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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第三章 三角恒等变换3.2


阶 段 一

阶 段 三

3.2 二倍角的三角函数
阶 段 二 学 业 分 层 测 评

1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式.(重点) 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公 式变形运用.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 倍角公式 阅读教材 P119~P120 的全部内容,完成下列问题. 2sin αcos α ; (1)sin 2α=_____________
2 2 2 2 cos α - sin α 2cos α - 1 1 - 2sin α (2)cos 2α=_____________=_____________=_____________ ;

2tan α 2 1 - tan α (3)tan 2α=_____________.

1 1.若 sin α= ,则 cos 2α=________. 5

1 【解析】 ∵cos 2α=1-2sin α,sin α= , 5
2

1 23 ∴cos 2α=1-2× = . 25 25
【答案】 23 25

2.若 tan α=3,则 tan 2α=________.
2×3 2tan α 3 【解析】 ∵tan α=3,∴tan 2α= = =- . 4 1-tan2α 1-9
3 【答案】 - 4 3.若 sin 2α=-sin α,且 sin α≠0,则 cos α=________.

【解析】 ∵sin 2α=2sin αcos α,∴2sin αcos α=-sin α,又 sin α≠0,∴ 1 cos α=- . 2
【答案】 1 - 2

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
直接应用二倍角公式求值
5 π π 已知 sin 2α= , <α< ,求 sin 4α,cos 4α,tan 4α 的值. 13 4 2

【精彩点拨】 先由 α 的范围求 2α 的范围,并求出 cos 2α 的值,进而求出 sin 4α,cos 4α 及 tan 4α 的值.

π π π 【自主解答】 由 <α< ,得 <2α<π. 4 2 2 5 又因为 sin 2α= , 13 cos 2α=- 1-sin22α =-
?5? 12 ? ?2 1-?13? =- . 13 ? ?

于是 sin 4α=2sin 2αcos 2α

? 5 ? 120 ? 12? =2× ×?- ?=- ; 13 ? 13? 169

cos 4α=1-2sin22α
?5? ? ?2 119 =1-2×?13? = ; 169 ? ?

120 - 169 sin 4α 120 tan 4α= = =- . cos 4α 119 119 169

对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式 对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:8α 是 4α 的二倍 3 角;6α 是 3α 的二倍角;4α 是 2α 的二倍角;3α 是 α 的二倍角; 2 α α α α α α α 是 的二倍角; 是 的二倍角;?,?又如 α=2·, =2·,?. 2 4 3 6 2 2 4

[ 再练一题] 1 1.已知 sin α+cos α= ,0<α<π,求 sin 2α,cos 2α,tan 2α 的值. 3
【解】
2

1 ∵sin α+cos α= , 3
2

【导学号:06460078】

1 ∴sin α+cos α+2sin αcos α= . 9 8 4 ∴sin 2α=- 且 sin αcos α=- <0. 9 9 ∵0<α<π,∴sin α>0,cos α<0.

∴sin α-cos α>0. 17 ∴sin α-cos α= 1-sin 2α= . 3 ∴cos 2α=cos2α-sin2α =(sin α+cos α)(cos α-sin α) 1 ? 17 17? ? ? = ×?- =- . 3 ? 9 3 ? ? sin 2α 8 17 ∴tan 2α= = . cos 2α 17

逆用二倍角公式化简求值
2cos2 α-1 化简: . ?π ? ?π ? ? 2? ? - α + α 2tan? sin ?4 ? ?4 ? ? ? ? ?

【精彩点拨】

切化弦 → 逆用二倍角公式 → 化简,约分

【自主解答】

2cos2 α-1 原式= ?π ? ? 2sin? -α? ? ? ? ?4 ? 2?π ? - α · cos ?4 ? ?π ? ? ? ? ? cos? -α? ?4 ?

2cos2 α-1 = ?π ? ?π ? ? ? ? 2sin?4-α?· cos?4-α? ? ? ? ? ? 2cos2 α-1 cos 2α = = =1. cos 2α cos 2α

1.三角函数的化简有四个方向,即分别从“角”“函数 名”“幂”“形”着手分析,消除差异. 2.解决此类非特殊角的求值问题,其关键是利用公式转化 为特殊角求值,要充分观察角与角之间的联系,看角是否有倍 数关系,能否用二倍角公式求值,是否是互余关系,能否进行 正弦与余弦的互化;要充分根据已知式的结构形式,选择公式 进行变形并求值.

[ 再练一题] 2.求下列各式的值: π π (1)2sin cos ; 12 12 (2)1-2sin2750° ; 2tan 150° (3) ; 1-tan2150° π 5π (4)cos cos . 12 12

【解】

? π? π 1 ? ? (1)原式=sin?2× ?=sin = . 12? 6 2 ?

(2)原式=cos(2×750° )=cos 1 500° 1 =cos(60° +4×360° )=cos 60° = . 2 (3)原式=tan(2×150° )=tan 300° =tan(360° -60° ) =-tan 60° =- 3.
?π π? π π π ? ? (4)原式=cos cos? - ?=cos sin 12 ?2 12? 12 12

π π? 1? π 1 1 1 ? ? 1 2sin cos ?= sin = × = . = · 12 12? 2 6 2 2 4 2? ?

[ 探究共研型]
活用“倍角”关系巧解题
探究 1 已知
?π ? ? cos?4-x? ?的值,如何求 ? ?

sin 2x 的值?

【提示】 可利用 sin
探究 2

?π ? ? ? 2π 2x=cos? -2x?=2cos -x-1 4 ?2 ?

求解.

π 当题设条件中含有“ ± x”及“2x”这样的角时,如何快速解题? 4

【提示】 可借助角的互余关系及诱导公式,实现倍角关系的转换.

已知

?π ? 5 π ? ? sin?4-x?= ,0<x< ,求 4 ? ? 13
?π ? ? sin?4-x? ?求 ? ?

cos 2x 的值. ?π ? ? + x cos? ?4 ? ? ?
?π ? ? sin?4+x? ?即可. ? ?

【精彩点拨】

先由

?π ? ? cos?4+x? ?,再求 ? ?

【自主解答】

?π ? ?π ? π ? ? ? ∵?4-x?+?4+x? ?=2, ? ? ? ?

?π ? ?π ? 5 ? ? ? ? ∴sin?4-x?=cos?4+x?= , ? ? ? ? 13

π π π π 又 0<x< ,∴ <x+ < , 4 4 4 2

?π ? 12 ? ∴sin?4+x? ?=13. ? ? ?π ? ? sin?2+2x? ? cos 2x ? ? ∴ ? = ? ? ? π ? ? ?π cos? +x? cos? +x? ? ?4 ? ?4 ? ?π ? ?π ? ? ? ? 2sin? +x?cos? +x? ? ?4 ? ?4 ? = ?π ? ? cos? +x? ? ?4 ? ?π ? 24 ? =2sin?4+x? ?=13. ? ?

π 当遇到 ± x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式, 将 4 条件与结论沟.cos 样的变换还有: (1)cos (2)sin (3)sin
?π ? ?π ? π ? ? ? ? 2x=sin? +2x?=2sin? +x?cos +x; 4 ?2 ? ?4 ? ?π ? ? ? ? ? 2?π 2x=cos?2-2x?=2cos ?4-x? ?-1; ? ? ? ? ?π ? ? ? ? ? 2?π 2x=-cos? +2x?=1-2cos ? +x? ?等. 2 4 ? ? ? ? ?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? 2x=sin? -2x?=2sin? -x?· cos? -x? ?.类似这 2 4 4 ? ? ? ? ? ?

[ 再练一题] 3.已知
2 ?π ? 3 sin 2 x - 2sin x ? ? cos? +x?= ,求 的值. 4 5 1-tan x ? ?

sin 2x-2sin2x 2sin xcos x-2sin2x 【解】 ∵ = sin x 1-tan x 1- cos x 2sin x?cos x-sin x? = =2sin xcos x=sin 2x cos x-sin x cos x 又 sin
?π ? ? 2x=-cos? +2x? ? ?2 ?
2?π

=1-2cos

? ? 9 7 ? ?4+x?=1-2×25=25. ? ?

[ 构建· 体系]

α 3 1.若 sin = ,则 cos α=________. 2 3
【解析】 【答案】 1 1 cos α=1-2sin =1-2× = . 2 3 3 1 3


sin α+cos α 1 2.若 = ,则 tan 2α=________. sin α-cos α 2

sin α+cos α 1 【解析】 由 = 得,tan α=-3. sin α-cos α 2 -6 3 2tan α ∴tan 2α= = = . 1-tan2α 1-9 4
【答案】 3 4

π 2π 3.cos -sin =________. 12 12
2

【解析】

? π? ? 原式=cos?2× ? ?=cos 12 ? ?

π 3 = . 6 2

【答案】

3 2

tan 7.5° 4. =________. 【导学号:06460079】 2 1-tan 7.5°

1 2tan 7.5° 1 1 【解析】 原式= · = ×tan 15° = ×tan(60° -45° ) 2 1-tan2 7.5° 2 2 3-1 1 = × 2 1+ 3
2 ? 3 - 1 ? 1 1 4-2 3 2- 3 = × = × = . 2 ? 3+1?? 3-1? 2 2 2

2- 3 【答案】 2

7 π 5.已知 cos 2θ= , <θ<π, 25 2 2cos -sin θ 2 (1)求 tan θ;(2)求 . ? ? π ? θ + 2sin? ? 4?
? ?


7 7 9 2 2 【解】 (1)由 cos 2θ= ,得 1-2sin θ= ,sin θ= , 25 25 25 π 3 4 sin θ 3 ∵ <θ<π,∴sin θ= ,cos θ=- ,∴tan θ= =- . 2 5 5 cos θ 4 2cos -sin θ cos θ+1-sin θ 2 (2) = =2. ? ? π sin θ+cos θ ? ? 2sin?θ+4?
? ?


我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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