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2019高二暑期.第2讲 直线与圆的方程 删解析精品教育.doc.doc

第2讲

直线与圆 的方程

满分晋级
解析几何 3 级 双曲线与抛物线 初步 解析几何2级 椭圆初步

解析几何1级 直线与圆的方程

2.1 直线的三种形式及其灵活应用
春季知识回顾
1.⑴过点 2 , 3 且倾斜角为

π 的直线方程为_________________. 3 2? 、 ? 2 , 3? 的直线方程为_____________. ⑵过点 ?1,
) B. ?8 C. 2 D. 10

?

?

m? 和 B ? m ,4 ? 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( 2.已知过点 A ? ?2 ,

A. 0

【解析】 B. 3. 已知 △ ABC 三边所在直线的方程为:AB : 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,AC : 2 x ? 3 y ? 22 ? 0 ,BC : 3x ? 4 y ? m ? 0 . ⑴ 判断三角形的形状; ⑵ 当 BC 边上的高为 1 时,求 m 的值. 【解析】 ⑴ 直角三角形; ⑵ m ? 25 或 35 ; 4.平面内与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 【解析】 2 x ? y ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0
5 的直线方程为 5



知识点睛
1.直线的方程: ①点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

第 17 页

②两点式方程:

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

③一般式: Ax ? By ? C ? 0 ( A 、 B 不全为零) 2.点到直线的距离公式 点 P( x0 ,y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d 的计算公式: d ? 两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 和 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离为
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



C1 ? C2

A2 ? B 2 3.两条直线的位置关系 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ⑴两条直线相交、平行与重合的条件: ①相交的条件: A1 B2 ? A2 B1 ? 0



②平行的条件: A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? C1 B2 ? 0 ③重合的条件: A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 (? ? 0) ⑵两条直线垂直的条件: A1 A2 ? B1 B2 ? 0 <教师备案>斜率存在的情况下:两条直线为 l1 : y ? k1 x ? b1 ; l2 : y ? k2 x ? b2 相交的条件: k1 ? k2 ;平行的条件: k1 ? k2 且 b1 ? b2 ;重合的条件: k1 ? k2 , b1 ? b2 . 两条直线垂直的条件: k1k2 ? ?1 .

经典精讲
考点 1:直线方程及其灵活应用 【例1】 ⑴ ⑵ ⑶ 已知直线 l 过点 C ? 3 , 4? ,且点 A ?1,? 1? 、 B ? 5 , 7 ? 到 l 的距离相等,求直线 l 的方程. 等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 和顶点 B 都在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 上,顶点 A 的坐标 是 ?1,? 1? ,求边 AB , AC 所在的直线方程. 过点 P ? 0 , 1? 作直线 l ,使它被两直线 l1 : 2 x ? y ? 8 ? 0 和 l2 : x ? 3 y ? 10 ? 0 所截得的线段

被点 P 平分,求直线 l 的方程. 【解析】 ⑴ x ? 3 或 y ? 2 x ? 2 . ⑵ 直线 AC 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 直线 AB 的方程为 3x ? y ? 4 ? 0 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 . 【例2】 过点 P ? ?1,? 2 ? 的直线分别交 x 、 y 轴的负半轴于 A ,B 两点,当 PA ? PB 最小时,求直 线 l 的方程. 尖子班学案 1
Q ,过 P , Q 作直线 1? 且斜率为 ?m(m ? 0) 的直线 l 与 x , 【拓2】 已知过点 A ?1 , y 轴分别交于 P , 2 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 R , S ,求四边形 PRSQ 的面积的最小值.

【解析】 当 m ? 1 时,四边形 PRSQ 的面积有最小值为 3.6 . 目标班学案 1 【拓3】 将一块直角三角板 ABO ( 45 ? 角)置于直角坐标系中,已知 ?1 1? AB ? OB ? 1,AB ? OB ,点 P ? , ? 是三角板内一点,现因 ?2 4? 三角板中部分受损坏( △ POB ) ,要把损坏的部分锯掉,可用 经过 P 的任意一条直线 MN 将其锯成 △ AMN , 问如何确定直 MN △ AMN 线 的斜率,才能使锯成的 的面积最大?
y A

M O

P N B x

1 1 【解析】 当直线 MN 的斜率为 k ? ? 时, S△ AMN 取得最大值 . 2 3

2.2 圆的方程形式及其灵活应用
春季知识回顾
1.求以 O ? 0 , 0? , A ? 2 , 0? , B ? 0 , 4? 为顶点的 △OAB 外接圆的方程. 【点评】当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程,当条件是圆经过三个点时,常选用一般方程.
3? ? 1 , ? ,方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ? 1 ? 0 表示的圆的个数为( 2.若 a ? ? ?2 ,0 , 4? ? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个



【解析】 B; 3.证明:以 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) 为直径端点的圆方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 .
x ?x ? ? y ? y2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? 【解析】 ? x ? 1 2 ? ? ? y ? 1 ,变形即可得. 2 ? ? 2 ? 4 ? ?
2 2 2 2

知识点睛
1.圆的标准方程 b) 为圆心, r 为半径的圆的方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ⑴以点 C (a , ⑵圆心在原点的圆的标准方程: x2 ? y 2 ? r 2 2.圆的一般方程 说明:⑴ x2 和 y 2 项的系数相等且都不为零; ⑵没有 xy 这样的二次项.

1 ? D E? ⑶表示以 ? ? , ? ? 为圆心, D2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆. 2? 2 ? 2
<教师备案>⑴当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时, 方程①只有实根 x ? ?

D E ? D E? ,y ? ? , 方程①表示一个点 ? ? , ? ? 2? 2 2 ? 2

⑵当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程①没有实根,因而它不表示任何图形.

经典精讲
考点 2:圆的方程及其灵活应用 【例3】 ⑴ ⑵
2? 、 B ? 3 , 2? ,圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上的圆的方程. 求经过点 A ? 5 ,
1) ,B(4 , 1) 且与 x 轴相切的圆的方程. 求过点 A(0 ,

<教师备案>三个独立条件确定一个圆,一般用待定系数法求圆的方程.如果已知圆心或半径或圆心到 直线的距离可用标准式;如果已知圆经过某些点常用一般式. <教师备案>在求圆的方程时,应当注意以下几点: ①确定用圆的标准方程还是一般方程;

第 19 页

②运用圆的几何性质建立方程求得 a、b、r 或 D、E、F; ③在待定系数法的应用上,列式要尽量减少未知量的个数. 提高班学案 1 【拓1】 过点 P (4 , 2) 作圆 x2 ? y 2 ? 4 的两条切线,切点分别为 A ,B , O 为坐标原点,则 △OAB 的外 接圆方程是( ) 2 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1)2 ? 5 B. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 D. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 【解析】 A 【选讲】 在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b( x ? R) 的图象与两坐标轴有三个交 点,经过这三个点的圆记为 C . ⑴ 求实数 b 的取值范围; ⑵ 求圆 C 的方程. 0) (0 , 1) . 【解析】 ⑴ b 的取值范围是 (?? ,
b ?1? (b ? 1) ? ⑵ 圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? ? y ? (或写为 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 ) ? ?1? 2 4 ? ?
2 2

2.3 直线与圆的综合
春季知识回顾
1.设直线 l 过点 ? ?2 , 0 ? ,且与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切,则 l 的斜率是( A. ?1 【解析】 C
1) ,则直线 l 的方程为( 2.圆 x2 ? y 2 ? ax ? 2 ? 0 与直线 l 相切于点 A(3 ,



B. ?

1 2

C. ?

3 3

D. ? 3



A. 2 x ? y ? 5 ? 0 【解析】 D.

B. x ? 2 y ? 1 ? 0
2

C. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? y ? 4 ? 0

3.直线 x ? y ? 3 ? 0 被圆 ? x ? 1? ? y2 ? 25 所截得的弦长为______.
4. 过点 P (2 ,? 3) 作圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB , 使 P 为 AB 的中点, 则弦 AB 所在直线的方程为 ( A. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 【解析】 A <教师备案>主要是对直线与圆的位置关系、过一点作圆的切线以及圆的弦长的回顾. )

知识点睛
1.直线与圆的位置关系 ⑴ 如果直线到圆心的距离为 d ,圆的半径为 r ,那么: ①若 d ? r ,则直线与圆相离; ②若 d ? r ,则直线与圆相切; ③若 d ? r ,则直线与圆相交. ⑵ 将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二

次方程,求出其 ? 的值,然后比较判别式 ? 与 0 的大小关系, 若 ? ? 0 ,则直线与圆相离; 若 ? ? 0 ,则直线与圆相切; 若 ? ? 0 ,则直线与圆相交. 2.圆与圆的位置关系 平面上两圆的位置关系有五种,可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断. 设 O1 的半径为 r1 , O2 的半径为 r2 ,两圆的圆心距为 d , 当 r1 ? r2 ? d 时,两圆外离; 当 r1 ? r2 ? d 时,两圆外切; 当 r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 时,两圆相交; 当 r1 ? r2 ? d ? d ? 0? 时,两圆内切; 当 r1 ? r2 ? d 时,两圆内含. 3.当圆与圆相交时,求相交两点所在直线的方程时把两圆的方程作差即可. <教师备案>1.根据直线与圆的方程判断位置关系和求弦长,一般不用判别式,而是用圆心到直线的距 离与半径的关系求解. 2.要注意数形结合,充分利用圆的性质,如“垂直于弦的直径必平分弦”、“圆的切线垂直 于经过切点的半径”、“两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线”等等,寻找解题途径, 减少运算量. 3.圆与直线 l 相切的情形——圆心到 l 的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于 l . 4. 圆与直线 l 相交的情形——圆心到 l 的距离小于半径,过圆心而垂直于 l 的直线平分 l 被 圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的是 垂直于过此点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径. 在解有关圆的解析几何题时,主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路,避免冗长 的计算.

经典精讲
考点 3:直线与圆基础 【例4】 ⑴ ⑵ 【解析】 ⑴ 提高班学案 2 【拓1】 ⑴ 已知 x ,y 满足 x2 ? y 2 ? 1 ,则

y 的最大值与最小值. x 若圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0 ? a ? 0? 的公共弦的长为 2 3 ,则 a ?
已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,求
3 3 y 的最大值与最小值分别为 和? . 3 3 x



y?2 的最小值为 ; x ?1 1? ,且与已知圆 x2 ? y 2 ? 3x ? 0 的公共弦所在直线过点 ? 5 , ? 2? 的圆的方程. ⑵ 求圆心为 ? 2 ,

尖子班学案 2 【拓2】 如果实数 x 、 y 满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,则 目标班学案 2

y 的最大值为 x

, x2 ? y 2 的最大值为______.

第 21 页

【拓3】 ⑴ 已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , P ( x , y ) 为圆上任一点,求 ⑵ 已知两圆 x2 ? y 2 ? 4 和 x2 ? ( y ? 8)2 ? 4 .

y?2 的最大、最小值. x ?1

5 x ? b 的两侧,求实数 b 的取值范围; 2 5) 且和两圆都没有公共点的直线斜率 k 的取值范围. ② 求经过点 A(0 ,

① 若两圆在直线 y ?

【解析】 ⑴

3? 3 3? 3 y?2 的最大值为 ,最小值为 4 4 x ?1

考点 4:与圆有关的对称问题 【例5】 ⑴ 已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程 为( ) A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ⑵ D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 一条光线从点 P(2, 3) 射出,经 x 轴反射,与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相切,求反射光线所 在的直线的方程.

【解析】 ⑴ B ⑵ 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . 提高班学案 3 【拓1】 已知点 A 是圆 C : x2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点, A 点关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也 在圆 C 上,则实数 a 等于 . 尖子班学案 3 【拓2】 已知圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 0 与以原点为圆心的某圆关于直线 y ? kx ? b 对称,求 k 、 b 的值. 目标班学案 3 【拓3】 自 点 A ? ?3 , 3 ? 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆
C:x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求入射光线 l 和反射光线所在的直线方程,并求光线自 A 到 切点所经过的路程.

考点 5:圆上的点到直线的距离问题 【例6】 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 和直线 l : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 , ⑴ 若圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1 ,求半径 r 的取值范围; ⑵ 若圆 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1 ,求半径 r 的取值范围; ⑶ 若圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1 ,求半径 r 的取值范围. 弧的点到直线 l 的最大距离作为观察点入手. 【点评】将圆上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数转化为两条直线与圆
O x r=4 l1 C l l2 r=6 y

【解析】 方法一采用转化为直线与圆的交点个数来解决;方法二从劣

的交点个数,是一种简明的处理方法,对解决这类问题特别 有效.

0) , 【备选】 已知圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 和点 A(0 ,? 1) ,B(1, 点 P 在圆上, 求 △PAB 面积的最小值.

考点 6:直线与圆综合 【例7】 如图,已知圆心坐标为

?

3, 1 的圆 M 与 x 轴及直线 y ? 3x 分别

?

y D N B O M A

相切于 A 、 B 两点,另一圆 N 与圆 M 外切、且与 x 轴及直线 y ? 3x 分别相切于 C 、 D 两点. ⑴ 求圆 M 和圆 N 的方程; ⑵ 过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度. 【解析】 ⑴
M 的方程为 x ? 3

? ? ? ? y ? 1? ? 1 , N 的方程为 ? x ? 3 3 ? ? ? y ? 3? ? 9 ;
2 2 2 2

C 图13.2-3

x

实战演练
【演练 1】过原点 O 作圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 20 ? 0 的两条切线,设切点分别为 P 、 Q ,则线段 PQ 的长 为 . 【解析】 4 【演练 2】已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为 ( ) A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ) 【解析】 B 【演练 3】直线 y ? ?2 x ? 1 上的点到圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点的最近距离是( A. 【解析】 C 【演练 4】 已知圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 36 和点 A(2 ,2) ,B(?1 ,? 2) , 若点 C 在圆上且 △ ABC 的面积为 则满足条件的点 C 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 5 5

B.

4 5 ?1 5

C.

4 5 ?1 5

D.1

5 , 2

【解析】 C; 【演练 5】如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2 ,0) , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 1) 在 AD 边所在直线上. 点 T (?1, y ⑴ 求 AD 边所在直线的方程; ⑵ 求矩形 ABCD 外接圆的方程. C y?2 2 2 T 【演练 6】设点 P ( x , y ) 是圆 x ? y ? 1 上任一点,求 u ? 的取值范 D x ?1 O x M B 围.
A

大千世界
1.设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2 ;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3 :1 ,在满足 ①②的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.
b ? ,半径为 r ,则 P 到 x ,y 轴的距离分别为 b ,a . 【解析】 设所求的圆的圆心为 C ? a ,

由圆截 x 轴所对的圆心角为 90 ? ,得圆截 x 轴所得弦长为 2r ,故 r 2 ? 2b 2 .

第 23 页

又圆截 y 轴所得弦长为 2 ,所以有 r 2 ? a 2 ? 1 ,从而 2b 2 ? a 2 ? 1 . 设 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ,则 d ?
2

a ? 2b

于是 5d 2 ? ? a ? 2b? ? a2 ? 4ab ? 4b2 ≥ a2 ? 2 a2 ? b2 ? 4b2 ? 2b2 ? a2 ? 1,当且仅当 a ? b 时等 号成立,此时 a ? b ? 1 或 a ? b ? ?1 . 故所求的圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 或 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2 2 2

?

5



?

n ( n ? 0 ,m ? 0 ,n ? m ) ,求 P 点的轨迹. m 【解析】 以直线 AB 为 x 轴,设 A ,B 的坐标分别为 ? a , 0? , ? b ,0? , P 点坐标为 ? x ,y ? ,
2.点 P 到定点 A ,B 的距离之比为 则

? x ? a ? ? y2 2 ? x ? b? ? y2
2

?

n ,化简得 m2 ? n2 m

?

?? x

2

? y2 ? ? 2 ? am2 ? bn2 ? x ? m2a2 ? n2b2 ? 0 ,

即 x2 ?

2 ? am2 ? bn2 ? m ?n
2 2

x ? y2 ?

m2 a 2 ? n 2b 2 ? 0, m2 ? n 2
2

? mn ? a ? b ? ? ? am2 ? bn2 ? 即?x? 2 ? y2 ? ? 2 2 ? 2 ? m ?n ? ? ? m ?n ?
2

mn ? a ? b ? ? am2 ? bn2 ? , 0 ? 为圆心, 这是一个以 D ? 2 为半径的圆. 2 m ? n m2 ? n2 ? ? ? ma ? nb ? ? ma ? nb ? ,0 ? , F ? ,0 ? .这两点是线段 AB 的内分点和外分点 此圆与 x 轴交于点 E ? ? m?n ? ? m?n ?
? AE AF n ? ? ? ? , D 是线段 EF 的中点,这个圆是以 EF 为直径的圆. ? ? EB BF m ?

这个圆通常称为阿波罗尼斯圆.


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