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含参数的一元二次不等式的解法(讲)


复习回顾

如何求解一元二次不等式?

如:求不等式-3x2 +19 x-6 ? 0的解集
2 3 x 分析: -19 x+6 ? 0

(3x-1)(x-6) ? 0

1 相对应方程(3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3

1 不等式的解集( , 6) 3

例1

解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)

2

含参数的不等式的解法

对于含有参数的不等式,由于参数的取值范围不 同,其结果就不同,因此必须对参数进行讨论,即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0)
参数划分标准: 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准: (1)二次项系数a>0,a=0,a<0 (2)判别式△>0,△=0,△<0 (3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小, x1>x2 ,x1=x2,x1<x2

解析:原不等式等价于 (x ?1)( x ? a) ? 0

相对应一元二次方程的两根 x1 ? 1, x2

? a >0 ??a ? 0

? ?a

-a

1

不等式的解集为(-?, -a) ? (1,+?)

例1

变式:解不等式x +(a-1)x-a ? 0(a ? R)
2

(x ? 1)( x ? a) ? 0 解析:原不等式等价于
相对应一元二次方程的两根 x1 ? 1, x2 ? ?a

-a

1 (-a)

-a

(1)-a<1(2) -a=1 (3)-a>1

例2

解不等式ax +(a-1)x-1>0(a ? R)
2
二次项含有参数应如何求解?

考点

含参数的一元二次不等式
y x1 O
x2 x

y x1 O
x2 x

解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a ? R)

例3
例1 的值为(

解关于

x 的不等式:
2
{x ? 1 ? x? 2 1 }, a+b 则 3

若不等式ax2+bx+2>0的解集为 )

2 x ? kx ? k ? 0
B.-15
D.-17

A.-14
C.-16

例题讲解
例3:解关于

x 的不等式:

2 x 2 ? kx ? k ? 0

分析:由于 x 2 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解:? ? ? k 2 ? 8k
(1)当 (2)当

原不等式解集为 ? k 2 ? 8k ? 0 即 ?8 ? k ? 0 时,
k 2 ? 8k ? 0 时得 k ? 0 或 k ? ?8

2 ∴(a)当 k ? 0 时,原不等式即为 2 x ? 0

解集为: ? x x ? 0?
解集为: ? x x ? 2?

2 2 x ? 8x ? 8 ? 0 ∴(b)当 k ? ?8时,原不等式即为

(3)当

k 2 ? 8k ? 0 即 k ? 0 或 k ? ?8 时,

原不等式解集为

? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

综上所述, (1)当 k ? ?8 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? x ? x ? ? ? 4 4 ? ? ? ? (2)当 k ? ?8 时,不等式解集为 ? x x ? 2?

(3)当 ?8 ? k ? 0 时,不等式解集为

?

(4)当 k ? 0 时,不等式解集为 ? x x ? 0? (5)当 k ? 0 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ? ? ?k ? k 2 ? 8k ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

例题讲解

例 4: 解不等式
2

x ? ax ? 4 ? 0
2

解:∵ ? ? a ? 16 ∴ 当a ? ? ?4,4?即? ? 0时


原不等式解集为

R

? a? 当a ? ?4即? ? 0时, 原不等式解集为? x x ? R且x ? ? ? 2? ?
当a ? 4或a ? ?4即? ? 0时, 此时两根分别为 ;
,

? a ? a ? 16 x1 ? 2 显然 x1 ? x 2
2



,

? a ? a 2 ? 16 x2 ? 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴原不等式的解集为: ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?

成果验收

课堂练习:

若不等式( 1-a)x2 ? 4 x ? 6 ? 0的解集是{-3<x<1}, 求实数a的值.

相信我能行!

知能迁移1
已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a,b的值; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 2 2 解: (1) (1) 因为不等式 ax - x+ 6>4 的解集为 x|x <1x或 >b}, 因为不等式 ax - 3x3 + 6>4 的解集为 {x|x{ <1 或 >b}x , 2 2

解 { x ||x <1 或 x > b } , 解: : (1) (1)因为不等式 因为不等式 ax ax - -3 3x x+ +6>4 6>4 的解集为 的解集为 { x x <1 或 x > b } , 2 2 所以 11 与 x2 = bb 是方程 ax 2 -3 x+ 2+ =2 0= 的两个实数根, 所以x x = 与 x 是方程 ax - 3x 0 的两个实数根 1= 1 2= 2 所以 x = 1 与 x = b 是方程 ax - 3 x + 2 = 0 的两个实数根, 所以 x1 1=1 与 x2 2=b 是方程 ax -3x+2=0 的两个实数根, b >1 且 aa >0. b >1 且 >0. b >1 且 a >0. b>1 且 a>0. 由根与系数的关系, 由根与系数的关系, 由根与系数的关系, 由根与系数的关系, 33 3 1+b=a 3, ? 1 + b = , a= 1, 1 + b = , ? 1+b=aa , ? ? a = 1 , a= 1, ? ? ? a a = 1 , 得 解得? ? ? 得 解得 ? 2. 得 解得 2 ?b= ? 得 解得 ? ? b = 2. 1×b= 2 . ? 2 ? b = 2 ? b = 2. 2. ? ? a 1 × b = . 1× ×b b = . 1 = . a aa

? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0, 即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为?. 综上, 当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,原不等式的解集为?. 探究提高
(1) 解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化 为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结 合相应二次函数的图象写出不等式的解集. (2) 解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的 层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的 符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类 ,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.

解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数为参数时,应讨论是等于 0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解,求出相对应方程的根, 不能确定根的大小时,应讨论方程两 根的大小关系,从而确定解集。

例1 不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数x∈R 都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且△ < 0. 因此a < -1/3。 (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0 不符合题意。 1? ? a | a ? ? ? 综上所述:a的取值范围是 ? 3? ?

二次不等式ax? +bx+c>0的解集是全体实数的 a>0时,⊿=b? -4ac<0 条件是______.

? 练习.1若集合A={x|ax2-ax+1<0}=

是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 解析

,则实数a的取值范围 ( D )

B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

若a=0时符合题意,a>0时,相应二次方程中

的Δ =a2-4a≤0,解得0<a≤4, 综上得

a ?{a|0≤a≤4}.

【2】如果a≠0, 函数 f ( x ) ? log 3 (ax 2 ? x ? a )的定义
a? 1 域为R, 则实数 a 的取值范围是________. 2

? ? a ? 0, a ? 0, ?? 1 1 ? 2 a ? , 或 a ? ? ? ? 1 ? 4a ? 0. ? ? 2 2

? ax 2 ? x ? a ? 0 对一切实数 x 恒成立,

?

【例2】(12分)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范 围; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立, 求x的取值范围. 思维启迪 (1)由于二次项系数含有字母,所以首 先讨论m=0的情况,而后结合二次函数图象求解. (2)转换思想将其看成关于m的一元一次不等式, 利用其解集为[-2,2],求参数x的范围.



(1)不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函数f(x)=

mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时,1-2x<0, 1 即当x> 时,不等式恒成立,不满足题意; 3分 2 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数, 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即

?m ? 0 , 则m无解. ? ?? ? 4 ? 4m(1 ? m) ? 0
综上可知不存在这样的m. 6分

(2)从形式上看,这是一个关于x的一元二次不等式,

可以换个角度,把它看成关于m的一元一次不等式,
并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围. 设f(m)=(x2-1)m+(1-2x), 则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方,
2 ? 2 x ? 2x ? 3 ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ? ?? , 即? 2 ? ? f (2) ? 0 ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0

7分

① ②

9分

?1? 7 ?1? 7 解①, 得x ? 或x ? , 2 2 1? 3 1? 3 解②, 得 ? x? . 2 2 -1 ? 7 1? 3 由①②得 ? x? . 2 2 -1 ? 7 1? 3 ? x的 取 值 范 围 为 {x | ? x? }. 2 2

11分 12分

【1】 若对于任意 a ? ( ?1,1] , 函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a

x ? 1或x ≥ 3 的值恒大于 0,则 x 的取值范围是 ________________________ .
? g(?1) ≥ 0 g(a) ? ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 ? ? ? g(1) ? 0
2

此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要

变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,
则给解题带来转机.

例3. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2

解:m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立,

记 g ( x) ? ?2 x2 ? 9 x, x ?[2,3],
? gmin ( x) ? g(3) ? 9, ? m ≤ 9. (1)变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题.

则问题转化为 m≤g(x)min

例3. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9
2

解:构造函数 f ( x ) ? 2 x 问题等价于f(x)max≤0,

2

? 9 x ? m, x ? [2, 3],
y

2 9 ? f ( x ) ? 2( x ? ) ? m ? 81 , x ? [2,3], 4 8

? fmax ( x) ? f (3) ? m ? 9 ≤ 0,

o

2

? m ≤ 9.
(2)转换求函数的最值

.

.

3

x

例3. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2

解:构造函数 则

f ( x) ? 2 x2 ? 9 x ? m, x ?[2,3],
y

? f (2) ≤ 0 ? ? f (3) ≤ 0
o

? ?10 ? m ≤ 0 ? m ≤ 9. ?? ? ?9 ? m ≤ 0

2

.

.

3

x

(3)数形结合思想

解:

数,

还有什么方法呢?

【1】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于 x∈R恒成立,则实数m 的取值范围时( C )

A.(??,2] B.[?2,2] C.(?2,2] D.(??, ?2]
令 f ( x ) ? ( m ? 2) x 2 ? 2( m ? 2) x ? 4,

?(m ? 2) ? 0 m ? 2或? ? ?2 ? m ≤ 2 ?? ? 0

【2】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于 m∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______.

g (m) ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4

? ( x ? 2x)m ? 2x ? 4x ? 4
2 2

? g (?1) ? 0 ?? ? g (1) ? 0

【3】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于 x∈[-1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
令 f ( x ) ? ( m ? 2) x 2 ? 2( m ? 2) x ? 4,
?m ? 2 ? 0 ?? ? 0 ? m ? 2 或? ? f (?1) ? 0 ? ? f (1) ? 0

定时检测
一、选择题 1.(2009·陕西理,1)若不等式x2-x≤0的解集为M,函

数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则M∩N为 ( A
A.[0,1) C.[0,1] 解析 B.(0,1) D.(-1,0)

)

不等式x2-x≤0的解集M={x|0≤x≤1},f(x)=

ln(1-|x|)的定义域N={x|-1<x<1},

则M∩N={x|0≤x<1}.

[? 2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是

1 1 ,? ], 则不等 2 3

式x2-bx-a<0的解集是
A.(2,3) 1 1 C. ( , ) 3 2

(A
B.(-∞,2)∪(3,+∞)



D.( ?? , 1 ) ? ( 1 ,?? ) 3 2 1 1 解析 由题意知 ? ,? 是方程ax2-bx-1=0的根,所 2 3 1 1 b 1 1 1 以由韦达定理得 ? ? (? ) ? ,? ? (? ) ? ? . 2 3 a 2 3 a 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集 为(2,3).

?x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0, 3.设f(x)= ? 若f(t)>2,则实数t的取值 ?? 2 x ? 6, x ? 0. 范围是 ( D )
A.(-∞,-1)∪(4,+∞) B.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞) 解析 由题意知t2-2t-1>2且t≥0,或-2t+6>2且t<0, 解得t>3或t<0.

2x ? 3 4.设命题p:|2x-3|<1,q: ? 1, 则p是q的( A x?2 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 不等式|2x-3|<1的解是1<x<2, 2x ? 3 ? 1的解是1≤x<2. 不等式 x?2 解析



二、填空题
5.若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对 一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+ f(x)<2f(4)的解集为(0,2) _______. 解析 由已知得f(x+6)+f(x)=f[(x+6)x],

2f(4)=f(16).根据单调性得(x+6)x<16,
解得-8<x<2.又x+6>0,x>0,所以0<x<2.

6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,
则a的取值范围是_________. -1<a<1 解析 令f(x)=x2+ax+a2-1,

∴二次函数开口向上,若方程有一正一负根, 则只需f(0)<0,即a2-1<0,

∴-1<a<1.

7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]

时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是 ____________. b >2或b<-1 解析 依题意,f(x)的对称轴为x=1,又开口向下, ∴当x∈[-1,1]时,f(x)是单调递增函数.

若f(x)>0恒成立,
则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>0, 即b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0, ∴b>2或b<-1.

三、解答题

8.解不等式:

log 1 (3x 2 ? 2 x ? 5) ? log 1 (4 x 2 ? x ? 5).
2 2



原不等式等价于

2 2 ? 3 x ? 2 x ? 5 ? 4 x ? x ? 5, ① ? ? 2 ? ② ?4 x ? x ? 5 ? 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< ? . 4 5 故原不等式的解集为 {x | ?3 ? x ? ? }. 4

9.已知二次函数 f(x)=ax2+x,若对任意x1、x2∈R,恒 x ?x 有 2 f ( 1 2 ) ≤f(x1)+f(x2)成立,不等式f(x)<0的解 2 集为A. (1)求集合A; (2)设集合B={x||x+4|<a},若集合B是集合A的子集, 求a的取值范围. 解
x1 ? x 2 由f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( ) 2 1 ? a( x1 ? x 2 ) 2 ? 0成 立, 2

(1)对任意x1、x2∈R,

要使上式恒成立,所以a≥0.

由f(x)=ax2+x是二次函数知a≠0,故a>0. 1 2 所以f ( x) ? ax ? x ? ax( x ? ) ? 0. a 1 解得A ? (? ,0). a (2)B={x||x+4|<a}=(-a-4,a-4),
因为集合B是集合A的子集, 1 所以a-4≤0,且 ? a ? 4 ? ? . a

解得 ? 2 ? 5 ? a ? ?2 ? 5. 又a>0,
∴a的取值范围为 0 ? a ? ?2 ? 5.
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