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线性规划常见题型及解法+均值不等式(含答案)


习题精选精讲

线性规划常见题型及解法 一.基础知识: (一)二元一次不等式表示的区域 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧的所有点组成的区域, 把直线画成虚线表示不 包括边界, Ax ? By ? C ? 0 所表示的区域应包括边界,故边界要画成实线. 由于在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax ? By ? C ,所得的符号相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点( x0, y 0 ) ,从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪 一侧的平面区域。通常代特殊点(0,0) 。 (二)线性规划 (1)不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,所以又可称其为 线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式, 我们把它称为目标函数.由于 z=Ax+By 又是关于 x、y 的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数. 另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示. (2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. (3)那么,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中,可 行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解( x1 , y1 )和( x 2 , y 2 )分别使目标函数取得最大值和最小值,它们 都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域). 2.设 z=0,画出直线 l0. 3.观察、分析,平移直线 l0,从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路: 首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数. 然后,用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解. 线 性 规 划 是 新 教 材 中新 增 的 内 容 之 一,由已 知 条 件 写 出 约 束 条件 ,并 作 出 可 行域 ,进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ,除 此 之 外 ,还 有 以 下 常 见 题 型。 一、求线性目标函数的取值范围

?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ?
( ) A、 [2,6] B、 [2,5] 二、求可行域的面积 C、 [3,6]

y
, 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是

B 2 A

y =2 x x + y =2

O
D、 ( 3,5]

2 x=2

1

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?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大





三、求可行域中整点个数 例 3、 满 足 |x|+ |y|≤ 2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个



?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ? ?? x ? y ? 2

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y 0) ( x 0, y ? 0) ( x 0, y 0)

y

作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) ,容易得到整 点 个 数 为 13 个 , 选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围

O

x

?x ? y ? 5 ? 例 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?

, 使 z=x+ay(a>0)

y x+y=5

x–y+5=0

取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 ( ) A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l : x+ay = 0 , 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y= 5 重 合 , 故 a=1, 选 D 五、求非线性目标函数的最值

O

x=3 x

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
最大值和最小值分别是 A、 13, 1 B、 13, 2
2 2

y
, 则 z=x +y 的
2 2

A





C、 13,

4 5

D、

13 ,

2 5 5

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x +y 是 点 ( x, y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 2 故 最 大 值 为 点 A( 2,3) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| =13, 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x+ y- 2=0 的距离的平方,即为

4 ,选 C 5

六、求约束条件中参数的取值范围 例 6 、已 知 | 2 x - y + m | < 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点( 0 , 0 )和( - 1 , 1 ) , 则 m 的取值范围是 ( ) A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3)

y

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

2

O

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解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?

?2 x ? y ? m ? 3 ? 0 由右图可知 ?2 x ? y ? m ? 3 ? 0

?m ? 3 ? 3 ,故 0< m< 3, 选 C ? ?m ? 3 ? 0

线性规划的实际应用 在科学研究、工程设计、经济管理等方面,我们都会碰到最优化决策的实际问题,而解决这类问题的理论基础 是线性规划。利用线性规划研究的问题,大致可归纳为两种类型:第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源, 问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,的效益最大,第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排, 能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。 3 3 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m ,第二种有 56m ,假设生产每种产品都 需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可 获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 木料(单位 m ) 产 品 圆 桌 衣 柜 第 种 0.18 0.09 一 第 二 种 0.08 0.28
3

?0.18x ? 0.09 y ? 72 ?0.08x ? 0.28y ? 56 ? 解:设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

而 z=6x+10y.

如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离最大, 此时 z=6x+10y 取最大值解方程组 ?

?0.18x ? 0.09y ? 72 ,得 M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 ?0.08x ? 0.28y ? 56

个,能使利润总额达到最大. 指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 (2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).

?a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1m x m ? b1 ?a x ? a x ? ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2m m 2 2.线性规划问题的一般数学模型是:已知 ? (这 n 个式子中的“?”也可以是“?” ??? ? ?a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nm x m ? bn
或“=”号) 其中 aij (i=1,2,?,n, j=1,2,?,m),bi (i=1,2,?,n)都是常量,xj (j=1,2,?,m) 是非负变量,求 z=c1x1+c2x2+? +cmxm 的最大值或最小值,这里 cj (j=1,2,?,m)是常量. (3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何 使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该
3

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项任务. 线性规划中整点最优解的求解策略 在工程设计、经营管理等活动中,经常会碰到最优化决策的实际问题,而解决此类问题一般以线性规划为其重 要的理论基础。然而在实际问题中,最优解 (x,y) 通常要满足 x,y∈N ,这种最优解称为整点最优解,下面通过具 体例子谈谈如何求整点最优解 . 1.平移找解法 作出可行域后,先打网格,描出整点,然后平移直线 l,直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解. 3 3 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m ,第二种有 56m ,假设生产每种产品都 需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可 获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获 得利润 最多? 产 品 圆 桌 衣 柜 木料(单位 m ) 第 一 种 0.18 0.09 第 二 种 0.08 0.28
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?0.18x ? 0.09 y ? 72 ?0.08x ? 0.28y ? 56 ? 解:设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

而 z=6x+10y.如图所示,

作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离 最大,此时 z=6x+10y 取最大值。解方程组 ?

?0.18x ? 0.09y ? 72 ,得 M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产 ?0.08x ? 0.28y ? 56
1 配套, 3

衣柜 100 个,能使利润总额达到最大.点评:本题的最优点恰为直线 0.18x+0.09y=72 和 0.08x+0.28y=56 的交点 M。 例 2 有一批钢管,长度都是 4000mm,要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯,且这两种毛坯按数量比不小于 怎样截最合理? 解: 设截 500mm 的钢管 x 根, 600mm 的 y 根,

总数为 z 根。根据题意,得 目标函数为 ,



作出如图所示的可行域内的整点, 作一组平行直线 x+y=t,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过 B(8,0)的直线,这时 x+y=8.由于 x,y 为正整数,知(8,0)不是最优解。显然要往下平移该直线,在可行域内找整点,使 x+y=7,可知点(2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1)均为最优解.答:略. 点评:本题与上题的不同之处在于,直线 x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点 B(8,0)并不符合题意, 此时必须往下平移该直线,在可行域内找整点,比如使 x+y=7,从而求得最优解。 从这两例也可看到,平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少,但作图要求较高。 二、整点调整法
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先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 3.已知 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 x ? y 取最大值的整数 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?
x, y .
解:不等式组的解集为三直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , l3 : ,设 l1 与 l2 , l1 与 l3 , l2 与 l3 交 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形内部(不含边界) 点分别为 A, B, C ,则 A, B, C 坐标分别为 A(

y A
O

l1 l3
C

x
l2

B

15 3 75 12 , ) , B(0, ?3) , C ( , ? ) , 8 4 19 19

作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 ,当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大, ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为

63 75 ,但不是整数解,又由 0 ? x ? 知 x 可取 1, 2,3 , 19 19

当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1 ;当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1 , ∴ x ? y ? 2 或 1 ; 当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 ,故 x ? y 的最大整数解为 ?

?x ? 2 ?x ? 3 或? . ? y ? 0 ? y ? ?1

3.逐一检验法 由于作图有时有误差,有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解,此时可将若干个可能解逐一校验即 可见分晓. 例 4 一批长 4000mm 的条形钢材,需要将其截成长分别为 518mm 与 698mm 的甲、乙两种毛坯,求钢材的最大利用 率. 解:设甲种毛坯截 x 根,乙种毛坯截 y 根,钢材的利用率为

P ,则

①,目标函数为

②, 线性约束条件①表示的可行域是 图中阴影部分的整点.②表示与直线 518x+698y=4000 平行的 直线系。所以使 P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线 518x+698y=4000 的整点坐标.如图看到(0,5),(1,4),(2, 4),(3,3),(4,2),(5,2),(6,1),(7,0)都有可能是最 优解,将它们的坐标逐一代入②进行校验,可知当 x=5,y=2 时, .

答:当甲种毛坯截 5 根,乙种毛坯截 2 根,钢材的利用率最大,为 99.65%. 解线性规划问题的关键步骤是在图(可行域)上完成的,所以作图时应尽可能精确,图上操作尽可能规范,但考 虑到作图时必然会有误差,假如图上的最优点并不十分明显易辨时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来, 然后逐一进行校验,以确定整点最优解.

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高考线性规划归类解析 线性规划问题是解析几何的重点,每年高考必有一道小题。 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题

?2 x ? y ? 2 ? 例 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?



解析:如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函 数 z 最大值为 18 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题

? x ? 1, ? 例 2、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

解析:如图 2,只要画出满足约束条件的可行域,而 x 2 ? y 2 表示可行域内一点到原点的距离 的平方。由图易知 A(1,2)是满足条件的最优解。 x 2 ? y 2 的最小值是为 5。 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 例 3、在约束条件 ? ?y ? 0
?x ? 0 ? ?y ? x ? s ? ? y ? 2x ? 4

图1 书、 11

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围

C

是() A. [6,15]

C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图 3 所示,当 3 ? s ? 4 时, 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在 B(4 ? s, 2s ? 4) 处取 得最大值 , 即 zmax ? 3(4 ? s) ? 2(2s ? 4) ? s ? 4 ?[7,8) ;当 4 ? s ? 5 时 , 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在 点 E (0, 4) 处取得最大值,即 zmax ? 3 ? 0 ? 2 ? 4 ? 8 ,故 z ? [7,8] ,从而选 D; 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例 4、已知双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式 组是()
2 2

B. [7,15]

图2

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? (A) ? x ? y ? 0 (B) ? x ? y ? 0 (C) ? x ? y ? 0 (D) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ? ? ? 2 2 解析:双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,与直线 x ? 3 围成一个三角形区域(如图 4
所示)时有 ?
?x ? y ? 0 。 ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。 例 5 已知变量 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 4 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅 ??2 ? x ? y ? 2

在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取值范围为 。 解析:如图 5 作出可行域,由 z ? ax ? y ? y ? ?ax ? z 其表示为斜率为 ?a ,纵截距为z的 平行直线系 , 要使目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值。则直线

y ? ?ax ? z 过A点且在直线 x ? y ? 4, x ? 3 (不含界线)之间。即 ?a ? ?1? a ? 1. 则 a 的取
值范围为 (1, ??) 。
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六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题

?x ? y ? 2 ? 0 例6在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是() ?y ? 0 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2

?x ? y ? 2 ? 0 解析: 如图6, 作出可行域, 易知不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域是一个三角形。 ?y ? 0 ?
1 1 容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2) ,B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为: S ? | BC | ? | AO |? ? 4 ? 2 ? 4. 从 2 2 而选B。 七、研究线性规划中的整点最优解问题

例 7、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 则 z ? 10 x ? 10 y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 z 解析:如图7,作出可行域,由 z ? 10 x ? 10 y ? y ? ? x ? ,它表示 10 距为

?5 x ? 11y ? ?22, ? ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11. ?
为斜率为 ?1 ,纵截

11 9 z 的平行直线系,要使 z ? 10 x ? 10 y 最得最大值。当直线 z ? 10 x ? 10 y 通过 A( , ) z 取得最大值。因为 x, y ? N , 2 2 10 故A点不是最优整数解。 于是考虑可行域内A点附近整点B (5, 4) , C (4, 4) , 经检验直线经过B点时,Z max ? 90.

点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类 讨论获得最优整数解。 用均值不等式求最值的方法和技巧 均值不等式是求函数最值的一个重要工具,同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求 解一些函数的最值问题的方法和技巧。 一、几个重要的均值不等式 ① a ? b ? 2ab ? ab ?
2 2

a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2
2

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?
③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ?
3 3 3
3

a 3 ? b3 ? c 3 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立; (a、b、c ? R ? ), 3
3

? a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?
注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正” 、二“定” 、三“等” ; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

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例 1、求函数 y ? x ? 解析:

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

y ? x?

1 1 x ?1 x ?1 1 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? 1( x ? 1) ? ? ? ? 1( x ? 1) 2 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 2 2( x ? 1)2

? 33


3 5 x ?1 1 x ?1 x ?1 1 “=”号成立,故此函数最小值 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 时, ? ? ? 1 ? ? 1 ? ,当且仅当 2 2 2 2 2( x ? 1) 2 2 2 2( x ? 1)

5 。 2

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、 拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值:
2 ① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?

3 ) 2

② y ? sin x cos x(0 ? x ?
2

?
2

)

解析:

3 3 ,∴3 ? 2 x ? 0 ,∴ y ? x 2 (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) ? x ? x ? (3 ? 2 x) 2 2 x ? x ? (3 ? 2 x) 3 ?[ ] ? 1 , 当 且 仅 当 x ? 3 ? 2x 即 x ? 1 时 , “=”号成立,故此函数最大值是 1。② 3


0? x?

0? x?

?

2

,∴sin x ? 0, cos x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先求 y2 的最大值。

1 y2 ? sin4 x ? cos2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? (sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos 2 x) 2 2 2 2 1 sin x ? sin x ? 2cos x 3 4 ? ? ?( ) ? ,当且仅当 sin 2 x ? 2cos2 x (0 ? x ? ) ? tan x ? 2 ,即 x ? arc tan 2 时,不等式 2 2 3 27 2 3 中的“=”号成立,故此函数最大值是 。 9
评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常 数、拆因式(常常是拆高次的式子) 、平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x 1 3 4 1 3 解法四: (拆分法) f ( x) ? x ? (0 ? x ? 1) ? ( x ? ) ? ? 2 x ? ? ? 5 ,当且仅当 x ? 1 时“=”号成立,故此 x x x x 1
例 3、若 x、y ? R ,求 f ( x) ? x ?
?

函数最小值是 5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法也是较为 简洁实用得方法。 4、条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y

解法一: (利用均值不等式)

8

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?8 1 ?x ? y ?1 8 1 x 16 y x 16 y ? , 当且仅当 即 x ? 12, y ? 3 时“=”号成 x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 10 ? ? ? 10 ? 2 ? ? 18 ? x y y x y x x 16 y ? ? ? x ?y 立,故此函数最小值是 18。 解法二: (消元法)


8 1 ? ?1 x y



y?

x x ?8





y?0

x ? x ?8

又 0 ? x

则 0 ?x

? 8

16 16 2x 2( x ? 8) ? 16 16 16 ? x? ? x?2? ? ( x ? 8) ? ? 10 ? 2 ( x ? 8) ? 即 ? 10 ? 18 。当且仅当 x ? 8 ? x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。
x ? 2y ? x ?
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

8 1 8 1 x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 2 ? ? x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件不一致。 x y x y
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 解法一: 由

x ? 0, y ? 0

, 则

x ? y

? x 3 ? y ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy

, 即

2 ( x y ) ?

得 2 x? y ? 3解 0

xy ? ?1 (舍)或 xy ? 3 ,当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。


x ? y ? 3 ? xy ? (

x? 且 y

x? y 2 ) ? ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ?12 ? 0 ? x ? y ? ?2(舍)或x ? y ? 6 2 即? x ?yy ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ??) x? y ?3x

, 当 且 仅 当

解法二: 由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? ( x ? 1) y ? x ? 3 知 x ? 1 ,

x?3 x?3 ? 0 ? x ? 1 ,则: ,由 y ? 0 ? x ?1 x ?1 4 x ? 3 x 2 ? 3x ( x ? 1)2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 xy ? x ? ? ? ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ?5 ? 9 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 4 x ?1 ? ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1
则y?











x? y ? x?
x ?1 ?

x?3 x ?1 ? 4 4 4 4 ? x? ? x? ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2?6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1











4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项(配常数项)

y ? 3x 2 ?
例 1 求函数

16 2 ? x 2 的最小值.

9

习题精选精讲

解:x 2 ? 2 ? 0, y ? 3x 2 ? ? 3( x 2 ? 2) ? 16 ?6 2 ? x2 16 ?6 2 ? x2

16 2 ? x2

? 2 3( x 2 ? 2) ? ?8 3 ?6
是8 3 ?6 .

3( x 2 ? 2) ?
当且仅当

16 4 3 x2 ? ?2 2 2? x , 3 即 时,等号成立. 所以 y 的最小值

2、 配系数(乘、除项) 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,且满足 3x ? 2 y ? 12 ,求 lg x ? lg y 的最大值.

解:x ? 0, y ? 0 3x ? 2 y 6 2 ? 1 ? 3x ? 2 y ? ? ? 1 ? 12 ? 2 ? ? lg ? ? ? ? ? lg ? ? ? ? ?6 ? 2 ? ? ? ?6 ? 2 ? ? ? ? ? lg x ? lg y ? lg( xy ) ? lg ? lg 6
当且仅当 3x ? 2 y ,即 x ? 2, y ? 3 时,等号成立. 所以 lg x ? lg y 的最大值是 lg 6 .

? a?b ? ab ? ? ? ? 2 ? 来解决. 评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利用
3、 裂项 例 3 已知 x ? ?1 ,求函数

2

y?

? x ? 5?? x ? 2 ?
x ?1
的最小值.

分析 在分子的各因式中分别凑出 x ? 1 ,借助于裂项解决问题.

? ? ?? x ? 1? ? 4 ? ?? ?? x ? ? 1 ? 1 解:x ? 1 ? 0y, ? ? x ?1 4 4 ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ?5 x ?1 x ?1 ?9
x ?1 ?
当且仅当 4、 取倒数

4 x ? 1 ,即 x ? 1 时,取等号.

所以

ymin ? 9 .

( x ? 1)2 1 y? 0? x? x(1 ? 2 x) 的最小值. 2 ,求函数 例 4 已知

10

习题精选精讲

分析 分母是 x 与 (1 ? 2 x) 的积, 可通过配系数, 使它们的和为定值; 也可通过配系数, 使它们的和为 (1 ? x) (这 是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.

0? x?
解 由

1 2 ,得 1 ? x ? 0 , 1 ? 2 x ? 0 .

1 x(1 ? 2 x) 1 3 x 1 ? 2 x ? ? ? ? y (1 ? x) 2 3 1? x 1? x ? 3x 1 ? 2 x ? ? ? 1? 1 ? ?1? x 1? x ? ? 3? 2 ? 12 ? ? 取倒数,得
1 3x 1 ? 2 x x? ? 5 时,取等号. 1 ? x ,即 当且仅当 1 ? x

2

y 的最小值是 12 .

5、 平方 例 5 已知 x ? 0, y ? 0 且 分析 条件式中的 x 与 若把所求式

2x2 ?

y2 ? 8 x 6 ? 2 y2 3 求 的最大值.

y 都是平方式,而所求式中的 x 是一次式, y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手,但

x 6 ? 2 y2

平方,则解题思路豁然开朗,即可利用均值不等式来解决.

解: ( x 6 ? 2 y 2 ) 2 ? x 2 (6 ? 2 y 2 ) ? 3 ? 2 x 2 (1 ? ? 2 y2 ? 2 x ? (1 ? ) ? 9 2 3 ? ? 3? ? ? 3( ) 2 2 ? ? ? ? ? ?
x 6 ? 2 y2
2

y2 ) 3

3 y2 42 x? 2 x ? (1 ? ) y? 2, 3 ,即 2 时,等号成立. 当且仅当
2



9 3 2 的最大值是 .
x 6 ? 2 y2
,先配系数,再运用均值不等式的变式.

评注 本题也可将 x 纳入根号内,即将所求式化为 6、 换元(整体思想)

y?
例 6 求函数

x?2 2 x ? 5 的最大值.

11

习题精选精讲
解:令 x ? 2 ? t t, ? t (t ? 0 ) 2t 2 ? 1 当t ? 0时,y ? 0; y? 当t ? 0时,y ? 1 1 2t ? t ? 1 1 2 2t ? t ? 2 4 0 x? , t 2 ? 则2 ,

1 2 当且仅当2t = ,即t ? 时,取等号. t 2 3 2 所以x ? ? 时,取最大值为 . 2 4

7、 逆用条件

1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) x y 例 7 已知 ,则 x ? y 的最小值是(
1 9 ? ?1 ,得 x y 1 9 y 9x x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? ? ? 10 x y x y y 9x ? ? 10 ? 16 x y y 9x ? , 即x ? 4, y ? 12时,等号成立. x y

) .

解:由x ? 0, y ? 0,

?2

当且仅当

故x ? y的最小值是16.

1 9 ? x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 x y 的最大值,则同样可运用此法. 评注 若已知 (或其他定值),要求
8、 巧组合 例 8 若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,求 2a ? b ? c 的最小值 . 分析 初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用 a ? b ? 2 ab +b 来解决.换个思路,可考虑将 2a ? b ? c 重 新组合,变成 (a ? b) ? (a ? c) ,而 (a ? b)(a ? c) 等于定值 4 ? 2 3 ,于是就可以利用均值不等式了.

解:由a, b, c ? 0, 知2a ? b ? c ? (a ? b) ? (a ? c) ? 2 (a ? b)(a ? c) ? 2 a 2 ? ab ? ac ? bc ? 2 4 ? 2 3 ? 2 3 ? 2, 当且仅当b ? c, 即b ? c ? 3 ? 1 ? a时,等号成立. 故2a ? b ? c的最小值为2 3 ? 2.
9、 消元

y2 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是. 例 9、设

12

习题精选精讲

x ? 3z 可得 , 2 2 y 2 x 2? 9 z ? 6 xz xz 6 ? xz6 = ? ? 3, xz 4 xz 4 xz y 当且仅当x ? 3z,即x ? y, z ? 时,取“=”. 3 2 y 故 的最小值为3. xz 解:由x, z ? 0y, ?

13


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