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2017_2018学年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(1)课件新人教A版必修5_图文

第二章 数列 §2.1 数列的概念与简单表示法(一) 学习目标 1.理解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 数列及其有关概念 思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗? 不是.顺序不一样. 思考2 数列的记法和集合有些相似,那么数列与集合的区别是什么? 数列中的数讲究顺序,集合中的元素具有无序性;数列中可 以出现相同的数,集合中的元素具有互异性. 梳理 (1)按照 一定顺序 排列的 一列数 称为数列,数列中的每一个数叫做 这个数列的 .数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数 ),排在第二位的数称为这个 . 称为这个数列的 第1项 (通常也叫做 数列的 第2项 ……排在第n位的数称为这个数列的 第n项 . (2) 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,… ,简记为 知识点二 通项公式 思考1 100.由前四项与它们的序号相同,猜第n项an=n,从而第100 项应为100. 梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那 么这个公式叫做这个数列的通项公式. 思考2 数列的通项公式an=f(n)与函数解析式y=f(x)有什么异同? 如图,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…, n}) 为定义域的函数 an = f(n) 当自变量按照从小到大的顺序依次 取值时所对应的一列函数值. 不同之处是定义域,数列中的n必须是 从1开始且连续的正整数,函数的定义 域可以是任意非空数集. 知识点三 数列的分类 思考 对数列进行分类,可以用什么样的分类标准? (1)可以按项数分类;(2)可以按项的大小变化分类. 梳理 (1)按项数分类,项数有限的数列叫做 ____数列. 数列,项数无限的数列叫做 (2)按项的大小变化分类,从第2项起,每一项都大于它的前一项的数 列叫做 递增数列 ;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做 递减数列 ;各项相等的数列叫做 常数列 ;从第 2 项起,有些项大于 它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做 摆动数列. 题型探究 类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: 1 1 1 (1)1,- , ,- ; 2 3 4 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项 为负, ?-1?n+1 * 所以它的一个通项公式为 an= ,n∈N . n 1 9 25 (2) ,2, ,8, ; 2 2 2 数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察: 1 4 9 16 25 , , , , ,…, 2 2 2 2 2 n2 所以它的一个通项公式为 an= 2 ,n∈N*. 这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇数项是2,偶数项是0, 所以,它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1,n∈N*. 反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项 的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的 变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函 数关系. 跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列 各数: 1 1 1 1 (1)- , ,- , ; 1×2 2×3 3×4 4×5 这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数项 为负,偶数项为正, ?-1?n 所以它的一个通项公式为 an= ,n∈N*. n×?n+1? 22-1 32-1 42-1 52-1 (2) , , , ; 2 3 4 5 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数 的平方减1, ?n+1?2-1 所以它的一个通项公式为 an= ,n∈N*. n+1 7 7 7 7 这个数列的前 4 项可以变为9×9,9×99,9×999,9×9 999, 7 7 7 7 即 ×(10-1), ×(100-1), ×(1 000-1), ×(10 000-1), 9 9 9 9 7 7 7 7 2 3 即9×(10-1),9×(10 -1),9×(10 -1),9×(104-1), 7 所以它的一个通项公式为 an=9×(10n-1),n∈N*. 类型二 数列的通项公式的应用 n ? - 1 ? ? n + 1 ? 例2 已知数列{an}的通项公式an= ,n∈N*. ?2n-1??2n+1? (1)写出它的第10项; ?-1?10×11 11 a10= = . 399 19×21 2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33 n+1 2 令 =33,化简得 8n2-33n-35=0, ?2n-1??2n+1? 7 解得 n=5(n=-8舍去). 2 2 2 当 n=5 时,a5=-33≠33.所以33不是该数列中的项. 引申探究 对于例2中的{an}. (1)求an+1; ?-1?n+1[?n+1?+1] an+1= [2?n+1?-1][2?n+1?+1] ?-1?n+1?n+2? = . ?2n+1??2n+3? (2)求a2n. ?-1?2n?2n+1? 2n+1 a2n= = . ?2×2n-1??2×2n+1? ?4n-1??4n+1? 反思与感悟 在通项公式an=f(n)中,an相当于y,n相当于x.求数列的某一项,相当于 已知x求y,判断某数是不是该数列的项,相当于已知y求x,若求出的x是 正整数,则y是该数列的项,否则不是. 1 1 * 跟踪训练 2 已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N ),那么120 n?n