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100 Great Problems of Elementary Mathematics


100 Great Problems of Elementary Mathematics 100 个著名初等数学问题 第 01 题 阿基米德分牛问题 Archimedes' Problema Bovinum 太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的 1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数, 多出之数相当于花牛数的+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的 1/6+1/7. 在母牛中, 白牛数是全体黑牛数的 1/3+迹缓谂J侨寤ㄅJ+1/5; 花牛数是全体棕牛数的 1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的 1/6+1/7. 问这牛群是怎样组成的? 第 02 题 德·梅齐里亚克的法码问题 The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个 40 磅的砝码,由于跌落在地而碎成 4 块.后来,称得每块碎片的重量都 是整磅数,而且可以用这 4 块来称从 1 至 40 磅之间的任意整数磅的重物. 问这 4 块砝码碎片各重多少? 第 03 题 牛顿的草地与母牛问题 Newton's Problem of the Fields and Cows a 头母牛将 b 块地上的牧草在 c 天内吃完了; a'头母牛将 b'块地上的牧草在 c'天内吃完了; a"头母牛将 b"块地上的牧草在 c"天内吃完了; 求出从 a 到 c"9 个数量之间的关系?

第 04 题 贝韦克的七个 7 的问题 Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中,被除数被除数除尽: **7*******÷****7*=**7** ****** *****7* ******* *7**** *7**** ******* ****7** ****** ****** 用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢? 第 05 题 柯克曼的女学生问题 Kirkman's Schoolgirl Problem 某寄宿学校有十五名女生, 她们经常每天三人一行地散步, 问要怎样安排才能使每个女 生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次? 第 06 题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题 The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters

求 n 个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置. 第 07 题 欧拉关于多边形的剖分问题 Euler's Problem of Polygon Division 可以有多少种方法用对角线把一个 n 边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形? 第 08 题 鲁卡斯的配偶夫妇问题 Lucas' Problem of the Married Couples n 对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的妻 子并坐,问有多少种坐法? 第 09 题 卡亚姆的二项展开式 Omar Khayyam's Binomial Expansion 当 n 是任意正整数时,求以 a 和 b 的幂表示的二项式 a+b 的 n 次幂. 第 10 题 柯西的平均值定理 Cauchy's Mean Theorem 求证 n 个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值. 第 11 题 伯努利幂之和的问题 Bernoulli's Power Sum Problem 确定指数 p 为正整数时最初 n 个自然数的 p 次幂的和 S=1p+2p+3p+…+np. 第 12 题 欧拉数 The Euler Number 求函数φ(x)=(1+1/x)x 及Φ(x)=(1+1/x)x+1 当 x 无限增大时的极限值. 第 13 题 牛顿指数级数 Newton's Exponential Series 将指数函数 ex 变换成各项为 x 的幂的级数. 第 14 题 麦凯特尔对数级数 Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 不用对数表,计算一个给定数的对数. 第 15 题 牛顿正弦及余弦级数 Newton's Sine and Cosine Series 不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数. 第 16 题 正割与正切级数的安德烈推导法 Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 在 n 个数 1,2,3,…,n 的一个排列 c1,c2,…,cn 中,如果没有一个元素 ci 的值介 于两个邻近的值 ci-1 和 ci+1 之间,则称 c1,c2,…,cn 为 1,2,3,…,n 的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数. 第 17 题 格雷戈里的反正切级数 Gregory's Arc Tangent Series 已知三条边,不用查表求三角形的各角. 第 18 题 德布封的针问题 Buffon's Needle Problem 在台面上画出一组间距为 d 的平行线,把长度为 l(小于 d)的一根针任意投掷在台面 上,问针触及两平行线之一的概率如何? 第 19 题 费马-欧拉素数定理 The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为 4n+1 形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示. 第 20 题 费马方程 The Fermat Equation 求方程 x2-dy2=1 的整数解,其中 d 为非二次正整数. 第 21 题 费马-高斯不可能性定理 The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 证明两个立方数的和不可能为一立方数. 第 22 题 二次互反律 The Quadratic Reciprocity Law (欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数 p 与 q 的勒让德互反符号取决于公式 (p/q)(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2]. · 第 23 题 高斯的代数基本定理 Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 每一个 n 次的方程 zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0 具有 n 个根. 第 24 题 斯图谟的根的个数问题 Sturm's Problem of the Number of Roots 求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数. 第 25 题 阿贝尔不可能性定理 Abel's Impossibility Theorem 高于四次的方程一般不可能有代数解法. 第 26 题 赫米特-林德曼超越性定理 The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系数 A 不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式 A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不 可能等于零. 第 27 题 欧拉直线 Euler's Straight Line 在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而 且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆 心至各中线的交点的距离. 第 28 题 费尔巴哈圆 The Feuerbach Circle 三角形中三边的三个中点、 三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个 圆上. 第 29 题 卡斯蒂朗问题 Castillon's Problem 将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆. 第 30 题 马尔法蒂问题 Malfatti's Problem 在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切. 第 31 题 蒙日问题 Monge's Problem 画一个圆,使其与三已知圆正交. 第 32 题 阿波洛尼斯相切问题 The Tangency Problem of Apollonius.

画一个与三个已知圆相切的圆. 第 33 题 马索若尼圆规问题 Macheroni's Compass Problem. 证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出. 第 34 题 斯坦纳直尺问题 Steiner's Straight-edge Problem 证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图, 如果在平面内给出一个定圆, 只用直尺便可 作出. 第 35 题 德里安倍立方问题 The Deliaii Cube-doubling Problem 画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边. 第 36 题 三等分一个角 Trisection of an Angle 把一个角分成三个相等的角. 第 37 题 正十七边形 The Regular Heptadecagon 画一正十七边形. 第 38 题 阿基米德π值确定法 Archimedes' Determination of the Number Pi 设圆的外切和内接正 2vn 边形的周长分别为 av 和 bv,便依次得到多边形周长的阿基米 德数列:a0,b0,a1,b1,a2,b2,…其中 av+1 是 av、bv 的调和中项,bv+1 是 bv、av+1 的等比中项. 假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿 基米德算法. 第 39 题 富斯弦切四边形问题 Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:一个双心或弦切四 边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形) 第 40 题 测量附题 Annex to a Survey 利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置. 第 41 题 阿尔哈森弹子问题 Alhazen's Billiard Problem 在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形. 第 42 题 由共轭半径作椭圆 An Ellipse from Conjugate Radii 已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆. 第 43 题 在平行四边形内作椭圆 An Ellipse in a Parallelogram, 在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点. 第 44 题 由四条切线作抛物线 A Parabola from Four Tangents 已知抛物线的四条切线,作抛物线. 第 45 题 由四点作抛物线 A Parabola from Four Points.

过四个已知点作抛物线. 第 46 题 由四点作双曲线 A Hyperbola from Four Points. 已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线. 第 47 题 范·施古登轨迹题 Van Schooten's Locus Problem 平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动, 第三个顶点的轨迹是什 么? 第 48 题 卡丹旋轮问题 Cardan's Spur Wheel Problem. 一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时, 这个圆盘上标定的一点所描出 的轨迹是什么? 第 49 题 牛顿椭圆问题 Newton's Ellipse Problem. 确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹. 第 50 题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题 The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹. 第 51 题 作为包络的抛物线 A Parabola as Envelope 从角的顶点,在角的一条边上连续 n 次截取任意线段 e,在另一条边上连续 n 次截取线 段 f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为 0,1,2,…,n 和 n,n-1,…,2, 1,0. 求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线. 第 52 题 星形线 The Astroid 直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络. 第 53 题 斯坦纳的三点内摆线 Steiner's Three-pointed Hypocycloid 确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络. 第 54 题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆 The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小? 第 55 题 圆锥曲线的曲率 The Curvature of Conic Sections 确定一个圆锥曲线的曲率. 第 56 题 阿基米德对抛物线面积的推算 Archimedes' Squaring of a Parabola 确定包含在抛物线内的面积. 第 57 题 推算双曲线的面积 Squaring a Hyperbola 确定双曲线被截得的部分所含的面积.

第 58 题 求抛物线的长 Rectification of a Parabola 确定抛物线弧的长度. 第 59 题 笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果两个三角形的对应顶点连线通过一点, 则这两个三角形的对应边交点位于一条直线 上. 反之, 如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上, 则这两个三角形的对应顶点连线 通过一点. 第 60 题 斯坦纳的二重元素作图法 Steiner's Double Element Construction 由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素. 第 61 题 帕斯卡六边形定理 Pascal's Hexagon Theorem 求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上. 第 62 题 布里昂匈六线形定理 Brianchon's Hexagram Theorem 求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点. 第 63 题 笛沙格对合定理 Desargues' Involution Theorem 一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个 对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线 形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形(四线形)实际上含 有四点(线)1,2,3,4 和它们的六条连线交点 23,14,31,24,12,34;其中 23 与 14、 31 与 24、12 与 34 称为对边(对顶点). 第 64 题 由五个元素得到的圆锥曲线 A Conic Section from Five Elements 求作一个圆锥曲线,它的五个元素——点和切线——是已知的. 第 65 题 一条圆锥曲线和一条直线 A Conic Section and a Straight Line 一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交, 求作它们的 交点. 第 66 题 一条圆锥曲线和一定点 A Conic Section and a Point 已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线, 作出从该点列到该曲 线的切线. 第 67 题 斯坦纳的用平面分割空间 Steiner's Division of Space by Planes n 个平面最多可将整个空间分割成多少份? 第 68 题 欧拉四面体问题 Euler's Tetrahedron Problem 以六条棱表示四面体的体积. 第 69 题 偏斜直线之间的最短距离 The Shortest Distance Between Skew Lines

计算两条已知偏斜直线之间的角和距离. 第 70 题 四面体的外接球 The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径. 第 71 题 五种正则体 The Five Regular Solids 将一个球面分成全等的球面正多边形. 第 72 题 正方形作为四边形的一个映象 The Square as an Image of a Quadrilateral 证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象. 第 73 题 波尔凯-许瓦尔兹定理 The Pohlke-Schwartz Theorem 一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点, 可认为是与一个已知四面体相似的四面 体的各隅角的斜映射. 第 74 题 高斯轴测法基本定理 Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry 正轴测法的高斯基本定理:如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,三 面角顶点的投影作为零点, 边的各端点的投影作为平面的复数, 那么这些数的平方和等于零. 第 75 题 希帕查斯球极平面射影 Hipparchus' Stereographic Projection 试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法. 第 76 题 麦卡托投影 The Mercator Projection 画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的. 第 77 题 航海斜驶线问题 The Problem of the Loxodrome 确定地球表面两点间斜驶线的经度. 第 78 题 海上船位置的确定 Determining the Position of a Ship at Sea 利用天文经线推算法确定船在海上的位置. 第 79 题 高斯双高度问题 Gauss' Two-Altitude Problem 根据已知两星球的高度以确定时间及位置. 第 80 题 高斯三高度问题 Gauss' Three-Altitude Problem 从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔, 确定观察瞬间, 观察点的纬度及星球的高 度. 第 81 题 刻卜勒方程 The Kepler Equation 根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角. 第 82 题 星落 Star Setting 对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.

第 83 题 日晷问题 The Problem of the Sundial 制作一个日晷. 第 84 题 日影曲线 The Shadow Curve 当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时, 确定在一天过程中由杆的一点投 影所描绘的曲线. 第 85 题 日食和月食 Solar and Lunar Eclipses 如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知, 确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值. 第 86 题 恒星及会合运转周期 Sidereal and Synodic Revolution Periods 确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期. 第 87 题 行星的顺向和逆向运动 Progressive and Retrograde Motion of Planets 行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)? 第 88 题 兰伯特慧星问题 Lambert's Comet Prolem 借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间. 第 89 题 与欧拉数有关的斯坦纳问题 Steiner's Problem Concerning the Euler Number 如果 x 为正变数,x 取何值时,x 的 x 次方根为最大? 第 90 题 法格乃诺关于高的基点的问题 Fagnano's Altitude Base Point Problem 在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形. 第 91 题 费马对托里拆利提出的问题 Fermat's Problem for Torricelli 试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小. 第 92 题 逆风变换航向 Tacking Under a Headwind 帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行? 第 93 题 蜂巢(雷阿乌姆尔问题)The Honeybee Cell (Problem by Reaumur) 试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱, 使所得的这一个立体有预定 的容积,而其表面积为最小. 第 94 题 雷奇奥莫塔努斯的极大值问题 Regiomontanus' Maximum Problem 在地球表面的什么部位, 一根垂直的悬杆呈现最长? (即在什么部位, 可见角为最大?) 第 95 题 金星的最大亮度 The Maximum Brightness of Venus 在什么位置金星有最大亮度? 第 96 题 地球轨道内的慧星 A Comet Inside the Earth's Orbit 慧星在地球的轨道内最多能停留多少天?

第 97 题 最短晨昏蒙影问题 The Problem of the Shortest Twilight 在已知纬度的地方,一年之中的哪一天晨昏蒙影最短? 第 98 题 斯坦纳的椭圆问题 Steiner's Ellipse Problem 在所有能外接 (内切) 于一个已知三角形的椭圆中, 哪一个椭圆有最小 (最大) 的面积? 第 99 题 斯坦纳的圆问题 Steiner's Circle Problem 在所有等周的(即有相等周长的)平面图形中,圆有最大的面积. 反之:在有相等面积的所有平面图形中,圆有最小的周长. 第 100 题 斯坦纳的球问题 Steiner's Sphere Problem 在表面积相等的所有立体中,球具有最大体积. 在体积相等的所有立体中,球具有最小的表面


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