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高2015届数学平面向量测试题及答案


高 2015 届数学《平面向量》周六测试题
(2013.3.23) 一、选择题 :本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给 出的四个选项中只一项是符合题目要求的。 1.下列各组向量中,可以作为基底的是( (A) e1 ? (0,0), e2 ? (1,?2)
? ? (C) e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)

7、在下面给出的四个函数中,既是区间 (0, ) 上的增函数,又是以 ? 为
2

?

周期的偶函数的是 ( A . y ? cos 2 x

) C . y ?| cos x | D. y ?| sin x |

B. y ? sin 2 x

) (B) e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7)
? ? 1 3 (D) e1 ? (2,?3), e2 ? ( ,? ) 2 4

?

?

?

?

2. 给出下面四个命题: AB ? BA ?  ; AB ? BC ? AC ; AB AC ? BC ; ① ③ - 0 ② ④ 0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
? ??? ? ?

3.设 i , j 是互相垂直的单位向量,向量 a ? (m ? 1)i ? 3 j , b ? i ? (m ? 1) j , (a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m 为( ).
1 A. ? 2 B.2 C. ? D.不存在 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4、当| a |=| b |,且 a 与 b 不共线时, a + b 与 a - b 的关系为( )

??? ? ??? ??? ? 8. 在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC 中 , 设 BC ? a , CA ? b , AB ? c , 则 a ? b ? b ? c ? c ? 等于( a ). 3 3 A. B. ? C.0 D.3 2 2 (a ? a) ? b 9.若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? ,则向量 a 与 c 的夹角为 (a ? b) ( ). π π π A. B. C. D.0 2 6 3
10.若非零向量 a , b 满足 a ? b ? b ,则( A. 2b ? a ? 2b B. 2b ? a ? 2b ). D. 2a ? 2a ? b

C. 2a ? 2a ? b

→ 2→ 1→ 11、如图,点 P 是△ABC 内一点,且AP=5AB+5AC,则 △ABP 的面积与△ABC 的面积之比是( ) A、 2:1 B、 1:2 C 、2:5 D、1:5 ? ? 12.对向量 a =( a1 , a2 ), b =( b1 , b2 ),定义一种运算 “? ” , ? ? a ? b =( a1 , a2 ) ? ( b1 , b2 )=( a1 b1 , a2 b2 ) ,已知动点 P,Q 分别在曲线

A.平行
?

B.垂直
?

C.相交但不垂直
? ?

D.相等 ) 。

5.已知向量 a =(2,3), b =(-4,7),则 a 在 b 上的投影为(
A、 13 B、

13 5

C、

65 5

D、 65

6、向量 a ? ? ? ,1? ,b ? ? 2,1 ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围为 ? ( )
1 2

?

?

?

?

???? ?? ???? ? y=sinx 和 y=f(x) 上 运 动 , 且 OQ ? m? OP? n ( 其 中 O 为 坐 标 原 点 ) , 若
?? 1 ? ? m ? ( ,3), n ? ( , 0) ,则 y=f(x)的最大值为( 2 6 1 A. B.2 C.3 D. 3 2



A. ? ? ?

B. ? ? ?

1 2

C. ? ? ? 且? ? 2

1 2

D. ? ? ? 且? ? 2

1 2

二、填空题:
13.有一两岸平行的河流,水速为 1,速度为 2 的小船要从河的一边驶向对岸, 为使所行路程最短,小船应朝与水流方向成________方向行驶。 14.已知 M(-2,7) 、N(10,-2) ,点 P 是线段 MN 上的点,且 | PN | =2 | PM | , 且 PN 与 PM 方向相反,则 P 点的坐标为 . ??? ??? ? ? ???? ???? 15.已知点 H 为 ?ABC 的垂心,且 HA ? HB ? ?3 ,则 BH ? HC ? ______ . ? ? ? 16、设 a , b , c 为任意非 0 向量,且相互不共线,则下列命题中是真命题的序号 为_______ ? ? ? ? (1)| a |-| b |<| a - b |;
?? ?
?? ?

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ;
?? ? ?? ?

3? , 且m ? n ? ?1. 4

(2)设向量 a ? (1,0),向量b ? (cosx, , sin x) ,其中 x ? R ,若 n ? a ? 0 ,试求 | n ? b | 的取 值范围.

20. (本小题满分 12 分)

? ? ? ? ? ? (2) 若a ? b ? a ? c,则b=c ;

设 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,若函数 f ( x) ? a ? b ? m (1)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; (2)当 x ? [ ?

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? (3) a · b ) c -( c · a )· b =0 ; ( · ? ? ? ? ? ? (4) a +2 b )(3 a -2 b )=9| a |2-4| b |2 (3 ? ? ? ? ? ? ? (5)( b · c )· a -( c · a )· b 不与 c 垂直。
三.解答题:(共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 如图,在正方形 ABCD 中, E, F 分别为 AB, BC 的中点,求证: AF ? DE (利用向量证明).

, ] 时,函数 f ( x) 的最小值为 2,求此时函数 f ( x) 的最大值,并指出 x 6 3

取何值时 f ( x ) 取到最大值。 21.(本小题满分 12 分) 已知 A(2,0) , B(0,2) , C (cos? , sin ? ) , (0 ? ? ? ?) . (1)若 | OA ? OC |? 7 ( O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角; (2)若 AC ? BC ,求 tan ? 的值. 22、 (本小题满分 14 分) 如图在长方形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, N 是 CD 的中点,

??? ?

? ??? ?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) . (1)若点 A, B, C 能构成三角形,求 x, y 满足的条件; (2)若△ ABC 为等腰直角三角形,且 ? B 为直角,求 x, y 的值.
(第 17 题)

? ? M 是线段 AB 上的点, a ? 2, b ? 1 ,

2

??? ?

??? ?

??? ?

0

???? ???? ? (1)若 M 是 AB 的中点,求证: AN 与 CM 共线;
? ??? ???? ? (2)在线段 AB 上是否存在点 M ,使得 BD 与 CM 垂直?若不存
在请说明理由,若存在请求出 M 点的位置;

0

7

0

3

0

??? ??? ? ? (3) 若动点 P 在长方体 ABCD 上运动, 试求 AP ? AB 的最大值及取得最大值时 P 点的位置。
6

高 2015 届数学《平面向量》周六测试 题答题卷(2013.3.23)
一、选择题:60 分。 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 B 9 A 10 11 12 A D C

? n ? (?1,0) 或 n ? (0,?1) ;
( 2 )

o s n c ? 又 由 ( c ? ?s i? ) ? 1 ? 2 s i? n o? s
2

? a ? (1,0), n ? a ? 0 ?n ? (0,?1)
cos 2 x ? (sin 2 x ? 1) 2
=



cos ? ? sin ? ? 0 ,
∴ cos ? ? sin ? =-

7 , 4

n ? b ? (cosx, , sin x ? 1)

n?b

=

2 ? 2 sin x

=

2(1 ? sin x) ;∵ ―1≤sinx≤1,
∴0≤

二、填空题: (16 分) 13、 15、 135°角 ,14、 3 (2,4) 16、 (1) ) 。 (4)

n ? b ≤2
?
6 )?m? 1 2

7 ,② 2 1? 7 1? 7 由①,②得 cos? ? , sin ? ? ,从而 4 4 4? 7 . tan? ? ? 3
22、解: (1)证明:∵ AN ? AD ? DN ? b ?

20、解: (1) f ( x) ? ? ? sin(2 x ? 所以 f(x)的最小正周期为 ? 。

三、解答题:共 74 分。

????

???? ????

?

? ? ??? ? ???? ? ? 17、证明:设 AB ? a, AD ? b, 则 a ? b ??? ???? ? ??? ???? ? 因 AB ? AD, 所以 AB ? AD ? 0 ??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?? 1 ? ? 1 ? ? AF ? DE ? ( AB ? BF )( DA ? AE ) ? (a ? b)(?b ? a ) 2 2 ?2 ?2 1 ? (a ? b ) ? 0 2
所以 AF ? DE 或 b 建直角坐标系。 18、解: (1)若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,

? ?? ? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6? ? ? ? ? ? 5? ?? ? 2 x ? ? (2)? ? ? x ? 6 3 6 6 6 1 ? 1 1 ? ? s i n (x2? ?) 1 .( x) min ? 2 ? ? ? m ? f 2 6 2 2 7 所以 m=2,此时 f ( x)取到最大值 。 2
增区间是 ? k? ? 21 、 21. 解 :( 1 ) ∵ OA ? OC ? (2 ? c o ?, s i n ) , s ?

??? ? ? AB ? (3,1),

| OA ? OC |? 7 ,
∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 , 又 ? ? (0, ?) , 又 ?AOB ?

??? ? AC ? (2 ? x,1 ? y), ∴ 3(1 ? y) ? 2 ? x , ∴ x, y 满足的条件为 3 y ? x ? 1 ??? ? ??? ? (2)? AB ? (3,1), BC ? (? x ?1, ? y) ,若 ? B 为直角,则 ??? ??? ? ? AB ? BC , ∴ 3(? x ? 1) ? y ? 0 , ??? ??? ? ? 2 2 又 | AB |?| BC | , ∴ ( x ? 1) ? y ? 10 , 再 由 y ? 3 ?x ? , ) ( 1 ?x ? 0 ? x ? ?2 解得 ? 或? . ? y ? ?3 ? y ? 3 ? x ? y ? ?1 ? ? 19、 .解: (1)令 n ? ( x, y ) 则 ? 3? 2 2 ? 2 ? x ? y cos 4 ? ?1 ? ? x ? ?1 ? x ? 0 ?? 或? ?y ? 0 ? y ? ?1

? , 2

1 . 2 ? ? ∴? ? , 即 ?AOC ? , 3 3 ? ∴ OB 与 OC 的夹角为 . 6
∴ cos ? ? ∴ AC ? BC ? 0 , 可得

(2) AC ? (cos? ? 2, sin ? ) , BC ? (cos? , sin ? ? 2) , 由 AC ? BC ,

1 c o s ? s i n ? ,① ? ? 2
∴ (cos ? ? sin ? ) ?
2

1 , 4

∴ 2 sin ? cos ? ? ?

∵ ? ? (0, ?) ,

∴ ? ? ( , ?) ,

? 2

3 , 4

? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 ? ? C M? C B B M ? b ? ? ? a 2 ???? ???? ? ???? ???? ? ∴ AN ? ?CM ∴ AN 与 CM 共线; ( 2 ) 解 : 在 线 段 AB 上 存 在 点 M , 满 足 条 件 。 设 ???? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ; BM ? ? a, BD ? AD ? AB ? b ? a ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ? CM ? CB ? BM ? ?b ? ? a ∵ BD 与 CM 垂直 ∴ ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?∵ BD ? CM ? 0 ; 即 b ? a ? ?b ? 0a ? ? ? ? 1 a ? 2, b ? 1, a ? b ? 0 ∴ ? ? ? ;∴存在满足条件的点 4 ? ??? ???? ? 3 M ,即 AM ? ,使得 BD 与 CM 垂直。 2 ??? ? ? (3)解:①当 P 在线段 AB 上时,设 AP ? ka, ? 0 ? k ? 1? ; ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 则: AP ? AB ? k a ? a ? 4 k ;∴ AP ? AB 的最大值为 4 ② ??? ? ? 当 P 在线段 BC 上 (不含端点) 时, BP ? kb, ? 0 ? k ? 1? ; 设 ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ∵ AP ? a ? kb ∴ AP ? AB ? a ? kb ? a ? 4 ③当 P 在线 ??? ? ? CD 段 上 时 , 设 CP ? ?ka, ? 0 ? k ? 1? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? AP ? AB ? a ? b ? ka ? a ? 4 ?1 ? k ? ; ∴ AP ? AB 的最大 ??? ??? ? ? 值为 4 ; ④当 P 在线段 AD 上时, AP ? AB ? 0 综上得: ??? ??? ? ? AP ? AB 的最大值是 4 。

1? a ; 2

?

??

?

?

?

?

?

1


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