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1.3二项式定理


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助您教考全无忧

人教 A 版
一、 知识精讲

选修 2—3
1.3 二项式定理

精讲细练

0 n 1 n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b?

r n ?r r ? Cn a b ?

n n ? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b)n 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:
a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn ,

⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a n 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a n b 的系数是 Cn ,……, r r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a n?r br 的系数是 Cn ,……, n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, bn 的系数是 Cn , 0 n 1 n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式,
r ⑶它有 n ? 1 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,

n) 叫二项式系数,

r n ?r r r n?r r ⑷ Cn a b . a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn 1 ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ?

? xn

王新敞
奎屯

新疆

二、 典例细练
【题型一】二项式定理的正向使用
1 例题 1:利用二项式定理展开 (1 ? ) 4 ; x 4 6 4 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 ( ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ( )4 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 . 解法一: (1 ? ) 4 ? 1 ? C4 x x x x x x x x x 1 1 1 1 3 1 2 3 x 4 ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? 1? 解法二: (1 ? ) 4 ? ( ) 4 ( x ? 1) 4 ? ( ) 4 ? ? ? x x x

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? 1? 4 6 4 1 ? ? ? . x x 2 x3 x 4

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【点评】形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开 ,对于形式较复杂的 二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形 ,然后再展开 ,以 使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关 问题的前提. 3 ? ? 变式训练:求?2x-2x2?5 的展开式. ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ?-2x2?+C52(2x)3?-2x2?2 解法一:?2x-2x2?5=C50(2x)5+C51(2x)4· ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? +C53(2x)2?-2x2?3+C54(2x)?-2x2?4+C55?-2x2?5 ? ? ? ? ? ? 180 135 405 243 =32x5-120x2+ x - 4 + 7 - . x 8x 32x10 3 ?5 ?4x3-3?5 ? 解法二:?2x-2x2? = ? ? 32x10 1 = (1024x15-3840x12+5760x9-4320x6+1620x3-243) 32x10 180 135 405 243 =32x5-120x2+ x - 4 + 7 - . x 8x 32x10 【题型二】二项式定理的逆向使用 例题 2:化简(x-1) +5(x-1) +10(x-1) +10(x-1) +5(x-1).
1 3 5 【解析】 :原式= C50 (x-1)5+ C5 (x-1)4+ C52 (x-1)3+ C5 (x-1)2+ C54 (x-1)+ C5 (-1)
5 4 3 2

=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 【点评】逆用二项式定理要注意其结构特点,a 的指数是从高到低,b 的指数 是从低到高,a、b 的指数和都相等,如果是正负相间是(a-b)n 的形式. 变式训练:设 S=(x-1) 4 +4(x-1) 3 +6(x-1) 2 +4(x-1)+1,它等于多少? 【解析】 :S=[(x-1)+1] 4 =x 4 . 【题型三】求二项展开式中的特定项 1? ? a?? 例题 3(1)(课标全国卷)?x+x??2x-x?5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展 ? ?? ? 开式中常数项为(
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登陆 21 世纪教育 A.-40 B.-20 C.20

助您教考全无忧 D.40

解析:令 x=1 得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以 a=1. 1? 1? 1 ? 1?? ? 因此?x+x??2x-x?5 展开式中的常数项即为?2x-x?5 展开式中x的系数与 x 的系数 ? ?? ? ? ? 1? ? 的和.?2x-x?5 展开式的通项为 Tr+1=C5r(2x)5-r· (-1)r· x-r=C5r25-rx5-2r· (-1)r. ? ? 1? ? 令 5-2r=1,得 2r=4,即 r=2,因此?2x-x?5 展开式中 x 的系数为 C5225-2(- ? ? 1? 1 ? 1)2=80.令 5-2r=-1,得 2r=6,即 r=3,因此?2x-x?5 展开式中x的系数为 ? ? 1? ? 1?? C5325-3· (-1)3=-40.所以?x+x??2x-x?5 展开式中的常数项为 80-40=40. ? ?? ? 1 ?18 ? ? 的展开式中含 x15 的项的系数为________.(结 例题 3(2)(湖北高考)?x- ? 3 x? 果用数值表示) 1 ?r 3r ? ?1? ? =(-1)r?3?rC18rx18- . 解析:二项展开示的通项为 Tr+1=C18rx18-r?- ? ? 2 ? 3 x? 3r ?1? 令 18- =15,解得 r=2.∴含 x15 的项的系数为(-1)2?3?2C182=17. 2 ? ? 【点评】求展开式中的某些特定项时,应先利用通项确定哪些项是要求。
? x 2 ? 2 变式训练 1: (天津卷理科 5)在 ? ( ? 2 ? x? ? 的二项展开式中,x 的系数为 ? ? 15 15 3 3 A. ? B. C. ? D. 4 8 8 4
6



【答案】C
r 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ?(

x 6? r 2 6 ) ? (? ) ,所以容易得 C 正确. 2 x

变式训练 2:(陕西卷理科 4) (4x ? 2? x )6 ( x ? R) 的展开式中的常数项是 (A) ?20 (B) ?15 (C) 15 (D) 20

r r r 【解析】 Tr?1 ? C6 (4x )6?r (2? x )r ? C6 ? 22 x(6?r ) ? 2? xr ? C6 ? 212 x?3xr , 4 令 12 x ? 3xr ? 0 ,则 r ? 4 ,所以 T5 ? C6 ? 15 ,故选 C.

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登陆 21 世纪教育 变式训练 3:(山东卷理 14)若 ( x ?
a x
2

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a x
2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为?

r 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ? x 6? r ? (?

2 )r ,所以 r=2, 常数项为 a ? C6 ? 60,解得 a ? 4 .

【题型四】利用二项式定理解整除问题及求余数问题 例题 4:用二项式定理证明 1110-1 能被 100 整除. 【证明】 :∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C1 109+…+C9 10+1)-1 10× 10×
2 =1010+C1 109+C10 × 108+…+102=100× (108+C1 107+C2 106+…+1), 10× 10× 10×

∴1110-1 能被 100 整除. 【反思】利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数 的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练:C331+C332+C333+…+C3333 除以 9 的余数是( A.7 【解析】 : B. 0 C.-1 ) D.-2

原式=C330+C331+C332+…+C3333-C330

=(1+1)33-1=233-1=811-1=(9-1)11-1 =C110× 911-C111× 910+…+C1110× 9× (-1)10+C1111× (-1)11-1 =C110× 911-C111× 910+…+C1110× 9-2=9M+7(M 为正整数).

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