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直线和圆的位置关系


回顾:

点和圆的位置关系有哪几种?
A d B

C

O

点到圆心距离为d ⊙O半径为r
点A在圆内 点B在圆上

(1)d<r (2)d=r (3)d>r

三种位置关系

点C 在圆外

?你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点个数有三 种情况

把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,注 a(地平线) 意观察直线与圆的公共点的个数

● ● ● ● ●

O

O
● ●

O a(地平线)





O

O

? 把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线. ? 固定圆,平移直尺,
?

直线和圆分别有几个公共点?

两个公共点


一个公共点


没有公共点


O

直线与圆的交点个 O 数可判定它们关系

O

相交

相切

相离

直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相 交,这条直线叫做圆的割线 直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和 圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.

直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.

1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆 公共点的个数) 2.用图形表示如下:
有两个公共点

有一个公共点
l

没有公共点
.o

.
交 点

.o

.

.
相切

.o

l l

相交 割 线

相离
切 线

切 点

快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
(从直线与圆公共点的个数) l l

.O
l 相离

.O

1

.O2
● ●

.O
3)



2)

1)

l


直线l与O1相离 直线l与 O2相交

相切

O

.



4)

相交

画一画:
过直线外一点作这条直线的垂线段, 垂线段的长度叫点到直线 的距离。
.A
D l

直线与圆的位置关系量化
? 如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么 关系?
r r




O ┐d

O

r


O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离

d < r; d = r; d > r;

直线与圆的位置关系量化
?

你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
过圆心作直线的垂线段
r


d:圆心O到直线的距离为d
r O ┐d r




O

O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切

d < r;
d = r;

3) 直线和圆相离

d > r;

归纳: 两 种: 一判定直线 与圆的位置关系的方法有____
直线 与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)由_________________ 的大小关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

相离

相切

相交

d>r
没有交点

d=r
有一个交点

d<r
有两个交点

例1
:圆的直径是13cm ,如果直线与圆心的距离分别是, (1) 4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm. 那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共 点? 解: r=6.5cm,设直线与圆心的距离为d (1)当 d = 4.5cm时, 有 d < r, 因此圆与直线相交, 有两个公共点 (2)当 r = 6.5cm时, 有 d = r,因此圆与直线相切, 有一个公共点 (3) 当 d = 8cm时, 有 d > r,因此圆与直线相离, 没有公共点

1、已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:

d > 6cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 6cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 6cm .
1)若AB和⊙O相离, 则

相交 2.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________; 相离

典型例题
如图:∠AOB = 30°M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M 为圆心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系?为什么? A (1)r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm .

解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C, 在 Rt △OMC 中, ∠AOB = 30° 1 1 MC= 2 OM= 2 x5=2.5
O

C
2.5
30°

5

即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.

M

B

(1) 当 r = 2 cm 时,有 d > r, 因此⊙M 和 直线OA 相离.
(2) 当 r = 4 cm 时, 有 d < r, 因此⊙M 和直线O A 相交. (3) 当 r = 2.5cm 时, M 和直线 OA 相切. 有 d = r 因此⊙ ,

例题的变式题
如图:M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆心, 半径r=2.5cm作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的 A 锐角a取什么值时射线OA与 ⊙M 1)相离 (2)相切 (3)相交 ?
C

解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C 1)当∠a = 30°时,d=CM=2.5=r O 此时射线OA与 ⊙M相切 2)当 30°<∠a < 90° 时 射线OA与⊙M相离 3)当∠a <30°时 射线OA与⊙M相交

2.5
a

5

M

B

能力提升

Rt△ABC中,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,以 C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系? 为什么? (1)r=2 cm ; (2)r=2.4 cm ; (3) r=3 cm.

思考:
(1)当r在什么条件下,直线AB和圆C相交。 (2)以B为圆心,以BC为半径画圆, 此时⊙B与AC间的位置关系。

方程 几何综合练习题
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2- (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 析:直线与⊙O相切 解:由题意可得 b2-4ac= [-(m+6)]2-4(m+9)=0 d=r 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) b2-4ac=0 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 1 x1=x2= 3 [-(m+6)]2-4(m+9)=0 ∴ m=0

直线和圆的位置关系有三种

相交

相切

相离



d

d
C
● ●

d
C C

E

F

直线 l与⊙A 相交 d <r 两个 公共点 直线 l叫做⊙A 的 割线

圆心O到直线的距离为d 直线 l与⊙A 直线 l与⊙A
相切

l

d =r

相离

d >r

唯一 公共点

没有 公共点

直线 l叫做⊙A的 切线 ,点C叫做 切点

补充练习 如图:AB=8是大圆⊙O的弦,大圆半径为R=5, 则以O为圆心,半径为3的小圆与A B的位置关系 是( B )
A相离 B相切 C相交 D都有可能
O

5

3

A D 8

4

B

(四)课后作业布置

P44练习第1、2题;P51第1题

谢谢观赏 再见!


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