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15248787.com:高一数学 第二章2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案

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甘肃省永昌县第一中学高一数学: 第二章 2.4.2 坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的

学习目标 1. 在坐标形式下,掌握平面向量数 量积的运算公式及其变式(夹角公式) ; 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 学习重点 平面向量数量积及运算规律. 学习难点 平面向量数量积的应用 教学设计 一、目标展示 二、自主学习 (一)复习:⑴向量数量积的交换律 : ⑵ ?a ?b =

? ?

.

= .

.

⑶向量的数量积的分配律:

?a ? b? ? c ? ⑷ ?a ? b? = ?a ? b? ? ?a ? b? ?
2

.

(二 )[读教材·填要点] 1.两向量的数量积与两向量 垂直的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ . 数量积 两个向量垂直 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即 a·b=x1x2+y1y2

a⊥b?x1x 2+y1y2=0

2.三个重要公式

三、合作探究 探究 1.已知向量 a=(x,y ),与向量 a 共线的单位向量 a0 的坐标是什么?

探究 2.向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量 a 在向量 b 方向上的投影怎样用 a,b 的坐标表示? 四、精讲点拨 [例 1] 已知向量 a=(1,3), b=(2,5), c=(2,1), 求: (1)2a·(b-a); (2)(a+2b)·c.

[悟一法] 1.通过向量的坐 标表示可实现向量问题的代数化, 应注意与函数、 方程等知识的联系. 2.向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充. [通一类] 1.若向量 a=( 4,-3),|b|=1,且 a·b=5,求向量 b.

[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点(如图).已知点 A(16,12)、B(-5,15). (1)求| OA |,| AB |; (2)求∠OAB.

[悟一法] 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为: (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= x +y 求两向量的模. (3)代入夹角公式求 cos θ ,并根据 θ 的范围确定 θ 的值. [通一类] 2.已知 a,b 为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 的夹角 θ 的余弦值等 于( )
2 2

A.

8 65

8 B.- 65

16 C. 65

16 D.- 65

[例 3] 已知△ABC 中,A(2,-1),B (3,2),C(-3,-1),BC 边上的高 为 AD,如图,求 D 点及 AD 的坐标.

[悟一法] 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化. 因此判定方法更 加简捷、运算更直接,体现了向量问题代数化的思想. [通一类] 3.设 a=(m+1,-3),b=(1,m-1),若(a+b)⊥(a-b),求 m 的值.

五、达标检测 1. 教材 P107 第 1—3 题 2.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的 是 ( A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b ) )

3. 已知向量 a=(1, -1), b=(1,2), 向量 c 满足(c+b)⊥a, (c-a)∥b, 则 c=( A.(2,1) B.(1,0) 3 1 C.( , ) 2 2 D.(0,-1)

4. 已知 OA =(-2,1), 则点 C 的坐标是( OB =(0,2)且 AC ∥ OB , BC ⊥ AB , A.(2,6) 2,6) 5.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为________. B.(-2,-6) C.(2, -6)

)

D.(-

6. 设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 且 a=(3,3), 2b-a= (-1,1), 则 cos θ 的值为________. 7.设 a=(4,-3),b=(2,1),若 a+tb 与 b 的夹角为 45°,求实 数 t 的值. 六、课堂小结 1.用 坐标表示向量的数量积,模,夹角等. 2.两向量垂直的坐标表示. ※ 知识拓展 (解题高手——不一样的旅程,不一样的风景,换个思维开拓视野! )

已知向量 a=( 3,-1)和 b=(1, 3),若 a·c=b·c,试求模为 2的向量 c 的坐标.

课后作业 教材 P108 第 5—11 题 教后反思


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