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(精校版)重庆市数学(理)卷文档版(无答案)-2013年普通高等学校招生统一考试


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(理工农医类)
特别提醒:
(14)(15)(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 、 、

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
(1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 ? U ( A ? B) ? (A) {1,3, 4} (B) {3, 4}
2

(C) {3}

(D) {4}

(2)命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为 (A)对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0 (B)不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0 2 2 (C)存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0 (D)存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0 (3) (3 ? a)(a ? 6) ( ?6 ? a ? 3 )的最大值为 (A)9 (B)

9 2

(C)3

(D)

3 2 2

(4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组 乙组 9 0 9 y 2 1 5 8 x 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x 、 y 的值分别为 (A)2、5 (B)5、5 (C)5,8 (D)8,8 (5)某几何体的三视图如题(5)图所示,则该几何体的体积为

560 3 580 (B) 3
(A) (C)200 (D)240 (6)若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) 两个零点分别位于区 间 (A) ( a, b) 和 (b, c ) 内 (B) (??, a) 和 ( a, b) 内 (C) (b, c ) 和 (c, ??) 内 (D) (??, a) 和 (c, ??) 内 (7)已知圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,圆 C2 :( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9 , M 、 N
2 2 2 2

分别是圆 C1 、 C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 (A)5 2 ? 4 (B) 17 ?1 (C)6 ? 2 2 (D) 17 (8)执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框内应填入的条 件是 (A) k ? 6 (B) k ? 7 (C) k ? 8 (D) k ? 9

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(9) 4cos500 ? tan 400 ?

2? 3 (C) 3 (D) 2 2 ?1 2 ???? ???? ? ???? ???? ??? ???? ???? ? ? ? ??? ? ??? 1 ? (10)在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取值 2
(A) 2 (B) 范围是 (A) (0,

5 ] 2

(B) (

5 7 , ] 2 2

(C) (

5 , 2] 2

(D) (

7 , 2] 2

二.填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在 答题卡相应位置上.
5i ( i 是虚数单位) ,则 z ? . 1 ? 2i (12)已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 、 a2 、 a5 称等比数列,
(11)已知复数 z ? 则 S8 ? . (13)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑 外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 (用数字作答) .

考生注意: (14)(15)(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按 、 、 前两题给分. (14)如题(14)图,在△ ABC 中, ?C ? 900 , ?A ? 600 , AB ? 20 ,过 C 作△ ABC 的外接圆的切线 CD ,BD ⊥ CD ,BD 与外接圆交于点 E , DE 的 则
长为 . (15)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ?

?x ? t2 ?y ? t
3

( t 为参数)相交于 A 、

B 两点,则 AB ?



(16)若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围 是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与 y 轴相较 于点(0,6) . (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白 球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个 球中红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200 元 二等奖 3红0蓝 50 元

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三等奖 2红1蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ( X ) .

(19) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如 题 ( 19 ) 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥ 底 面 ABCD ,

BC ? CD ? 2 , AC ? 4 , ?ACB ? ?ACD ?
AF ⊥ PB . (Ⅰ)求 PA 的长; (Ⅱ)求二面角 B ? AF ? D 的余弦值.

?

3

, F 为 PC 的中点,

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? 2ab ? c . (Ⅰ)求 C ;
2 2 2

(Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5 2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂 2

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 取垂直于 x 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、P? , P 、 过 P? 作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外. PQ ⊥ P?Q , 若 求圆 Q 的标准方程.

(22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 对正整数 n ,记 I n ? {1, 2,3, ?, n} , P ? { n (Ⅰ)求集合 P 中元素的个数; 7 (Ⅱ)若 P 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 A 为“稀疏集” .求 n 的最大值, n .. 使 P 能分成两个不相交的稀疏集的并. n

m m ? In , k ? In} . k

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