2 ? 0 内的任意一点,当该区域的面积为 2 时, z ? x ? 2 y 的最大值 ?0 ? x ? a

B.0

C.2

D. 2 2

8.已知抛物线 C 的顶点是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点 F2 重合,若抛物线 C 与 4 3
) D.2

该椭圆在第一象限的交点为 P ,椭圆的左焦点为 F1 ,则 PF 1 ? ( A.

2 3

B.

7 3
1

C.

5 3

9.已知函数 f ?x ? ? ln x ? tana? ? a ? ? 0, ? ? ? 的导函数为 f ' ? x ? ,若使得 f ' ?x0 ? ? 3 f ?x0 ? ? 0 成立

? ?

? ? ?? ? 2 ??
)

的 x0< 1,则实数 a 的取值范围为( A.(

? ? , ) 6 2

B.( 0, )

?

3

C.(

? ? , ) 6 4

D.(

? ? , ) 3 2
)

10.正三角形 ABC 内一点 M 满足 CM ? mCA ? nCB , ?MCA ? 45? ,则 A. 3 ? 1 B. 3 ? 1

m 的值为( n
D.

C.

3 ?1 2

3 ?1 2

11.已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1?a,b>0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与双曲线 C 的 b2
)

右支相交于 P , Q 点,若 PQ ? PF1 ,且 PF 1 ? PQ ,则双曲线的离心率 e ? ( A. 2 ? 1 B. 2 2 ? 1 C. 5 ? 2 2

D. 5 ? 2 2 )

12.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? A.

3 , an?2 ? an ? 3n , an?6 ? an ? 91 . 3n ,则 a 2015 ? ( 8

32015 3 ? 2 2

B.

3 2015 8

C.

32015 3 ? 8 2

D.

3 2015 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题。每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相对应的横线上. 13.已知向量 a ? ?x ? 1 ,x ? 1? , b ? ?? 2, 1? ,若 a ∥ b ,则实数 x ? 14.若实数 x, y 满足 x>0 , y>0 ,且 x ? 4 y ? 40 ,则 lg x ? lg y 的最大值为 15.已知 f ?x ? ? sin x ? 2 cos x ,若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? m 在 x ? ?0,? ?上有两个不同零点 ? 、 ? , 则 cos?? ? ? ? ? .

?

?

?

?

. .

16.设点 A?x1 y1 ? ,B?x2 y 2 ?,是椭圆

x x x2 ? y 2 ? 1 上两点,若过 A,B 且斜率分别为 ? 1 , 2 ,的两 4 4 y1 4 y 2
1 , E 6, 0 ,则 PE 的最小值为 4
2

直线交于点 P ,且直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为 ?

?

?



三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a3 ? a4 ? 16 , S 7 ? 63 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

? a1 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn< . 2 ? a n a n ?1 ?

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 tan A tan C ? (1)求 B 的大小;

1 ? 1. 2 cos A cos C

BC (2)若 BA·

?

1 2 b ,试判断 ?ABC 的形状. 2

19.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y 2 ? 2 px? p>0? 的焦点为 F(1,0),抛物线 E:x 2 ? 2 py 的焦点为 M . (1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点,求直线 l 的方程; (2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A、B 两点,求 ?OAB 的面积.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

1 y2 ? 1?a>b>0?的离心率为 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上 2 2 b

任意一点,且 ?PF 1 F2 面积最大值为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A、B 两点(点 A 在第一象限),M、N 是椭圆上位于 直线 l 两侧的动点,若 ?MAB ? ?NAB ,求证:直线 MN 的斜率为定值.

3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? e x , g ?x ? ? ln x ? m .

f ?x ? ? x· g ? x ? 在 ?0, ? ?? 上的极值; x 3 (2)若 m ? 2 ,求证:当 x ? ?0, ? ?? 时, f ?x ?>g ?x ? ? . 10 693 , ln 3 ? 1. 099 , ln 5 ? 1 . 609 , ln 7 ? 1 . 946 ) (参考数据: ln 2 ? 0.
(1)当 m ? ?1 时,求函数 F ? x ? ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC ,D 为 ?ABC 外接圆劣弧 上的点(不与

点 A、C 重合),延长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F. (1)求证: ?CDF ? ?EDF ; AC · DF ? AD· FC · FB . (2)求证: AB ·

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线

? x ? 8 cos? ? x ? ?2 ? cos a ?a为参数?, C 2: ??为参数? . C1: ? ? ? y ? 3 ? sin a ? y ? 2 3 sin ?
(1)将 C1 , C 2 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线。 (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 ? ?

?
2

, Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

?? ? l:? cos?? ? ? ? 3 的距离的最大值. 3? ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? 3x ? 2 . (1)解不等式 f ?x?<4 ? x ? 1 ; (2)已知 2m ? n ? 1?m,n>0? ,若 3 x ? a ? f ? x ? ?

1 2 ? ?a>0 ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. m n
4

5

6

7


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