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高中数学必修2解析几何公式知识点总结

高中数学必修 2 解析几何知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重 合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ? ? ? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90? 时, k 不存在。 ? ? y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1 , y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一 点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式: y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C 1 各式的适用范围 注意:○ ? 0 (A,B 不全为 0) 2 特殊的方程如: ○ 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 ? B0 ? 0 )的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 2 2 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 : y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ; A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为 ,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (5)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (6)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (8)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C (9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 (7)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2) ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 二、圆的方程 1、 圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆, 定点为圆心, 定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心 2 2 ?a, b ? ,半径为 r; ? 2 2? (2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ? 2 2 2 当D 2 ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 2 2 2 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: Aa ? Bb ? C ,则有 d A2 ? B 2 (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d? ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 2 2 (2)设直线 l : A

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