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不等式恒成立问题中的参数求解技巧 精选


不等式恒成立问题中的参数求解技巧 在不等式中, 有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。 恒成立条件下不等式参 数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可 借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中 的一个热点。其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小 值,③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例,从不同角度用常规方法归纳, 供大家参考。 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题, 若能把不等式转化成二次函数或二次方程, 通过 根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。
2 例 1 对于 x∈R,不等式 x ? 2 x + 3 ? m ≥ 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2 解 : 不 妨 设 f ( x ) = x ? 2x + 3 ? m , 其 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 为 了 使

f ( x ) ≥ 0( x ∈ R ) ,只需 ? ≤ 0 ,即 ( ?2) 2 ? 4(3 ? m) ≤ 0 ,解得 m ≤ 2 ? m ∈ (?∞ ,] 。 2
2 变形:若对于 x∈R,不等式 mx + 2 mx + 3 > 0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

此题需要对 m 的取值进行讨论,设 f ( x ) = mx + 2mx + 3 。①当 m=0 时,3>0,显然 成立。②当 m>0 时,则△<0 ? 0 < m < 3 。③当 m<0 时,显然不等式不恒成立。由①②③
2

3) 知 m ∈ [0, 。
2 关 键 点 拨 : 对 于 有 关 二 次 不 等 式 ax + bx + c > 0 ( 或 <0 ) 的 问 题 , 可 设 函 数

f ( x ) = ax 2 + bx + c , a 的符号确定其抛物线的开口方向, 由 再根据图象与 x 轴的交点问题,
由判别式进行解决。
2 在 求实数 k 的取值范围。 例 2 已知函数 f ( x ) = x ? 2kx + 2 , x ≥ ?1 时恒有 f ( x ) ≥ k , 2 解:令 F( x ) = f ( x ) ? k = x ? 2kx + 2 ? k ,则 F( x ) ≥ 0 对一切 x ≥ ?1 恒成立, F( x ) 而 是开口向上的抛物线。 2 ①当图象与 x 轴无交点满足△<0,即 ? = 4k ? 4(2 ? k ) < 0 ,解得-2<k<1。

+ ②当图象与 x 轴有交点,且在 x ∈ [ ?1, ∞ ) 时 F( x ) ≥ 0 ,只需

? ?? ≥ 0 ?k ≤ ?2或k ≥ 1 ? ? ? ?F( ?1) ≥ 0 ? ?1 + 2k + 2 ? k ≥ 0, ?3 ≤ k ≤ ?2 ? ? 2k ?k ≤ ?1 ?? ≤ ?1 ? 2 ? 由①②知 ? 3 ≤ k < 1
+ 关键点拨: 为了使 f ( x ) ≥ k 在 x ∈ [ ?1, ∞ ) 恒成立, 构造一个新函数 F( x ) = f ( x ) ? k 是 解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。 二、参数大于最大值或小于最小值 如果能够将参数分离出来, 建立起明确的参数和变量 x 的关系, 则可以利用函数的单调
性求解。a > f ( x ) 恒成立 ? a > f ( x ) max ,即大于时大于函数 f ( x ) 值域的上界。a < f ( x ) 恒 成立 ? a < f ( x ) min ,即小于时小于函数 f ( x ) 值域的下界。 例3 范围。
2 已知二次函数 f ( x ) = ax + x ,如果 x∈[0,1]时 | f ( x ) |≤ 1 ,求实数 a 的取值

2 解:x∈[0,1]时, | f ( x ) |≤ 1 ? ?1 ≤ f ( x ) ≤ 1 ,即 ? 1 ≤ ax + x ≤ 1 ①当 x=0 时,a∈R

1

?ax 2 ≥ ? x ? 1 ? 1 1 ? 2 a≥? 2 ? (0, 时,问题转化为 ?ax ≤ ? x + 1 恒成,由 1] ? x 恒成立,即求 x ②当 x∈ 1 1 1 ? 1 1? 1 1 1 u ( x ) = ? 2 ? = ?? + ? + ? 2 ? x ∈ (0,, ∈ [1, ∞),u ( x ) 1] + x 4。 x ? x 2? x 的最大值。 x x 设 因 为减函数,所以当 x=1 时, u ( x ) max = ?2 ,可得 a ≥ ?2 。 1 1 ? 1 1? 1 1 1 1 1 v( x ) = 2 ? = ? ? ? ? a≤ 2 ? ? 2 x ? x 2? 4 。因 x x 恒成立,即求 x x 的最小值。设 x 由 1 x ∈ (0,, ∈ [1, ∞),v( x ) 1] + x 为增函数,所以当 x=1 时, v( x ) min = 0 ,可得 a≤0。 由①②知 ? 2 ≤ a ≤ 0 。 1 | f ( x ) |≤ 1 分离出 a,然后讨论关于 x 的二次函数在 关键点拨:在闭区间[0,1]上使 [1, ∞ ) 上的单调性。 +
1. 2. 3. 围。 4. 5. 若 x ? 0, y? 0, 且 x +
2

2

2

一、不等式中的恒成立问题 不等式中的恒成立问题 若y=(m-1)x2+(m-1)x+2在x∈R上恒有y>0.求m的取值范围。 (二次函数 二次函数) 二次函数 关于 x 的不等式 上恒成立,求实数 a 的取值范围

若不等式 logax>sin2x,(a>0,a≠1)对于任意的 x∈(0,

π )恒成立,求实数 a 的范 4

y ≤ a x + y 恒成立,求实数 a 的取值范围

若不等式 2x-1 > m(x ? 1) 对满足-2 ≤ m ≤ 2 的所有实数 m 都成立, x 的取值范围(看 求 看 成直线形式) 成直线形式 6. 对于满足不等式 0 ≤ p ≤ 4 的实数 p,使得 x2+px<4x+p-3 恒成立,求 x 的取值范围(看 看 成直线形式) 成直线形式 二、函数中恒成立问题 7. 时,都有 恒成立,求 a 的取值 设 范围(导数 导数) 导数 8. 变式:已知函数 f(x)=x2+ax+3,当 x ∈ [ ?2,2] 时,f(x) ≥ a 恒成立,求实数 a 的取 值范围(导数 导数) 导数 9. 设 f(x)=lg 的取值范围。 10. x2 + 设 f( x) =ax2+bx+c,若 f( 1) =

1 + 2 x + 4 x .a ,其中 a ∈ R ,且当 x ∈ ( ?∞,1] 时,f(x)恒有意义,求 a 3 7 , 问是 否 存在 实数 a , b, c ,使 得不 等 式 2

1 3 ≤ f ( x ) ≤ 2 x 2 + 2 x + 对一切的实数 x 都成立,证明你的结论。 2 2 1 2 11.已知二次函数 y= x + bx + c 满足:对于任意的实数 x,不等式 f(x) ≥ f ( 2) = 1 恒 4
成立 (1)求二次函数 y=f(x)的解析式 (2)是否存在区间[m,n],使得 y=f(x)的值域恰为[m,n],存在求出 m,n 的值,不
2

存在,说明理由 12 已知函数 f(x)= (1) (2) a=

x 2 + 2x + a ,x ∈ [1,+∞). x

1 时,求函数 f(x)的最小值 2 若对于任意的 x ∈ [1,+∞). f(x)>0,恒成立,试求实数 a 的取值范围
2 2

1. (1)若关于 x 的不等式 x ? ax ? a > 0 的解集为 (?∞,+∞) ,求实数 a 的取值范围; ( 2 ) 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? ax ? a ≤ ?3 的 解 集 不 是 空 集 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 3 2

2 三个同学对问题“关于 x 的不等式 x + 25 + x ? 5 x ≥ ax 在 [1,12] 上恒成立, 求实

数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,求 a 的取值范围.

B = { x |1 < x < 3} , A I B ≠ ? ,求实数 a 的取值范围.

6. 设 a ∈ R , 二 次 函 数 f ( x) = ax 2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) > 0 的 解 集 为 A ,

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