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等差、等比数列知识点总结


一、任意数列的通项 an 与前 n 项和 S n 的关系: a n ? ? 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义
a n ? a n ?1 ? d 、 an ?

?

S1 (n ? 1)

?S n ? S n ?1 (n ? 2)

an?1 ? an?1 2



2、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 、 an ? ak ? (n ? k )d 当 d ? 0 时, an 是关于 n 的一次式;当 d ? 0 时, an 是一个常数。
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 2 4、等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq

3、等差数列的前 n 项和公式: S n ?

5、 等差数列 {an } 的公差为 d , 则任意连续 m 项的和构成的数列 S m 、 …… S2m ? Sm 、 S3m ? S2m 、 仍为等差数列。 6、 S n ? An2 ? Bn,d ? 2 A,a1 ? A ? B 7、在等差数列 {an } 中,有关 S n 的最值问题 利用 S n ( d ? 0 时, S n 是关于 n 的二次函数)进行配方(注意 n 应取正整数) 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义:
an 2 ? q 、 an ? an?1an?1 a n ?1

2、等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 an ? ak qn?k 3、等比数列的前 n 项和公式:当 q ? 1 时, Sn ? na1
a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时, S n ? 1? q
Sn ? a1 ? a n q 1? q

4、等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 5、等比数列 {an } 的公比为 q ,且 S n ? 0 ,则任意连续 m 项的和构成的数列 S m 、 S2m ? Sm 、 S3m ? S2m 、……仍为等比数列 6、 S n ? Aqn ? B,则A ? B ? 0 四、求数列 {an } 的最大的方法:
a n ? a n ?1 a n ? a n-1

五、求数列 {an } 的最小项的方法:
a n ? a n ?1 a n ? a n-1

例:已知数列 {an } 的通项公式为: an ? ?2n2 ? 29n ? 3 ,求数列 {an } 的最大项。

例:已知数列 {an } 的通项公式为: a n ?

9 n (n ? 1) ,求数列 {an } 的最大项。 10n
1

数列求和方法总结
1、公式法
(1)等差数列 a ?a n(n ? 1) S n ? 1 n n ? na1 ? d 2 2 (2)等比数列 q ?1 ?na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ) q ?1 ? 1? q ? 1? q ?

(3)12 ? 2 2 ? 32 ? ... ? n 2 ?
3 3 3 3

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

[n(n ? 1)]2 (4)1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 4

2、分组求和法
类型:数列{an}的通项公式形如 an=bn±cn,而{bn}是等差数列,{cn}是等比数列。
例 4:计算
1 1 1 +3 +5 + 2 4 8 + (2n - 1) 1 的值 2n

1 1 1 1 (1)1 , 2 , 3 ,…,( n ? n ) ,…; 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (2) ? 2 , 3 ? 4 , 5 ? 6 ,…, 2 n ?1 ? 2 n ,…; 练习:求数列的前 项和3Sn: 3 3 3 3 n3 3 3 1 1 1 1 1 1 (3)1,1+ ,1+ ? ,…,1+ + +…+ n ?1 ,…. 2 2 4 2 4 2

3、裂项相消法 常见裂项技巧:
(1) (3) 1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 (2) 1 ? n ?1 ? n; n ?1 ? n

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(4)

(2n) 2 1 1 1 1 ? 1? ? 1? ( ?2 ); (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

例 5、化简

1 1 1 1 ? ? ?? ? . 2? 1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n 1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值. 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

练习 求S n ?

4、倒序相加法

特点:a1 ? an?1 ? a2 ? an?2 ? a3 ? an?3 ? ...

sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89?。 例 5、
2x 例 6、1、已知 f ( x) ? x , 2 ? 2
设 Sn ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?

1 n

2 n

3 n

n ? f ( ) ,求 Sn n

5、错位相减法 常应用于形如{an·bn}的数列求和,其中{an}为等差数列, {bn} 为等比数列. 例 7、 Sn ? 2 ? 5 ? 2 ? 8 ? 22 ? ?? ( 3n -1 ) ? 2n?1
1 1 1 练习: Sn ? 2 ? 5 ? ? 8 ? ( )2 ? ? ? (3n - 1 ) ? ( ) n ?1 2 2 2 (2)1 ? 1 1 1 ? ?? ? ; 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ?? ? n

(3)4 ? 7 ? 4 ? 10? 42 ? ? ? (3n ? 1 ) ? 4n?1

练习:数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an?1 ? 2S n ? 1 ( n ? 1 ) (1)求数列 {an } 的通项公式 an (2)等差数列 {bn } 的各项为正数,且 b2 ? 5 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 bn (3)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn

3

数列通项公式方法总结
1、公式法
等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d an ? am ? (n ? m)d 等比数列的通项公式: an ? a1q n?1

an ? am q n?m

2、累加法
类型:an?1 ? an ? f (n)(n ? N ) ,a1 ? 1, 求an 例 1、 an?1 ? an ? 2n ? 1
例 2、an?1 ? an ? 3n ? 2,a1 ? 1, 求an

an?1 ? an ? 3n ,a1 ? 1, 求an 例 3、

3、累乘法
a 类型:n?1 ? f (n)(n ? N ) an
例 4、an?1 ? 2n an,a1 ? 3, 求an

练习:

a1 ? 1, an?1 ?

n ?1 an , 求an n

4、利用S n 求an

,n =1 ? S1 an ? ? ? Sn ? S n?1 , n ? 2

例4:S n ? 3n ? 1, 求an
1 练习: S n ? (a n ? 1)( n ? N * ) 3

1 (4)、数列 {an }的前n项和为Sn,且a1 ? 1,an ?1 ? Sn , n ? 1,2,3?? 3 求a2 , a3 , a4的值及数列 {an }的通项公式 .

4

5、取倒数

类型:an?1 ?
例5、an?1 ?

pan p ? qan

2an ,a1 ? 1, 求an an ? 2

例 6、已知数列{an}中,a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.

6、取对数

类型:an?1 ? Aanp
3 an?1 ? an , a1 ? 2, 求an 例 7、

7、构造法
主要用于形如 an+1=c an+d 的已知递推关系式求通项公式。 例 8、a1=3,an+1=2an+3,求 an

练习:(1)an ?1 ?

1 1 an ? ,a1 ? 1, 求an 2 3

(2)an ?1 ? 6an ? 9,a1 ? 1, 求an

练习:a1 ? 1,an?1 ?

an , 求an 3 ? 2an

an?1 ? 2an ? 2n , a1 ? 1, 求an

an?1 ? 2an ? 3n?1 , a1 ? 1, 求an
(5)、数列?an ?中, sn是它的前n和, 并且满足 (1)设bn ? an?1 ? 2an , 求证 ?bn ? 是等比数列; (2)设cn ? an , 求证数列?cn ? 是等差数列. 2n sn?1 ? 4an ? 2( n ? N ? ), a1 ? 1

(6)、已知数列?an ?的首项a1 ? 3, 通项an与 求数列?an ?的通项公式. 前n项和sn之间满足2an ? sn ? sn?1 ( n ? 2).
5

8、特征根法 形如 (其中 p,q 为常数)型

例9、an?1 ? an ? 6an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2, 求an

例10、an?1 ? 4an ? 4an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2, 求an
n n 方法总结:若方程有两个根x1 , x2,则an ? Ax1 ? Bx2 n 若方程只有一个根x1,则an ? ( A+Bn) x1

练习、an?1 ? 2an ? 8an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2, 求an

练习、an?1 ? 6an ? 9an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2, 求an
?,? 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个实根, 设 p, q 为实数, 数列 {xn } 满足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q ,xn ? pxn?1 ? qxn?2
4, ( n ? 3, …) .
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

6

1.若

,求

[例1] 已知数列{an }满足a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ?3a3 ? ... ? (n ? 1)an?1 (n ? 2), 则an ? _____ .
an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? (n ?1)an?1 (n ? 2) an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? (n ? 2)an?2 (n ? 3) an ? an?1 ? (n ?1)an?1 (n ? 3) an ? n(n ? 3) an?1
?1 , n ? 1 ? an ? ?1? 2 ? 3 ? ? n , n?2 ? ? 2
【例 2】已知数列 { a n } 、 { bn } 满足 a1 ? 1 , a 2 ? 3 ,

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn ? a n ?1 ? a n 。 bn (1)求数列 { bn } 的通项公式;
(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)数列 { c n } 满足 c n ? log 2 (a n ? 1) (n ? N * ) , 1 1 1 求 Sn ? 。 ? ? ? c1c3 c3c5 c2 n ?1c2 n ?1

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn 又 b1 ? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 。 所以数列 { bn } 是首项 b1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列。
【解】 (1)

故 bn ? b1q n ?1 ? 2 n 。

(2) an ?1 ? an ? 2n ( n ? N * ) ? an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

1 ? 2n ? 2 ? 2 ??? 2 ?1 ? ? 2 n ? 1。 1? 2 (3) c n ? log 2 ( a n ? 1) ? log 2 ( 2 n ? 1 ? 1) ? log 2 2 n ? n , 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) c2 n ?1c2 n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ? ? ? Sn ? c1c3 c3c5 c2 n ?1c2 n ?1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 7 1 1 n 。 ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1
n ?1 n?2

【例 1】已知数列 {a n } 中, a1 ? 3, a n ?1 ? 2 a n ? 0 ,数列 {bn } 中,
n * bn ? a n ? ??1? (n ? N ) . (Ⅰ)求数列 {a n }通项公式;

(Ⅱ)求数列 {bn } 通项公式以及前 n 项的和. 【解】 (1)∵ a n?1 ? 2a n ? 0 ∴ ∴ a n ? 3 ? 2 n ?1 ( n ? N *) (2)∵ bn ? a n ? ??1?n (n ? N *) ,
1 1 = (?1) n ? an 3 ? 2 n ?1 1 1 1 ∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) n ? 3 3? 2 3 ? 2 n ?1 1? 1 ? ? ?1 ? (? ) n ? 2? 1 ? 2? 1 3? 2 ? ? = =- ?1 ? (? ) n ? = ?( ? ) n ? 1? 1 9? 2 ? 9? 2 ? 1? 2 1 【例 2】已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 且 2 . a n ? 2 S n ? S n ?1 ? 0( n ? 2) 1 ( Ⅰ)求证 { } 是等差数列,并求出 a n 的表达式; Sn

∴ ?a n ?是首项为 3,公比为 2 的等比数列,

a n ?1 ? 2(n ? 1) ,又 a1 ? 3 , an

∴ bn ? (?1) n ?

2 2 2 ( Ⅱ) 若 bn ? 2(1 ? n) a n ( n ? 2) ,求证 b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1.

(I )证明:∵ S n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ∴当 n≥2 时,an = Sn – Sn – 1 又 a n ? 2 S n S n ?1 ? 0 ∴ S n ? S n ?1 ? 2 S n S n ?1 ? 0( n ? 2) , 若 Sn = 0,则 an = 0, ∴a1 = 0 与 a1 = 矛盾! ∴Sn ≠0,Sn – 1≠0. ∴ 又
1 S n ?1 ? 1 1 1 ? 2 ? 0即 ? ?2 Sn S n S n ?1
1 2

1 1 ? ? 2. S 2 S1 1 ∴{ }是首项为 2,公差为 2 的等差数列 Sn

8

由(I )知数列{ ∴

1 }是等差数列. Sn

1 1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n 即 S n ? Sn 2n 1 1 1 ∴当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? ? ?? 2n 2( n ? 1) 2n( n ? 1)
?1 (n ? 1) ? 1 ?2 又当 n ? 1时, S1 ? a1 ? ,∴ a n ? ? 1 2 ?? (n ? 2) ? 2n(n ? 1) ? (II )证明: 1 1 由(II )知 bn ? 2(1 ? n) ? ? ( n ? 2) 2n(1 ? n) n

∴ b22 ? b32 ?

? bn2 ?
?

1 1 ? ? 22 32

?

1 n2

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ?1? ?1 n
1 [例2]已知点(1, )是函数f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1)的 3 图象上一点等比数列 . {an }的前n项和为f (n) ? c, 数 列{bn }(bn ? 0)的首项为c, 且前n项和S n满足S n ? S n ?1 ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2). (1) 求数列{an }和{bn }的通项公式; (2) 若数列{ 1 }的前n项和为Tn ,问满足Tn ? bnbn ?1

1 ?1? 【解】 (1) Q f ?1? ? a ? , ? f ? x ? ? ? ? 3 ?3? 1 2 , f 2 ? c ? f 1 ? c ? ? ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 9 2 . a3 ? ? f 3 ? c ? f 2 ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列,a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c , 所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
w .w .w k. . s5 .u .c .o .m

1000 的最小正整数n是多少 ? 2009

x

9

Q S n ? S n ?1 ?

?

S n ? S n ?1

??

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? S n ? S n ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ?1? ?n ?1??1? n , S n ? n 2
当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * ); (2) 1 1 1 1 Tn ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2? 3 5? 2? 5 7? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 n 1000 1000 由 Tn ? 得n? , ? 2n ? 1 2009 9 1000 满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2009
w .w .w k. . s5 .u .c .o .m

【变式 2】等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知对任意的 n ? N ? , 点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上。 (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn ?
n ?1 (n ? N ? ) ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn 。 4an

因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r 的图像上, 所以 S n ? b n ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,
w .w w . k. . s. 5. u. c. o. m

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? b n ? r ? (b n ?1 ? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 10 公比为 b , 所以 an ? (b ? 1)b n ?1

(2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b n ?1 ? 2 n ?1 , bn ? 则 Tn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? 4an 4 ? 2n ?1 2n ?1

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? ? ? ? ? 2 23 24 25 2n ?1 2n ? 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? ) n ?1 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 = ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 。 2 2 2 2 2
w .w w . k. . s

【变式训练】已知数列{an}满足:Sn=1-an(n∈N+ ),其中 Sn 为数列 {an}的前 n 项和. (1)试求{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足:bn= (n∈N+),试求{bn}的前 n 项和公式 Tn. an

n (2)由(1)得 bn= =n·2n(n∈N+). an ∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.③ ∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1④ ③-④得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1 2 1-2n = -n×2n+1. 1-2
11

【例 1】设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:

an 、bn、an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1 成等比数列, 且 a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项 an,bn
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【解】依题意得: 2bn +1 = an+1 + an+2 a2 n +1 = bn bn+1 ∵ an 、bn 为正数, 由②得 a n ?1 ?

① ②

bn bn ?1 , a n ? 2 ? bn ?1bn ? 2 ,
bn ? bn ? 2 ,

代入①并同除以 bn ?1 得: 2 bn ?1 ? ∴ { bn }为等差数列 ∵ an 、bn 为正数, 由②得 a n ?1 ?
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bn bn ?1 , a n ? 2 ? bn ?1bn ? 2 ,
bn ? bn ? 2 ,
9 , 2

代入①并同除以 bn ?1 得: 2 bn ?1 ? ∴ { bn }为等差数列
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∵ b1 = 2 , a2 = 3 , a 2 ? b1b2 , 则b2 ?
2

9 2 (n ? 1) 2 ∴ bn ? 2 ? (n ? 1)( , ? 2) ? (n ? 1),? bn ? 2 2 2 n(n ? 1) ∴当 n≥2 时, a n ? bn bn ?1 ? , 2 n(n ? 1) 又 a1 = 1,当 n = 1 时成立, ∴ a n ? 2
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【例 3】已知点 Pn(an,bn)(n∈N+)都在直线 l :y=2x+2 上,P1 为直 线 l 与 x 轴的交点,数列 ?a n ? 成等差数列,公差为 1. (1)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式;
?a (n为奇数) n (2)若 f(n)= ? ,问是否存在 k? N? ,使得 f(k+5)= ? ? ?bn (n为偶数)

2f(k)-2 成立;若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由。 (3)求证:

1

P P 1 2
(1 ) ∵ P 1(?1,0) ∴ a1 ??1, ∴ b2

? 2

1

P P 1 3

????? 2

1

P P 1 n

? 2 (n≥2,n∈N+) 2 5

bn ? b1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 2

? 2 , b2 ? b1 ? 2 , an ? a1 ? (n ?1)?1??1? n ?1? n ?12 2,

b1 ? 0, a2 ??1?1? 0 ,

( 2)若 k 为奇数, 则 f(k)= ak ? k ? 2 , f (k ? 5) ? bk ?5 ? 2k ? 8 , ∵2k+8=2 k─ 4 ─ 2 无解,∴这样的 k 不存在; 若 k 为偶数, 则 f(k)=2k-2,f(k+5)=k+3, k+3=4k-4- 2, q=3 k,k=3(舍去)无解.
P1 Pn ? ( n ? 2 ? 1, 2 n ? 2) ? ( n ? 1, 2 n ? 2 ? P1 Pn ? ( n ? 1) 2 ? 4( n ? 1) 2 ? 5( n ? 1) 2 ⑶

2)

? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ????? ? ? ???? 2 2 2 5 ?12 22 2 (n ?1) ? ? ? PP PP PP n 1 2 1 1 3

? ? 1 ? 1 ? ???? 1 ? ≤1?1 ? 2 5? 1 ? 2 2 ? 3 ( n ? 2)( n ? 1) ? ?1 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ? = ? n ?1? 5? ?

? 1 ?1 ? 1 ? ? 2 5 5

( ∵

n≥ 2, n ?1≥1)

13

14

15


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