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高二数学(理)期末综合训练一


高二数学(理)期末综合训练一
1、已知双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的实轴长为 2,离心率为 2,则双曲线 C 的焦点

坐标是_____________. ( ? 2, 0 ) 2、若
a ? bi 4?i ? 3 ? 2 i ( a、 b ? R ) ,其中 i 是虚数单位,则 a ? b 的值是____________.19
ax

3、若函数 y ? e
B .a ? ? 3

? 3 x ? x ? R ? 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围

4、对同一目标进行三次射击,命中的概率依次为 0.4、0.5、0.7,则“恰有一次击中目标”的 概率为 . 0.36 3 4 5、(1+x) +(1+x) +…+(1+x)15 的展开式中含 x4 的项的系数和是 . 4368 6、集合 A={1,2,3,4,5},B={1,6,7,8,9},从 A、B 中各取一数作为一点的坐标,这样的点 有 个.49 7、如果函数 f ( x ) 满足:对任意的 a , b ? R ,都有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) 且 f (1) ? 2 , 则
f (2) f (1) ? f (4) f (3) ? f (6 ) f (5) ?? ? f ( 2 0 0 8) f (2007) ? f (2010) f (2009)

=___________ 2010 .
? ? ? ? 3? ? ,? ? ?0, ? ? ? ? 4? ? 4 ?

8、直线 y=xcosα+1(α∈R)的倾斜角的取值范围是

9、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? ( m ? 1) y ? 2 ? m 与直线 m x ? 2 y ? ? 8 互相垂直的充要 条件是 m= .? 2
3

10、在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,∠BAC=90° ,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点,P 在 A1B1 上,则直线 PQ 与直线 AM 所成的角为 . 90° 11、由命题“存在 x ? R ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得 m 的取值范围是 ( a , ? ? ) ,
2

则实数 a 的值是

1
3 , D 、 E 分别是棱 SA、 SB 上的点, Q 为
10 4

12、正三棱锥 S ? A B C 中, B C ? 2 , S B ?

边 A B 的中点, S Q ? 平 面 C D E ,则三角形 C D E 的面积为_____________.

13、已知 是 答案
3 2

1 m

?

2 n

? 1( m ? 0 , n ? 0 ), 则当 mn 取得最小值时,椭圆

x m

2 2

?

y n

2 2

? 1 的离心率

.

14、在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? 3 x ? 2 m 和圆 x 2 ? y 2 ? n 2 相切,其中 m,
n ? N ,0 ? | m ? n |? 1 ,若函数 f ( x ) ? m
* x ?1

?n

的零点 x 0 ? ( k ,

k ? 1), k ? Z

,则 k= ▲ .0 E B

15、如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD, DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1) 求证:AF∥平面 BCE;(2) 求证:平面 BCE⊥平面 CDE. A
证明】(1)因为 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,所以 AB∥DE. 取 CE 的中点 G, 连结 BG、 GF, 因为 F 为 C D 的中点, 所以 GF∥ED∥BA, C GF=
1 2

F
( 第 15 题 图)

D

ED=BA, 从而 ABGF 是平行四边形,于是 AF∥BG. 因为 AF ? 平面 BCE,BG ? 平面 BCE,所以 AF∥平面 BCE.

????????4 分 ????????7 分

(2)因为 AB⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD, 所以 AB⊥AF,即 ABGF 是矩形,所以 AF⊥GF. 又 AC=AD,所以 AF⊥CD. ????????9 分 ??????? 11 分

而 CD∩GF=F,所以 AF⊥平面 GCD,即 AF⊥平面 CDE. 因为 AF∥BG,所以 BG⊥平面 CDE. 因为 BG ? 平面 BCE,所以平面 BCE⊥平面 CDE. ??????? 14 分

16、在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星 判断正确的概率为 p ,判断错误的概率为 q ,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现 记“该明星答完 n 题后总得分为 S n ”. (1)当 p ? q ? (2)当 p ?
1 3
1 2

时,记 ? ? | S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望及方差;
2 3

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

,q ?

时,求 S 8 ? 2 且 S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3 , 4 ) 的概率.
1 2
1 1 1 4

1)? ? ? | S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ?
1 故 P ( ? ? 1) ? 2 C 3 ( ) ? ( ) 2 ?



????????????1 分 . ???????3 分

1

1

3 4

, P (? ? 3 ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ?
2 2

2

2

所以 ξ 的分布列为:
?
P

1
3 4

3
1 4

且 E ? =1×

3 4

+3×

1 4

=

3 2

;??????????????????????5 分

(2) S8=2 时, 当 即答完 8 题后, 回答正确的题数为 5 题, 回答错误的题数是 3 题, ???

6分 又已知 S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3 , 4 ) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题;若第 一题和第二题回答错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对题. 分 此时的概率为 P
1 5 2 3 30 ? 8 80 80 3 3 ? (C 6 ? C 5 ) ? ( ) ? ( ) ? ? 7 (或 ) 8 3 3 2187 3 3

??????8

.????????10 分

17、已知边长为 6 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 , E , F 为 A D、 C D 上靠近 D 的三等分点,
H 为 B B1 上靠近 B 的三等分点, G 是 E F 的中点.

(1)求 A1 H 与平面 E F H 所成角的余弦值; (2)设点 P 在线段 G H 上,且
GP GH ? ? ,试确定 ? 的值,使得 C 1 P 的长度最短.

解:如图建系:可得 E (2, 0, 6) , F (0, 2, 6) , H (6, 6, 4 ) , A1 (6, 0, 0 ) . (1)设 n ? (1, x , y ) , E F ? ( ? 2, 2, 0 ) , E H ? (4, 6, ? 2 ) 则?
??2 ? 2 x ? 0 ?4 ? 6 x ? 2 y ? 0

E A

D

F
G
P B

C

?

??? ?

????

E

D

C B
H

A

???? ? ? ? n ? (1,1, 5) ; A1 H ? (0, 6, 4 ) ,

? ???? ? ? ???? ? n ? A1 H co s n , A1 H ? ? ???? ? ? n A1 H

D1
26 27 52 ? 39 9

C1 B1

A1

A

A

A 设 A1 H 与平面 E F H 所成角为 ? ,则 co s ? ?
????

42 9

. (5 分)
??? ? ????

(2)由题知 G (1,1, 6) , C 1 (0, 6, 0 ) , G H ? (5, 5, ? 2 ) ,设 G P ? ? G H ? (5 ? , 5 ? , ? 2 ? ) ?
P (5 ? ? 1, 5 ? ? 1, ? 2 ? ? 6) , C 1 P ? ? 5 ? ? 1 ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? ( 2 ? ? 6 ) ? 5 4 ? ? 6 4 ? ? 5 8 ,
2 2 2 2 2

当? ?

16 27

时, C 1 P 的长度取得最小值. (10 分)

18、已知以点 P 为圆心的圆过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C、D,且|CD|= 4 1 0 .(1) 求直线 CD 的方程;(2)求圆 P 的方程; (3)设点 Q 在圆 P 上,试探究使△QAB 的面积为 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论. 8.解:(1)∵ k A B ? 1 ,AB 的中点坐标为(1,2)

∴直线 CD 的方程为: y ? 2 ? ? ( x ? 1) 即 x ? y ? 3 ? 0 .??3 分 (2)设圆心 P ( a , b ) ,则由 P 在 CD 上得 a ? b ? 3 ? 0 .??4 分 又直径|CD|= 4 1 0 ,∴|PA|= 2 1 0 ∴ ( a ? 1) ? b ? 4 0 .
2 2

[来源:Z.xx.k.Com]

①代入②消去 a 得 b ? 4 b ? 1 2 ? 0 ,
2

解得 b ? 6 或 b ? ? 2 当 b ? 6 时 a ? ? 3 ,当 b ? ? 2 时 a ? 5 ∴圆心 P (-3,6)或 P (5,-2) ∴圆 P 的方程为:

[来源:学科网][来源:学,科,网]

( x ? 3) ? ( y ? 6 ) ? 4 0 或 ( x ? 5) ? ( y ? 2 ) ? 4 0 ----------------8 分
2 2 2 2

(3) ∵|AB|= 4 ? 4 ? 4 2 .
2 2

∴当△QAB 面积为 8 时,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2 又圆心到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 ,且 4 2 ? 2 2 ? 2 1 0 ∴圆上共有两个点 Q,使△QAB 的面积为 8. .?? 12 分 19、在矩形 A B C D 中,已知 A D ? 6 , A B ? 2 ,E、F 为 A D 的两个三等分点, A C 和 B F 交 于点 G , ? B E G 的外接圆为⊙ H .以 D A 所在直线为 x 轴,以 D A 中点 O 为坐标原点,建 立如图所示的平面直角坐标系. (1)求以 F、E 为焦点, D C 和 A B 所在直线为准线的椭圆的方程; (2)求⊙ H 的方程; (3) 设点 P (0 , b ) , 过点 P 作直线与⊙ H 交于 M, 两点, N 若点 M 恰好是线段 PN 的中点, 求实数 b 的取值范围. y C G B

D
x a
2 2

F O

E

A

x

(1)由已知,设椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,

由于焦点 E 的坐标为 (1, 0) ,它对应的准线方程为 x ? 3 ,?????????? 2分

所以 c ? 1 , 所
x
2

a

2

? 3 ,于是 a ? 3 , b ? 2 ,
2
2

c



















:

?

y

2

? 1.

?????????????????4 分

3

2

(2) 由题意可知 A (3 , 0 ) , B (3 , 2 ) , C ( ? 3 , 2 ) , F ( ? 1 , 0 ) . 所以直线 A C 和直线 B F 的方程分别为: x ? 3 y ? 3 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 ,
3 ? x? , ? ?x ? 3y ? 3 ? 0, 3 4 ? 5 由? 解得 ? 所以 G 点的坐标为 ( , ) .??????6 5 5 ?x ? 2y ?1 ? 0, ?y ? 4 , ? 5 ?

分 所以 k E G ? ? 2 , k B F ?
1 2



因为 k E G ? k B F ? ? 1 ,所以 E G ? B F ,????????????????8 分 所以⊙ H 的圆心为 B E 中点 H ( 2,1) ,半径为 B H ?
2 2

2 ,

所以⊙ H 方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 2 .???????????????10 分 (3) 设 M 点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则 N 点的坐标为 (2 x 0 , 2 y 0 ? b ) , 因为点 M , N 均在⊙ H 上,所以 ?
? ( x 0 ? 2 ) 2 ? ( y 0 ? 1) 2 ? 2 , ? ? ( 2 x 0 ? 2 ) ? ( 2 y 0 ? b ? 1) ? 2 , ?
2 2

① ②



由②-①×4,得 8 x 0 ? 4 (1 ? b ) y 0 ? b ? 2 b ? 9 ? 0 ,
2

所以点 M ( x 0 , y 0 ) 在直线 8 x ? 4 (1 ? b ) y ? b ? 2 b ? 9 ? 0 ,??????12 分
2

又因为点 M ( x 0 , y 0 ) 在⊙ H 上,
( 1 到直线 8 x ? 4 (1 ? b ) y ? b ? 2 b ? 9 ? 0 的距离 所以圆心 H 2 , )
2

1 6 ? 4 (1 ? b ) ? b ? 2 b ? 9
2

6 4 ? 1 6 (1 ? b )

?

2

,????????????14 分

2

即 ( b ? 1) ? 1 0 ? 4
2
4

8 ? 2 ( b ? 1) ,
2
2 2 2

整理,得 ( b ? 1) ? 12( b ? 1) ? 28 ? 0 ,即 [( b ? 1) ? 2][( b ? 1) ? 14] ? 0 ,

所以 1 ? 1 4 ? b ? 1 ? 1 4 ,故 b 的取值范围为 [1 ? 1 4 ,1 ? 1 4 ] .???16 分 解法二:过 H 作 H K ? M N 交 M N 于 K , 设 H 到直线 P M 的距离 H K ? d ,则
PK ? 3M K ? 3 M H PH ? PK
2 2

y P Q M K

?d

2


2

?

?d

2

?
2

9MH
2

? 8d

2

?
2

18 ? 8d

2

, O

H x

N

又因为 P H ? 所以 1 8 ? 8 d
2

PQ ? QH ?

?

( b ? 1) ? 4
2 2
2

( b ? 1) ? 4 , 8 d ? 1 4 ? ( b ? 1) ,因为 0 ? 8 d ? 16 ,
2

所以 0 ? 14 ? ( b ? 1) 2 ? 16 ,所以 ( b ? 1) 2 ? 14 , 1 ? 1 4 ? b ? 1 ? 1 4 ; 解法三:因为 P H ? P M ? M H , P M ? 2 M K ? 2 M H ,所以 P H ? 3 M H ? 3 2 所 以
1?
P H ?
2

P ?Q

2

Q? H 1 ? ( )

2

b 4 ?

? ,3 所 2 以

(b ?

2

1? )

1 ,

4

14 ? b ? 1 ?

14 .
2

20、已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ? 1 ? x ? ? x ? 1 0 x 的一个极值点。 (Ⅰ)求 a ;(Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间;(Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象 有 3 个交点, 求 b 的取值范围。
' (Ⅰ)因为 f ? x ? ?

a 1? x a 4

? 2 x ? 10

' 所以 f ? 3 ? ?

? 6 ? 10 ? 0

因此 a ? 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f n ? x? ? 1 6 l ?
2

? x ? x ? 1 0 x? 1 ? x ,?
2

? 1? ? ?,
[来源:学科网 ZXXK]

f

'

?x? ?

2 ? x ? 4x ? 3 ? 1? x
'

当 x ? ? ? 1,1 ? ? ? 3, ? ? ? 时, f 当 x ? ? 1, 3 ? 时, f
'

?x? ? 0

?x? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ? 1,1 ? , ? 3, ? ? ?
f

? x ? 的单调减区间是 ?1, 3 ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 内单调增加,在 ? 1, 3 ? 内单调减少,在 ? 3, ? ? ? 上单调 增加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

?x? ? 0

所以 f ? x ? 的极大值为 f ? 1 ? ? 16 ln 2 ? 9 ,极小值为 f ? 3 ? ? 32 ln 2 ? 21 因此 f ? 16 ? ? 16 ? 10 ? 16 ? 16 ln 2 ? 9 ? f ?1 ?
2

f

?e

?2

? 1 ? ? ?3 2 ? 1 1 ? ? 2 1 ? f?

?

3
y ? f

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ? 1,1 ? , ? 1, 3 ? , ? 3, ? ? ? 直线 y ? b 有 个交点,当且仅当 f ? 3 ? ? b ? f ? 1 ? 因此, b 的取值范围为 ? 3 2 ln 2 ? 2 1,1 6 ln 2 ? 9 ? 。

? x ? 的图象各有一


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