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2015高考真题——数学理(新课标Ⅱ卷)word版

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标记。卸载本市卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的

(1) 已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={X}(X-1) (X+2)<0},则 A (A){-1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (2)若 a 为实数,且(2+ai) (a-2i)= - 4i,则 a= (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

B=

(D){0,1,2}

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图, 以下结论中不正确的是 ( )

(A) (B) (C) (D)

逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 2006 年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 2006 年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关

(4)已知等比数列{错误!未找到引用源。} 满足错误!未找到引用源。=3,错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。=21,则错误!未找到引用源。+错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。= (A)21 (B)42 (C)63 (D)84 (5)设函数 f(x)=错误!未找到引用源。则 f(-2)+f(错误!未找到引用源。 )

= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为

(A)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。 (C)

(D)错误!未找到引用源。

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 IMNI= (A)2 错误!未找到引用源。 (B)8 (C)4 错误!未找到引用源。 (D) 10 (8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减 损术” 。执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14 ,18,则输出的 a=

(A)0

(B)2

(C)4

(D)14

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90o ,C 为该球上的动点,若三棱 锥 O-ABC 的体积最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A)36π (B)64π (C)144π (D)256π (10)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记错误!未找到引用源。BOP=x,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表 示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图像大致为

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形, 且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2

(12) 设函数 f’(x)是奇函数 f(x)(x 错误! 未找到引用源。 R)的导函数, f(-1)=0, 当 x>0 时,x f’(x)- f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
(A) (错误!未找到引用源。 ,-1)∪(0,1) 源。 ,0)∪(1,+错误!未找到引用源。 ) (C) (错误!未找到引用源。 ,-1)∪(-1,0) 源。 ,1)∪(1,+错误!未找到引用源。 ) (B) (错误!未找到引用 (D) (错误!未找到引用

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第 22 题-第 24 题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ =

(14)若 x,y 满足约束条件
4

,则 z=x+y 的最大值为

(15)(a+x)(1+x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= (16)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= (17)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍 sin ? B (I)求 sin ? C (II)若 AD=1,DC=
2 ,求 BD 和 AC 的长 2

(18)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机抽查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地 区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ;

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C: “A 地区用户的满意等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用 户的评价结果互相独立。根据所给的数据,以事件发生的频率作为响应事件的概 率,求 C 的概率 (19) (本小题满分 12 分) 如图, 长方形 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB=16, BC=10,AA1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A1B1 , D1C1 上,A1E ? DF ? 4 .过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交, 交线围成一个正方形.

A

B

(Ⅰ)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与 ? 平面所成角的正弦值。 (20) (本小题满分 12) 已知椭圆 C:9x2+y2=M2(m>0), 直线 l 不过圆点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个 交点 A,B,线段 AB 的中点为 M。

(Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m (Ⅱ)若 l 过点( ,m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四 3 边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。 (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=emx+x2-mx. (1) 证明:f(c)在(- ? ,0)单调递减,在(0,+ ? )单调递增; (2) 若对于任意 x1,x2 ? [-1,1],都有︱f(x1)-(x2)︳ ? e-1,求 m 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题计 分。作答时请写清题号。

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,?O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点, 与底边的高 AD 交于点 G,切与 AB,AC 分别相切与 E,F 两点。 (I)证明: EF ∥ BC ; (II)若 AG 等于 O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? ? ? t cos ? , 在直角坐标系 ? O? 中, 曲线 C1 :? (t 为参数, t ? 0) , 其中 0 ? ? < ? . ?? ? t sin ? ,
在以错误!未找到引用源。为极点?x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线错 误!未找到引用源。 :错误!未找到引用源。=2sin 错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 :错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。cos 错误!未找 到引用源。. (Ⅰ)求错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交点的直角坐标; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。相交于点错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。相交于 点错误!未找到引用源。,求|错误!未找到引用源。|的最大值 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 ? ,b ,c ,d 均为正数,且 ? + b = c + d ,证明:

(Ⅰ)若 ? b > cd ,则 ? + b > c + d ; (Ⅱ) ? + b > c + d 是 | ? - b |<| c - d |的充要条件。


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