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数学必修五同步练习册答案


参考答案及解题思路

第 一 章 三 角 形 !解
 !  ! 正弦定理和余弦定理   第 时 弦 定 理 !课 ! !正

自 学 导 引 略 ! 要 点 突 破


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教 材 导 学

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基 础 达 标
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为 直 角 三 角 形 ! 拓 展 训 练
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知 能 提 升

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数 学 探 究

解 由 已 知 得 则 为 正 三 角 形



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基 础 达 标
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自 学 导 引 要 点 突 破

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教 材 导 学

变 式 练 习 解 由 已 知 得 由 正 弦 定 理 得 的 外 接 圆 半 径

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或 为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 变 式 练 习 即

拓 展 训 练
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知 能 提 升
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解 由 题 意 得 又 又

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解 析结 合 已 知



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正 弦 定 理 可 得 " # $ * 3 4 " '%" # $ ' 3 4 " * #" # $ ) " # $ ) & 故 故 三 角 形 为 直 角 三 角 形 析 设 则 槡 槡 解 弦 定 理 得 为 锐 角 三 角 形 得 由 正

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由 又



解 析 由 由 正 弦 定 理

槡 槡 槡







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解 由





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槡 又 由 正 弦 定 理 得


自 学 导 引 略 ! 要 点 突 破


第 时 弦 定 理   +课 ! !余

教 材 导 学

槡槡



 变 式 练 习 ! 解 由 余 弦 定 理 得  + #" % $ -* " $ 3 4 " '#! %! * * * * *

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再 由 正 弦 定 理 得

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数 学 探 究

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由 正 弦 定 理

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故 最 大 角 为



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基 础 达 标

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解 析 由 题 意 得 为 钝 角 解 析由 正 弦 定 理 得 设 则 由 余 弦 定 理 可 得 解 析由 余 弦 定 理 得 即 即 解 由 余 弦 定 理 得 又





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自 学 导 引 略 ! 要 点 突 破


又 拓 展 训 练

教 材 导 学

知 能 提 升

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 变 式 练 习 ! 解 法 利 用 边 的 关 系 来 判 断 ! ! " # $ ' +  由 正 弦 定 理 得 由 得 # * 3 4 " ) " # $ * #" # $ ' " # $ * $





同 理 可 得

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解 析



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的 周 长 为



变 式 练 习 2 析 设 三 角 形 三 边 长 分 别 为  ! ,-! , ,%! , !解 6
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基 础 达 标

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解 析

根 据 余 弦 定 理 可 得 解 析 在

解 析 由 正 弦 定 理 得

中 由 余 弦 定 理 得

解 析 所 以 是 钝 角 三 角 形 解 析设 由 余 弦 定 理 得

则是 钝 角

化 简 得 联 立 可 解 得

与 题 目 条 件



解 又 又





再 由 余 弦 定 理 得



第题 图

为 锐 角

解 法 由 正 弦 定 理原 式 化 为

三 角 形 解 法已 知 条 件 可 化 为 由 余 弦 定 理 可 得

为 直 角



由 余 弦 定 理 得





化 简 得 拓 展 训 练





为 直 角 三 角 形

数 学 探 究

知 能 提 升

解 析由 余 弦 定 理 代 入 得 显 然 解 析

槡 槡

解 由 余 弦 定 理 知 代 入 想 到 得 槡联 是 以为 直 角 的 直 角 三 角 形 槡 又 或 也 是 等 腰 三 角 形 综 上 所 述 是 等 腰 直 角 三 角 形

解 析

即 得 槡 为 钝 角

自 学 导 引 略

第课 时应 用 举 例

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要 点 突 破

教 材 导 学
变 式 练 习 变 式 练 习





基 础 达 标

故 甲 船 向 北 偏 东的 方 向 航 行才 能 最 快 地 与 乙 船 相 遇 解在 中 在 中 由 正 弦 定 理 可 得 槡 槡槡 在 中由 余 弦 定 理可 得

解 析如 图 所 示 表 示 从 地 面 上点 观 察由 建 筑 物 已 知 得 则 山 顶 的 仰 角 为 米 槡



第题 图

槡槡 槡   槡槡槡 解 设 处 所 受 力 分 别 为 物 体的 重 力 用表 示 则 以 重 力 作 用 点为 的 始 点作 平 行 四 边 形 使 为 故与两 目 标 之 间 的 距 离 为 槡 则 对 角 线 数 学 探 究 由 题 意 知 海 里 槡 四 边 形 为 解 矩 形 槡槡
在 中由 正 弦 定 理得

处 受 力 为槡 处 受 力 为 拓 展 训 练

知 能 提 升

解 析如 图 所 示点 在 点 的 南 偏 西 的 方 向 上



槡 槡 槡 槡

第题 图

又 在

海 里 槡

解如 图 所 示设 两 船 最 快 在点 相 遇在 中 为 定 值 分 别 是 甲 船 和 乙 船 在 相 同 时 间 里 的 行 程 第题 图 由 已 知 条 件 有 槡 槡 由 正 弦 定 理 得



中 由 余 弦 定 理 得

海 里 槡

槡 槡

海 里 需 要 的 时 间



时 答 救 援 船 到 达点 需 要小 时



自 学 导 引 略

第课 时应 用 举 例

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要 点 突 破

教 材 导 学

变 式 练 习 解 在 中 根 据 余 弦 定 理 得

' $ +时 海 里 里 ( B#! (海 ! 里 (! = '/% (! 2海 ! 拓 展 训 练 & (* '#* 6

知 能 提 升
*

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槡 槡

# # 解 析 由 余 弦 定 理 可 知

* ) ' #) ** %* ' -* ) *(* ' 3 4 " * '! ")

又 $ &) *#! &$ * '#* &$ * '#! * & ' ")
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根 据 正 弦 定 理

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槡 里 +! /. *槡 2海 ! !(!
)! # %) * '

解 在

! $ & $ 中 * '#( &0 #* & = >' *

答 此 船 应 该 沿 北 偏 东 的 方 向 航 行需 要 航 行 变 式 练 习 解 最 初 两 人 分 别 在 两 点

$ * '#! ( & ' -! ! & ' #+ & ' ") ' $ ' *# & ! 6 & ' -! ( & ' %+ ) ' #2 ) ' ") ( "* ) '#2 ) ' !

) ' * ' $ $ 由 正 弦 定 理 得 # " # $+ & ' " # $2 ) ' * ' " # $+ & ' () '# " # $2 ) '
! & # %3 4 "( ) ' " # $+ & ' " # $( ) ' 3 4 "+ & ' #



最 初 两 人 相 距 槡 设 甲 乙 两 人后 的 位 置 分 别 为 则

又甲 沿 方 向 乙 沿 方 向 运 动 当 时 当 时 综 上

数 学 探 究

# & 答 灯 塔 距 离 为 '到 )的 ! & %, *' = >! 槡槡

槡槡 槡槡

( & &%, *' & #! & = >' ! %- *

# $ 解 如 图 测 量 者 可 以 在 河 岸 边 选 定 两 点 测 得 '$ 1$ 并 且 在 点 分 别 测 得 ' 1# "$ '$ 1两 ' )# "* !$ 在 ' 1#$$ 1 * #%$ 1) #&! ' ") "' "* %)1 $ 和 中 应 用 正 弦 定 理 得 1 ' %* & & " " # $ " " # $ %&' %&' $ ) '# ! # & " " # $! 6 & ' -& " # $$% %&' %&' $%

& '

基 础 达 标


当 即 在 第 两 人 距 离 最 近 最 近 距 离 为

末 时 最 短

" " # $ " " # $ % % * '# ! # & ! " # $! 6 & ' % # $$!%" " !% %' $-

$ 计 算 出 再 在 应 用 余 弦 定 ) '和 * '后 * '中 %) 理 计 算 出 点 间 的 距 离 )$ *两

* * ) *# ) ' %* ' -* ) '.* ' 3 4 " !!



解 析由 图 形 及 余 弦 定 理 知 应

解 析 如 图 设 我 舰 在处 追 上 敌 舰 速 度 为则 在 中 第题 图 海 里 海 里

2 !

章 末 达 标 测 试
一 * !! <. <. & !*.;. !+. !(.;. !).;. & # $ $ $ 解 析 如 图 %. <! ' 1#+ & ' ") * 1#2 ) ' )1 & ! ") & )1 $ #% & >!在 C 7%) ' 1 中 ' 1# # & 7 8 $") ' 1 & & % & $ 在 中 #% &槡 + >! C 7 * 1 * 1# %) & 7 8 $ + & '
)1 % & % & & # # #% & *, +' >$ 7 8 $") * 1 7 8 $ 2 ) ' *- +
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* & ' ,2' 3 4 " % & ' #+ 2-! & & %! && & &! 2#! & & $ 89 ! & &!

设 则 由 余 弦 定 理 得

& 槡 槡 & & & (* '#' 1 -* 1 #% &槡 +,% && *,槡 +' #! * && + 槡 &

当 时 取 得 最 小 值 答 两 人 行 走 时 的 最 近 距 离 为 # ! & &米 ! 在 由 题 意 知 # & ' $ &! !!解 ! * '中 %)
* " # $)# !,3 4 " )#



+$ 槡 +

& & & & & & & & & % & &   * 2! ! !6! ! & % % & * * * * ' & 5!& ! & $ # " +$ " + # " +$ +$ & * * * ( $% +"# $ +! & & $ $ ) * ' % & * * * $% +" $ + !$ & 3 4 ")# # # ()#% & ' !& * $ + * $ + * & & ' %) * * ' $ & & $ " # $)$ " # $*# & " & * & $ & $ # " +$ )#% & ' & * & $ " # $* $" # $% & ' + ( # #" # $% & ' # ! & + " + * & $ $ ! &! # * ' *8 %*9 # & %)

 因 为 *#)% $ * %  槡 所 以 )% ' " # $*#" # $& #3 4 ")# ! * +

第题 图

由 正 弦 定 理 可 得
& ' *#)%  * *

% +0 " " # $* + $# # #+ *! " # $) + +

槡 槡 槡 槡

二 三



得 得



3 4 "*#3 4 " )%

在 中 由 余 弦 定 理 的 推 论 得 在 中 由 正 弦 定 理 得

由 所 以

+  #-" # $)#- ! * + )%*%'#$ '#- & )%*' ! " " # $'#" # $! ) %*' #" # $& ) %*' # - &

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" # $) 3 4 "*%3 4 ") " # $*# % ! 槡 # ! + +

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因 此 面 积 * '的 %)

解依 题 意

为 正 三 角 形

! ! ! +* 4# " $ " # $'# .+0+ *0 # ! * * * +





第 二 章 !数 !列
 ! ! 数 ! 列

自 学 导 引 序 一 个 数 整 数 '次 & '每 & '正 !!& ! ! * ! + !
& ' ( C$ C' ! D& ' *!& !

第 时 列 的 概 念 !课 !数

! $ & ' 正 整 数 集 或 它 的 子 集 相 应 曲 线 或 直 线 上 1 ! " 变 式 练 习 + 横 坐 标 为 正 整 数 ! C C% ! , ! ! & '证 # ' 明 ! "# C # # # ! , ! ! # D& & '通 项 公 式 * ! C% ! C% ! C% ! '有 $ % 穷 数 列 无 穷 数 列 增 数 列 递 减 & & ' +!& ! ! *'递 !& C%! C #" *' 解 - " # & ' C % ! % ! C %! % 数 列 常 数 数 列 ! & '(& ' & '%! " C%! C %! C (! C%! 要 点 突 破 # & ' (! & '%! " C %! C%!
* *

教 材 导 学

!

" 变 式 练 习 !

& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

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C

* C 2& C & ' ' ! ( " ! & -! ! C# & ' & ' * C%! * C-! 5 ! " *

变 式 练 习
C

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*

*

*

*

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C

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*

*

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*

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*

* C%! $ # &* * ' ! & ' " C %! C%! %!

6 !

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由 得 即 C( $ " -" $&$ " 是 递 增 数 列 ) , " !
0

C%!

C

C%!

$" C$

' 所 以 数 列 ! " #& "" & (!&
C C

C-!

' %& " " %-%& " C-! C-* ' *-

基 础 达 标

" % " !' !! " C C-! * & ' (" (-(" ( * " " C# !! " " " C-! C-* !

解 析

要 点 突 破
!

" 变 式 练 习 ! 解 因 为 其 图 象 的 对 称 轴 为 # 析 -槡 +! " #&$ " # -槡 +$ " #槡 +$ " #&$ "# !解 -$ ) 数 列 周 期 为 所 以 数 列 是 单 调 递 增 数 列由 得 -槡 +$ " #槡 +$ ", +$ " #" #-槡 +! 当 & ' 即 时 ! " 变 式 练 习 * 数 列 也 是 单 调 递 增 的 # $ 解 由 当 当 4 #* C %C%+$ C#! 时 " #4 #%% C 故的 取 值 范 围 为 $ " #4 -4 #( C-!! '* 时 & ' $ % C#! 所 以 " #) 拓 展 训 练 & ' ( C-! C'* !
! * + ( ) %

故 选

教 材 导 学

C

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*

*

C

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C

C

C-!

C

知 能 提 升

基 础 达 标
!

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C%!



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C

故 数 列 的 各 项 都 在 区 间 内

数 学 探 究
所 以 因 为 所 以 而 所 以

又 即 在 区 间 &

知 能 提 升

有 且 只 有 一 项 '内

!. 1. /. !*. +!;! ! % @ $ + 解 析 # " #" % @ $*$ " #" % @ $ $ " #" *
* ! + * ( +

解 析 因 为

($ C-!$ -$ " @ $ " C-! #" C-* % C #" C-! % C-* +

C $ + ( @ $ " " @ $*-@ $ %@ $ %-% C# !% C-! * + C-! C + ( @ $ %@ $ #" @ $& *0 . . - . !% C-* C-! * + C-! C ' . # " @ $C#*@ $C! !% C-* C-!
! ! ! (! % ! * C%! * C%* C%! + * + )! C - C%*! * *



自 学 导 引 首 项 任 一 项 递 推 及 相 邻 项 之 间

第课 时数 列 的 递 推 公 式选 学

均 正 确

%! # " " F G C%! # C%

)

$ 解 在 中 令 得 C#!$ " #F "% G$ 即 !' F% G#+! $ 令 得 C#* " #F "% G#+ F% G! 令 得 $ $ C#+ " #F "% G
* ! + ( * +

5 !

& & & & & & & # ! & &! " " " " " 4 4 ! & &! & 6% 5% ! &% ! !% ! *# ! *2# & ! ! 等差数列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

数 学 探 究
解 析

即 + #! )! !( F& F% G' $ F#* F#-+$ 联 立 或 '( 得 ) G#!$ ) G#%!

所 以 由 等 差 数 列 通 项 公 式 可 得 " #*,+& C-!' # -+ C%) 或 " # -(-+& CC C

故 " #-+ C%) 或 " #+ C-2! 拓 展 训 练
C C

' ! #+ C-2$

知 能 提 升
" H ! #*

自 学 导 引 一 般 地 如 果 一 个 数 列 从 第项 起每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 都 等 于 同 一 个 常 数 那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 差 数 列 为 常 数 等 差 中 项 要 点 突 破

第课 时等 差 数 列

!! <.
" " ! C, /. * *! ! &)
&

* $ 为 递 减 数 列 ( #* * 故 选 ( " H#&$ /! #!:* $
" " ! C%! " " ! C
!

" " " " ! C%!! C

+! <. /! ! +! !(. !)! 2 %! ! ! * 5,* 2 $ # 解 析 设 公 差 为 则 所 以 H$ H# # + ),! ( 2 ! *
C C-!

"#* H# 2! #

教 材 导 学
变 式 练 习

变 式 练 习 解 设 数 列 首 项 为 公 差 为 由 题 意 得 解 得 ) 所 以 故 变 式 练 习 解 因 为 槡 槡 所 以 槡 槡 即槡 槡

$ $ 解 由 题 意 得 当 C'* 时 " -槡 " #槡 +$ 槡 ) $ 所 以 数 列 是 以 首 项 以 公 ", " #槡 +为 +为 槡 槡 槡 差 的 等 差 数 列 ! ' 故 所 以 " #槡 +- & C-! +: + C! " #+ C! 槡槡 槡 ! ! '证 # 明 6!& ! & $ $# " -* " -*
C
! *

C

C

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C

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C

#

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" ! ! ! C # & ' ( " * * " * " * C C C(, -* " C

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!

" * ! C# & # $ ' * *" * C
! ! 又 & $# # $ " -* * !$ !的 ) 列 是 首 项 为 公 差 为 等 差 数 列 (数 $, ! * * ! ! ! 知 & '由 & ' ' * ! $ # %& C-! . # C$ * * *
!

基 础 达 标

槡 槡槡 槡 因 为 以 槡 槡 所 槡 槡 * ! $ ! 所 以 数 列槡是 等 差 数 列 & $# ( " # %*: %*! " -* $ C 数 列 公 差 所 以 槡 由得 槡的 槡 数 学 探 究 故 槡 # -和 -分 ) 解 等 差 数 列 别 设 为 )$ 6$ ! !$ +$ 2$ ! !$ ",
C C C C C

C

解 析

解 设 等 差 数 列 的 公 差 为则 由 题 意 得 ) 解 得 )

或 )

) $ 和 $, 令 " #$ & E$ C(  且 !+ E +! & &$ !+C+ ( ' $ 即 所 以 ! & & + C%*:( E-!$ C# E-!! + $ $ 又 由 知 应 为 的 倍 数 设 E C( E + E #+ ?& ? $ 则 C#( ? -!! ( ' !+( ? -!+! & &$ 由 题 意 得 ) $ !++ ? & & +! ! ! & ! 解 得 ? ! + + * ( 又 故 ? !+ ? )且 ? ( $ +* ( ! 所 以 两 个 数 列 共 有 共 同 的 项 * )个 !
C C E
0 0 0 0 0

C

! & !

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

自 学 导 引 等 差 等 差 要 点 突 破

第 时 差 数 列   *课 * !等

"-H% "% "%H#* !$ 则 )& "-H'% " %& "%H'#! ) )$
* * *

教 材 导 学
变 式 练 习

"#2$ "#2$ 解 得 或 ) H#* ) H#-*$ 三 个 数 分 别 为 (这 )$ 2$ 5或 5$ 2$ )! 拓 展 训 练

知 能 提 升
* )

变 式 练 习 解 法 一 设 这 四 个 数 分 别 为 公 差 为 依 题 意 且

!. 1. <. <. ( *. !*.;. !+. !(. !). !%.,%. # $ " " " " " " ! 2! 2! *% )# +% ( *% )#
* * )



解 因 为 所 以 又 故 方 程 "( " #) *$ "$ " 是 2 -! 2 2%) *:& $ 的 两 根 解 得 所 以 公 差 " #($ " #! +或 " #! +$ " #($ H
* ) * )

或 又 四 个 数 构 成 递 增 的 等 差 数 列 所 以 故 所 求 的 四 个 数 分 别 为 解 法 二若 设 这 四 个 数 分 别 为 公 差 为 依 题 意 且 得 & '& ' 即 化 简 得 所 以 或 又 四 个 数 构 成 递 增 的 等 差 数 列所 以

#:+! 6! # + H$

数 学 探 究
!

解 设 这 四 个 数 依 次 为 "-+ H$ "-H$ "%H$ "% 由 题 设 知 & "-+ H' %& "-H' %& "%H' %& "%+ H' #* %$ 解 )& & "-H' "%H' #( &$ ! + + 得 "# $ H#: ! * * 所 以 这 四 个 数 分 别 为 *$ )$ 6$ ! !或 ! !$ 6$ )$ *!
! * + ( ! ( * +

所 以

基 础 达 标

故 所 求 的 四 个 数 分 别 为 变 式 练 习 ! ) 解 析 由 题 可 知 每 一 高 度 处 的 温 度 构 成 等 差 数 & 2 (2 ' #! * ) % 项 公 差 列 首   第 时 差 数 列 的 前 和 +课 C项 ! !等 由 得 自 学 导 引 解 得 !! 4 ! 所 以 山 的 相 对 高 度 是 米 & ' & '
* + ( ! * + * &

# 解 设 四 个 根 组 成 的 等 差 数 列 为 根 据 2$ 2$ 2$ 2$ $ $ 等 差 数 列 的 性 质 有 所 以 2 %2 #2 %2 #! ! 所 ! 又 以 * 2 %+ H#!! H# $ 2 #- ! * ( ! + ) 故 所 以 2# $ 2# $ 2# $ E C# & 2 (2 ' ( ( (
! (

解 析 解 法 一 设 等 差 数 列 的 公 差 为 则 解 之 得 故 ) 解 法 二 由 等 差 数 列 的 性 质 知 解 析 设 故

C" " C C-! !% C $ *! C " H! !% * * $ +! !

最 大 值 最 小 值

(! I#&!

要 点 突 破

教 材 导 学
+

!

故 选

则 为 等 差 数 列又 " #!! "" 则 故 ' 公 差 所 以 H# #+$ "# " %& 6,+ H#! %! %,+ 从 而 "% "
% + 6 +

" 变 式 练 习 ! & ) "% "' # & '因 解 为 所 以 解 得 ! 4 #)$ #) " #)$ *
! ) ) +

4 6#

!

6

*

& ' .6:( " " #(0 & !-! & #( (! +% %'

解 设 这 三 个 数 分 别 为

& * & " " !% * &' & ' & * 4 #! & " " #% & &! * &# +% ! 6' *

! ! !

" 变 式 练 习 学 探 究 * & 数 & # # $ 解 析 方 法 一 因 为 所 以 首 项 <. " #* %,* C "# & 解 # $ $ 购 买 当 天 先 付 则 欠 款 按 要 求 ! ! ) &元 *& & &元 & $ 公 差 $ # 分 付 清 则 以 后 * ( H# "" #-*! ! &次 & & ' & ' 第 一 次 应 付 C C-! C C-! " #* & &-*& & &0&! & !:* * &% 所 以 4 #C "% H#* ( C% .& -*' & & * * 第 二 次 应 付 " #* & &- & *& & &,* & &' .&! & ! & !
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故 当 或 时 最 大 方 法 二设 前 项 和 最 大则 )

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第 三 次 应 付 " #* & &- & *& & &,*0* & &' .&! & !
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解 得 ) 故 当 或 时 最 大 变 式 练 习 解 析由 题 可 知 出 书 的 年 份 构 成 等 差 数 列 其 前项 和 公 差 项 数 设 首 项 为 由 解 得 则 出 齐 这 套 书 的 年 份 是 得

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所 以 实 际 共 付

自 学 导 引

第 时 差 数 列 的 前 和   (课 C项 * !等

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要 点 突 破
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教 材 导 学

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所 以

基 础 达 标

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数 学 探 究

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拓 展 训 练

知 能 提 升

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  第 时 比 数 列 !课 ! !等

要 点 突 破 所 以 教 材 导 学 ! " 变 式 练 习 ! 因 为 所 以 析 由 等 比 数 列 得 则 # &. "$ $$ +成 $ #" +$ $!解 因 为 成 等 差 数 列 故 没 有 交 点 ( " +# $ -( $ #-+ $ #&$ ! 所 以 变 式 练 习 ! " * 解 点 在 函 数 的 图 象 上 # 解 析 由 题 得 故 6! "# " #6! G#*$ & ' ! " 变 式 练 习 + 即 # & ' ) , $ # 解 数 列 不 是 等 比 数 列 理 由 如 下 ! " -!
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自 学 导 引

第 时 比 数 列   *课 * !等
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基 础 达 标

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教 材 导 学

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拓 展 训 练

知 能 提 升

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解 析 由 得 或 对 恒 成 立 ! 舍 去所 以 公 比 由 通 项 解 得 故 数 列 是 以为 公 比 的 等 比 数 列 ! 解设 该 等 比 数 列 的 公 比 为首 项 为 因 为 基 础 达 标 所 以 由 已 知 得 !. /. <. !*. # 解 析 +! )! & "( " #! %$ ( " #! %! ! ) , $ 又 等 比 数 列 的 各 项 都 是 正 数 & " ( " #(! $ 又 & " # "G #(0* #* ( @ 4 E" #)! 所 以 # # ) $ 解 法 一 设 这 个 等 比 数 列 为 其 公 比 为 (! ", G$ 因 为 6 * 2 6 则 "# $ "# # "G # ( G! + * + 所 以 由除 以得 6 ! 5 ( G# $ G# ! ! % ( 所 以 ( "( "( "# "G( "G ( "G # "( G 6 5 所 以 # & '. & '#% #* ! %! + ( &' # ) $ 法 二 设 这 个 等 比 数 列 为 公 比 为 ", G$ 若是 的 等 比 中 项则 应 有 6 * 2插 则 入 三 项 分 别 为 "# $ "# $ "$ "$ "! + * &' $ 由 题 意 成 等 比 数 列 "$ "$ " 也 所 以 的 等 比 中 项 是 6 * 2 ( " # . #+ %$ + * 数 学 探 究 故 " #%$ 解 即
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即 数 列 不 是 等 比 数 列

拓 展 训 练

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知 能 提 升

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C

) 解 假 设 存 在 这 样 的 数 列 ", !

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是 方 程

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成 等 差 数 列 即

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数 学 探 究


解 得 又

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不 存 在 这 样 的 等 比 数 列

当 时 而 适 合 上 式 由

* ! ! 又 "# $ ( -!: $ + " * ! !为 !为 $ 列 是 以 首 项 公 比 的 等 比 -!, (数 ) " * * 数 列 ! ! ! ! ! 即 ! ! & '解 # & ' 由 知 * ! -!: ( # $ # % " " * * * *
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C

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C

C

C

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假 设 存 在 常 数和 使 则 即 恒 成 立 故 存 在 常 数 使 得 对 任 意

! * + C 设 J # % % %-% $ !' * * * * ! ! * C-! C $ 则 J # % %-% % !( * * * * * '-(得 恒 成 立 由
C C
* +

C

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对 任 意

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C C C
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自 学 导 引

第课 时等 比 数 列 的 前项 和

恒 为 常 数

要 点 突 破

基 础 达 标

教 材 导 学

变 式 练 习 解 析易 知

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解 析 设 等 比 数 列 的 公 比 为 则 由 4 #( 4 G$
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+ ( " G #+! !

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& & & C & * + & C & C-! C 2 % C 2$ & & * + C-! C & $ !,2' 4 # !2 % 2 % 2 % % 2 C 2 C & C C & !,2 C 2 4 ! C# *& & !,2 !,2' & C C & 2 3 !,2 - C & ' $ 2,! * & & !,2 !,2' & ( #2 ' C& C%! & & ' 2#! ! & 4 * & & & & ! C & * ! . <. * . <. + . <. ( ! C% ! , ! ) !* !& ! ! ! ! * & * & ' %! # ! 2 -) 2%%:& *$ +$ & & $ " *" +! *# (# & ) " H$ " " * H$ H# & C, (*# & !$ + & " ! !# * * & & ! ) " " C%!! C, C# & * & & " " C C & *' C 4C ! & !' C # & C * * & C%*$ + ( - C%! C%*$ & 4 % C % C%! C# * % + % C%! & * * * * * & ! + ( - C%! C%* & 4 # % % % % ! C + ( C%! C%* * & * * * * & & & ! ! ! + C%* 4 % + % % C%! - C%* C# & * ( * * * & & ! + ! C%* !, C-! - C%* ! # % & ( ( * * & C%( & 4 *, C%! ! C# & * & & 0 & # & ' $ & ' $ & ' $ & ' ! C( )C *C 'C & $ $ & *& C' -)& C' #'& C' -*& C' & $ " " " " " " " C%! !# C%* * C%* C-! # *& & " # ( ! ! & ) " !$ ( !& C, & ' " !- & C-! .(:( C-+! C# & & ' ) $ * " & G C, 0 $ )& $& C(  $ " C' G! " C #" C-! C $& & & $ *& C' '& C' &$ & & '" " " " " " *& C *% +%-% C% ! G !% *%-% C' $ # # # G & ' " & )& C " " " " " !% *%-% C !% *%-% C & & ' ' " " % " " % " '& C G" +% (% C% * *% +% C% ! & # # ' " *& C " " " " " *% +%-% C% ! *% +%-% C% ! &

解 记 ! $ ' % 当 2#! 时 4 #!-*-+- - C# C& C%! * 当 $ ( 2,! 时 2 4 #2%* 2 %+ 2 %-%& C-!'

$ # G *& C' '& C' $ # &' #G & ' )C *C '& C' G



所 以 三 个 数 $ $ )& C' *& C' 组 成 公 比 为的 等 比 数 列 ! $ ) , $ 综 上 所 述 若 数 列 是 公 比 为 等 比 数 列 " G的 则 对 任 意 三 个 数 组 成 $ $ C( $ )& C' *& C' '& C' 公 比 为 等 比 数 列 ! G的
C
0

原 式

自 学 导 引

第 时 比 数 列 的 前 和   (课 C项 * !等

拓 展 训 练

知 能 提 升

C " G#!$ !$ 3 C !! 4 # C 2 " !, " G' " G$ !& !C # G,!! !, G G 4 !, , ' $ & ' *!& ! * G! G!

解 方 程 的 两 根 为 由 题 意 得 设 数 列 的 公 差 为则 故 从 而 所 以 的 通 项 公 式 为 设 前项 和 为 由 知 ) ,的 则 两 式 相 减 得

&'

等 比 要 点 突 破

" 变 式 练 习 ! $ # -$ 析 由 等 比 ! "% " $ " % " $ " % " 成 !解 " $ $ 得 数 列 " % " # ! " ! " 变 式 练 习 * ( ! * 解 # 解 得 " #4 # " - .* % $ " #*! + + + !
5 6 5 ! & 5 ! 5 * & 5 5 ! & & 5 5 ! & & 6 * ! ! ! !

教 材 导 学

( ( ! &C%* C%! ' " 4 4 " " * -* * C%! # C%! C# C%! C+ + + C%! C & ' $ " * #( " * C%! % C% ) $ 所 以 数 列 是 公 比 为 等 比 数 列 " %* , (的 " %*
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C C C

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所 以

基 础 达 标
解 析由 等 比 数 列 的 性 质 得 即 解 得 故 选 % +! <! 解

数 学 探 究

解 对 任 意 三 个 数 等 差 数 列 所 以 即 亦 即



* # & *! <. 4 4 4 ! (*'# * * (& ' $ & ' $ 4 4 ! * # +0 4 ! ) 4 # % ( % %

故 数 列 是 首 项 为公 差 为的 等 差 数 列 于 是 若 数 列 是 公 比 为的 等 比 数 列则 对 任 意 有 由 知 均 大 于于 是

+! ! !! % (! !(! C C $ )! # & " " $ C( " @ "$ E C# C#
* + C ' (4 "%* " %+ " %-% C " @ "$ ! ' E C#& * + ( C%! " 4 " %* " %+ " %-% C " ' @ "! !( E C#&

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拓 展 训 练

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知 能 提 升

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解 析 由 题 意 可 知



数 学 探 究

时 不 符 合 题 意所 以 得

解 由 又

即 当 时应 有 化 简 得 舍 去 可 得

# & 解 为 !' 因 !'# " % " % - % " # 4 D&
! *

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C

' C& C%! $ # * ' & ' C& C%! C-! C 所 以 " #4 -4 # # C! * * 当 立 $ C#! 时 " #!$ 4 #! 成 ! $ 所 以 时 C( "# C! 由 知 & ' & ' & ' * ! D 2 #2%* 2 %-% C 2$ ! ! ! ! 所 以 # %*0 %+0 % - %C. D& ' * * * *
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*

C

两 式 相 减 得

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故 是 首 项 为公 比 为的 等 比 数 列 设 的 公 差 为由 即 可 得 故 可 设 又 由 题 意 可 得 解 得 等 差 数 列 的 各 项 为 正

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章 末 达 标 测 试
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所 以

第 三 章 等 式 !不
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自 学 导 引

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或 或 有 且 仅 有 一 种 关 系 要 点 突 破

教 材 导 学
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基 础 达 标

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知 能 提 升
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自 学 导 引
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变 式 练 习

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基 础 达 标
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知 能 提 升

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证 明

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数 学 探 究

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自 学 导 引 要 点 突 破

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教 材 导 学



 变 式 练 习 !

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点 突 破 & 要 $ # 析 ( ! &! )#$#+ %* & !解 &! + ' 材 导 学 & 教

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基 础 达 标
证 明

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由 题 意 若 则 若 若

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数 学 探 究

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% 且 仅 当 等 号 成 立 $# +时 槡 当 % 当 且 仅 当 等 号 成 立 "% +'* 槡 " +$&$ "# +时 当 且 仅 当 等 号 成 立 "% $'* 槡 " $$&$ "# $时 !

解 析 依 题 意 有 故

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知 能 提 升

自 学 导 引

第课 时均 值 不 等 式
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且 仅 当 证 明

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不 全 相 等 不 成 立

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数 学 探 究
解 析

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当 且 仅 当 时 等 号 成 立 如 取槡 槡 槡 满 足 条 件

自 学 导 引

第课 时均 值 不 等 式

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知 能 提 升







定 要 点 突 破

教 材 导 学
变 式 练 习

基 础 达 标

解 析

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当 且 仅 当 槡 即

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当 且 仅 当



数 学 探 究

亦 即 时 上 式 等 号 成 立 最 小 值 为 ( " $的 + %!
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当 且 仅 当 槡时 当 时 令 槡 槡则 有

由 函 数 的 单 调 性 可 知 当槡 时 时 槡此 综 上 若 则 槡时 若 则 时 槡 解 为 算 术 平 均 数 槡 为 几 何 平 均 数 为 平 方 平 均 数



当 且 仅 当 等 号 成 立 * ) "#( & $时 ! ) 代  此 时 入 得 从 而 $ # " "# ! * & $ # 2 ) ! '式 6  即 当 得 最 小 " #! * & $#2 ) 时 4 取 值 * () & &! 故 广 告 的 高 为 宽 为 可 使  ! ( &3 > ! 2 )3 >时 广 告 的 面 积 最 小 ! 解 法 设 广 告 的 高 和 宽 分 别 为 则 每 栏 * 23 > > @3 ) @-* 其 中 的 高 和 宽 分 别 为 2-* & 2$* & *
)! @$* ) @-* 两 栏 面 积 之 和 为 * 2-* & #! 6& & & * ! 6& & & 由 此 得 %* ) @# 2-* & ! 6& & & 广 告 的 面 积 %* ) 4 #2 # @ #2  2-* & ! 6& & & 2 %* ) 2 2-* & + % && & &   整 理 得 4# %* ) 2-* & %! 6) & &! 2-* & 因为2 - *  所以4 ' & $ & *

* !& & & " $#* () & &





槡槡
解 法 一



由 均 值 不 等 式 得 槡即 槡 故

当 且 仅 当  即 成 立 的 最 小 值 为 解 法 二 由 得

时上 式 等 号

代 入 得









时 等 号 成 立 ! 此 时 有 解 得 2# ! 6& & & 代 入 得 ! ( & %* ) 2 ) @# @#! 2-* & 即 当 得 最 小  2 #! ( & 2 )时 4 取 @ #! 值 * () & &!  故 当 广 告 的 高 为 宽 为 可 ! ( &3 > ! 2 )3 >时 使 广 告 的 面 积 最 小 !
+ % && & &   #* ) 2-* & 2-* & *      2-* & #! (( & & 2$* &

槡 当 且 仅 当

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! ! 一元二次不等式及其解法

自 学 导 引

第 时 元 二 次 不 等 式 的 解 法   !课 ! !一

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要 点 突 破
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" 变 式 练 习 ! # & '因 '-(0!0 & ' 解 为 ! -! -! * #( 5$&$ # & 解 方 程 得 则 原 不 等 2 -2-! *:&$ 2 #-+$ 2 #($ & ' & ' 式 化 为 2%+ 2-( $&! ) , 故 原 不 等 式 的 解 集 为 2 2# -+ 或 2$( ! ) & ' & ' $ 因 为 * 5$& #) -(0!0 -% #( 方 程 的 解 是 2 %) 2-%:& 2 #-%$ 2 #!! ) , 故 原 不 等 式 的 解 集 为 2 )-%#2#! ! ! " 变 式 练 习 * # 解 关 于 不 等 式 解 集 & 2的 2 -E 2 %C +& 的 ! " $ 是 -)$ ! $ 关 于 方 程 解 (-)$ !是 2的 2 -E 2% C#& 的
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教 材 导 学

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拓 展 训 练
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知 能 提 升

# & ' & ' 解 析 所 给 不 等 式 即 2%* 2-! #&$

& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

(-*#2#!! # *! <! ! $ ( "$&$ +&!

解 析 只 能 是 开 口 朝 上 最 多 与 有 一 个 $ 2轴 交 点 ! ! 析 # +! /! &&# ? ( $!$ ( ? !解 #!$ # $ ? ?

& ' ! 2? ! #2# , 9) ? ! # 析 可 " "+ - , (!) ! ! ) !解 +& 即 * (
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! 解 方 程 两 根 为 " 2 %$ 2%*:& 的 , * 和 *$

由 根 与 系 数 的 关 系 得

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自 学 导 引

第 时 元 二 次 不 等 式 的 解 法   *课 * !一
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要 点 突 破

教 材 导 学

*! <! !

变 式 练 习 解 原 不 等 式 等 价 于

# ' 解 析 由 由 2& 2%* 2$& 或 2# -*$ $& 得 所 以 不 等 式 组 的 解 集 为 2 ,!#2#!$ ) )#! 得 ) , 2 &#2#! ! )



基 础 达 标

得 ) , 原 不 等 式 可 化 为 即 故 解 集 为 或 变 式 练 习 解 由 题 目 条 件 知 不 等 式 为 不 符 合 题 意 当 时 当 时 不 符 合 题 意 当 时 解 得 综 上 所 述的 取 值 范 围 是 ) , 变 式 练 习 解 方 程 的 两 根 分 别 为 故 当 时 不 等 式 解 集 为 ) , 当 时 不 等 式 解 集 为 当 时 不 等 式 解 集 为 ) , 解 析 由 以 解 集 为 解 析由 得 得

2! $ 2! # $ 解 析 不 等 式 &即 & $ $ & ' & ' 2% * 2* 2( & ' 不 等 式 的 解 集 为 (原 -*$ ! *$%A ' ! 1& 析 等 价 于 # (!:*! !解 #&! 构 造 函 数 即 # $ )!解 E' #& 2 -!' E- & * 2-!' D& ! " 在 上 恒 为 负 值 E' -*$ * ! D& ' 2 -* 2%+#&$ -* #&$ 3-* D& 3 故 需 要 即 2 2 & ' &$ * * 2 -* 2-! &$
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& ' & ' 解 原 不 等 式 可 化 为 " 2-! 2-* #&! & '当 $ ' 有 即 ! "#& 时 -& 2-* 2$*! #&$ & $& *' 当 " $& 时 " 2 - !'& 2 - *'# & 9 ! & ' 2- ' 2-* #&! & "

2,! +-! 槡 槡 ! #2# * *

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$ % 即 时 无 解

! $ 即 时 #2#*! "

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! & ! ' 2- ' 2-* & "#&$ ( #&$ $&! & " " ( ! ! (2# #*$ " "
*

或 2$*!



数 学 探 究

# $ 解 即 原 不 等 式 的 解 集 " -!,&$ ", :! 时 ' 当 为 条 件 是 的
* " -!#&$ 3 2 * * ' & ' "-! %( " -! # & #&$ 4

其 解 集 为 ! ' 解 析原 不 等 式 可 写 为 由 指 数 函 数 的 单 调 性 知 即 解 之 得 解 的 定 义 域 为则 立 即 解 之 得 拓 展 训 练

恒 成

知 能 提 升

+ $ 解 之 得 - # "#!! ) $ 即 " -!:&$ "#:! 时 ( 当 若 则 原 不 等 式 为 恒 成 立 % "#!$ -!#&$ ! 若 则 原 不 等 式 为 即 "#-!$ * 2-!#&$ 2# $ * 不 符 合 题 目 要 求 舍 去 $ ! + 综 上 所 述 当 原 不 等 式 的 解 集 为 $ $ - # "+! 时 ) 全 体 实 数 !
*

* ( !

& & & & $ *! ! & & +! ! & & & & & ! " ! & # + $& 2= > B$ & & ! ! * $ 2% 2 $+ 5! ) & * & ! 6 & & * $ 2 %5 2-2! ! &$&$ & $&$ & * $ 2 2 %5 2-2! ! &:& 6 6! 5 ($ & !/ ) 2 2 5! 5 ($ 2 2$2 5! 5 ( 2# & ) */ & , -6 6! 5 ( ! & & $ $ 2$& & & + 2 5! 5 (= > B! & ! " * & & # 2 ! & * * & $ -* $ 2 2 %* * & 2$%& & &$ & -! ! & 2%+& & &#&! & & * & &$&$ 2 -! ! & 2%+& & &:& #! & & 2 ) &$ 2 % &! !# *# & * $ ! & 2%+& & & & @#2 -! & ) , 2 ) &#2#% & ! ) & & $ 2 & & ) ! ) 5 & $ %& & & ! & & ! " + & & - -* ' & ! & &-& ! ) 2 % *-(-%2 # & ' ! @# & 2 & ! & & & & ' %!! ) 2$& ! @#2% & 2 & & ' * & & ! & & ! & & & ' $& %!! )'* 2( %!! ):* !! ) @#2% 2 2 & & ! & &$ & 2# 2#! & ! 2 & & # ! & ! & & & !! <! & & # *! * &! ( & & $ & ! & ( & & 2 $ ! & 2 & + $ & ( ( 2 & ( & &( & $ ( 2 &

自 学 导 引 未 知 数 不 等 式 实 际 意 义 要 点 突 破

 ! ! 不等式的实际应用

2 -(

万 元 !

!% & & 当 即 #( 2$ 2#* & 2 $ 吨 时 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 最 小 ! ( & &( (-( 2'! % &$ ( & 2

教 材 导 学

"%E " +! $ ! $%E $
(! #

变 式 练 习 解 设 这 辆 汽 车 刹 车 前 的 车 速 为 根 据 题 意 得 移 项 整 理得 显 然 方 程 有 两 个 实 数 根 即 得 不 等 式 的 解 集 为 或

解 假 设 一 次 上 网 时 则 公 司 取 的 费 用 $ 2小 )收 2& + ),2' $ 公 司 取 的 费 用 为 元 为 !! ) 2元 *收 ! * & $则 若 能 够 保 证 选 择 选 择 用 少 ) 比 * 费
*

在 这 个 实 际 问 题 中 车 速 至 少 为 变 式 练 习 解 设 在 一 个 星 期 内 大 约 生 产辆 摩 托 车 根 据 题 意 得 移 项 整 理得

整 理 得 解 得 2 -) 2#&$ &#2#)! $ 所 以 当 一 次 上 网 时 间 在 时 以 内 时 选 择 公 司 )小 % $ 费 用 少 超 过 时 选 择 公 司 费 用 少 )的 )小 *的 ! 展 训 练 所 以 这 辆 汽 车 刹 车 前 的 拓

2& + ),2' ' ) 2& &#2#! 2 ! $!! * &

知 能 提 升

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# $ $ 解 析 设 使 用 年 平 均 费 用 为 元 2年 @万

! &-&! 5 2% & &! *-&! * 2' 2O* 则 @# 2 ! &-2%&! ! 2 2 ! & 当 且 仅 当 # #!- % '+$ 2# 2 ! & 2 因 为 所 以 方 程 有 等 号 成 立 ! &时 ! 两 个 实 数 根 # & & 析 依 题 意 知 !-F' !#& !-2'$ !解 G' 由 函 数 的 图 象 得 不 等 式 的 解 *!1! & ' ! %& ! F' G & & ' 集 为 ( 2#槡 ! ! ! ! + F' G * 因 为只 能 取 整 数 所 以 当 这 条 摩 托 车 整 车 装 配 流 % G$ 故 确 1正 ! 水 线 在 一 周 内 生 产 的 摩 托 车 数 量 在辆 到辆 之 #F* 这 家 工 厂 能 够 获 得 元 以 上 的 收 益 间 时 * & 析 由 已 知 仓 库 到 # +! )! 6 2& 2为 !解 @# $ @ #&! 2 变 式 练 习 * & ' $ 车 站 的 距 离 费 用 之 和 6 2% @#@ %@ #&! 解 2
* * ! * ! *

即 由 均 值 不 等 式 得

* & 6 2( #6$ '* &! 2 ) . #/ ! * (! 6+2#6 ! ! +

基 础 达 标

当 且 仅 当 答 该 企 业年 后 需 要 重 新 更 换 新 设 备

槡 即 时 取 等 号

槡 时 成 立

* & 即 当 且 仅 当 &! 6 2# $ 2# 2

万 元

# $ 解 析 付 款 肯 定 超 出 了 ! %元 +千 $ $ 米 设 行 程 米 则 应 该 付 款 2千 6-!! )& 2-+' ! $ & ' $ 舍 五 入 解 得 &四 ( ! ) ! ) 6 ! ! ) 2+ ! % ! ) 6 + # * 2# 6 ! + +

解 析 该 公 司 一 年 购 买 某 种 货 物 吨 每 次 都 购 买吨 则 需 要 购 买次 运 费 为万 元 次一 年 的 总 存 储 费 用 为 万 则 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 元

& ' )! # !

解 依 题 意 $ 又 售 价 不 能 低 于 成 本 价 $ 2 所 以 ! & && !, ' -6 &'&$ ! & & $ 所 以 定 义 域 为 2' #* && ! &,2' ) &-6 2' @#D&

2 ( 6 & & !, ! & & !- 2 ! @#! ! & ) &

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

! " &$ * !

由 题 意 得 化 简 得 解 得 所 以的 取 值 范 围 是 ! " 解 设 利 用 旧 墙 的 一 面 矩 形 边 长 为则 矩 形 的 另 一 边 长 度 为 方 案 利 用 旧 墙 的 一 段 为 矩 形 厂 房 的 一 个 边 长 则 修 旧 墙 的 费 用 为 用 剩 余 的 旧 墙 拆 得 的 材 料 建 新 墙 的 费 用 为 其 余 的 建 新 墙 费 用 为 & ' 总 费 用 为

# $ 答 该 厂 家 的 促 销 费 用 投 入 元 时 厂 * & ! +年 +万 最 大 为 元 家 的 利 润 最 大 $ * !万 !

 !  ! 二元一次不等式  组  与 简单的线性规划问题   第 时 元 一 次 不 等 式 组 !课 !二 所 表 示 的 平 面 区 域   !

自 学 导 引 & ' 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 !!二 ! % 有 序 实 数 对 有 序 实 数 对 *! ! 半 平 面 +!闭 ! $ / 直 线 定 界 特 殊 点 定 域 (!. ! 要 点 突 破

教 材 导 学

!

" 变 式 练 习 ! ' * !!!! &

& ' !

当 且 仅 当 时 等 号 成 立 且 此 时 方 案 利 用 旧 墙 的 矩 形 广 房 的 一 个 边 长 为 则 修 旧 墙 的 费 用 为 建 新 墙 的 变 式 图 & ' 变 式 图 & ' ! ! ! * ! " 变 式 练 习 * 费 用 为 & ' 总 费 用 为 & ' 其 中 在 槡时 为 增 函 数又 最 小 值 在 处 取 得 此 时 变 式 *图 综 上 所 述 使 用 方 案 建 墙 费 用 最 低 数 学 探 究 ! " 变 式 练 习 + 解 由 题 意 可 知 当 时 2@%*'&$ 3 2%* @-!'&$ 2 即 4 * 2% @-)+&! 每 件 产 品 的 销 售 价 格 为 元 基 础 达 标 析 取 测 试 点 因 为 知 # & !. /. !$ &' ! !,*0&$&$ !解 年 的 利 润 ! " 在 区 域 内 排 除 由 边 界 线 & ' $ !$ & ;* <! 2-* @#& !$ 的 斜 率 为 排 除 故 选 1! /! & ' *
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' *!& ,G $ ,2 * ($ -G ' . 1& +! #

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当 且 仅 当





% 解 不 等 式 示 直 线 侧 点 的 集 合 2#+ 表 2#+ 左 不 等 式 即 表 示 直 线 * 2-* 2-* @'2$ @+&$ @#& 上 及 左 上 方 点 的 集 合 % 不 等 式 即 表 示 直 线 + 2%* + 2%* @'%$ @-%'&$ % 及 右 上 方 点 的 集 合 + 2%* @-%:& 上

* % !

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

不 等 式 即 表 示 直 线 学 探 究 + 2-+ 2 & 数 @#2%5$ @%5$&$ & 下 方 点 的 集 合 -+ ! &+2+*$ @%5:& 右 & 解 表 示 的 平 面 区 域 如 图 正 方 形 所 示 而 # $ ) & 综 上 可 得 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 如 图 所 示 &+ @+* & 动 点 以 存 在 的 位 置 为 正 方 形 面 积 减 去 四 分 1可 的 阴 影 部 分 & ! 因 此 $ 之 一 圆 的 面 积 部 分
(, # ! ( ! * *0*, (* ( =# *0*

第题 图

拓 展 训 练

知 能 提 升

自 学 导 引 $ $ . / $ 画 线 定 侧 求 交 表 示 !! ! 解 析 点 不 满 足 故 不 *!横 坐 标 和 纵 坐 标 都 是 整 数 ! 点 不 满 足 故不 正 要 正 确 点 突 破 确 点 不 满 足 故不 正 确 教 材 导 学 故 选 ! " 变 式 练 习 ! # 解 根 据 条 件 先 作 出 2%@-! 与 所 表 示 的 平 面 '& 2-!+& $ 区 域 然 后 再 去 处 理 含 参 数 的 解点 在 直 线 元 一 次 不 等 式 的 同 侧 即 二 " 2! & ! ' @% 即 则 $ " 22%! @%!:& @#" 变 式 !图 ' 直 线 恒 过 点 )& &$ ! ! 假 设 表 示 的 直 线 为 与 于 " 2%! 所 P$ 2#! 交 '$ @# 如 图 所 示 过 垂 线 交 由 面 积 为 )作 * '的 * '于 1$ * '的 %) 可 求 得 直 线 的 方 则 所 以 ' *$ * '#($ '& !$ ( ! 程 分 别 为 $ 因 为 于 是 由 得 '在 P上 (: "%!$ "#+! ! " 变 式 练 习 * 由 于 区 域 在 直 线 右 # $ $ 解 如 图 所 示 联 立 方 程 组 得 交 点 坐 标 分 别 为 上 方 ' $ ' $ ' $ $ 显 然 等 腰 )& -+$ + *& +$ -+ '& +$ 5 * '为 %) 第题 图 且 $ $ 直 角 三 角 形 & ' ) *#) '! ")#5 在 直 线 右 下 方 在 直 线 左 下 方 区 域 可 表 示

第 时 元 一 次 不 等 式 组   *课 !二   所 表 示 的 平 面 区 域 *

探 究 图



变 式 *图
* 2 !

& & & & & & $ 2% @'& 2 & & $ 4 2++ & + %! & & & # $ ) & !. <. ! & & ' $ $ +$ % & & ! & 4# .+0%:5! * & & & & & & & & & ! & & ( *! E+ ! & + & +! # ! & & & & & & & & & & & + & & $ & $& -*$ -*' -!$ -!' & & $ ' $ & $ ' $ & $ ' $ & $ ' $ & $ ' $ & $ ' $ & $ ' $ & & & & ! ! ! ! & * * * ! * & 2#-*$ 2#-!$ & & @#-*$ @#-!$ & & 2#&$ 2#&$ 2#!$ 2#!$ 2#*$ & @#&$ @#-!$ @#!$ @#&$ @#*$ & & 2#*$2#*$ & & $ # ! # & ! @ @ & & $ (! # & * ' ! %) & & & & & & & & & & & & & ( & &
! * ! ! * ! * # $ (4%)*' # . . #+ %! * * * * 2@%%'&$ 3

+0!-+0!-% 2) )& @%(:&$ $ 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ) * ) )# 由 可 得 同 理 可 得 ' $ )& !$ ) *& -*$ & ) * 槡 2#!$



槡槡

故 不 等 式 组

积 等 于

故 以 4 所 表 示 的 平 面 区 域 的 面 所 拓 展 训 练
!. 1. !

' $ ' $ * '& !$ -! ) '#%$ * ' %)
* ' %)

中 上 的 高 ) '边 Q#+$

#

!( ) '( Q#5! *

基 础 达 标

知 能 提 升

解 析 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图点 的 坐 标 为 其 平 面 区 域 是 直 角 三 角 形 所 以 其 面 积 为

解 析 画 出 不 等 式 组 # $ 表 示 的 平 面 区 域 如 图 易 知 * 2-@%!:& 与 2关 于 * @-!:& @#2 对 图 !题 $ 称 与 成 角 相 第 2% @#! 所 $ 等 故 不 等 式 组 表 示 平 面 区 域 为 等 腰 三 角 形 及 其 内 部 ! 解 析 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 如 图 所 示 2%+ @-*:&$ 2#6$ 的 阴 影 部 分 由 得 ! )& &$ ) 2%* @-(:& ) @#-*!

*.;. %. !+. # (! (! !

第题 图

解 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示

' $ ' $ ' * *& *$ & '& 6$ -* !

在 阴 影 部 分 内 的 整 点 为

第题 图

即 不 等 式 组 的 整 数 解 为 )

解如 图 所 示不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 边 界 及 内 部 的 部 分

) ) ) )

)

) ) )

& $ 直 线 的 交 点 坐 标 为 2% * ( : &与 2轴 1的 ( @! ! ' 因 此 & ! 4 # 4 % 4 # .*0*- . * * 故 答 案 为 *0*:(! (! # $ 设 甲 种 设 备 需 生 产 乙 种 设 备 需 生 产 )!解 2天 @ $ * 天 甲 乙 两 种 设 备 生 产 类 产 品 的 情 况 如 )$ *两 # 下 表 所 示
* ' %) * 1 %) ' 1 %*

第 图 (题

)

类 产 品
) 2 % @ ) &

*

类 产 品
! & 2 * & @ ! ( &

甲 设 备 生 产 2天 乙 设 备 生 产 @天 限 额

则 满 足 的 条 件 为 解 或

) 2%% &$ @') 3 2%* ($ @'! 2 & 4 2'&$ 2$ ! @'& @('

第题 图

%! # 2-! ) )-) )+* @-! 2'!$ 2'!$ 2+!$ 3 3 3 @'!$ @+!$ @'!$ 2 2 2

可 化 为



4 2% 2@+( 4 @+* 4-2% @+*

* 6 !



2+! 3 @+! 2
4 2% @'&

其 平 面 区 域 如 图 所 示 !

第 图 %题
(

数 学 探 究

! 面 积 4# .(0(:6! *

  解 可 行 域 如 下

把 变 形 为 得 到 斜 率 为 在轴 探 究 图 截 距 为且 随变 化 的 一 族 平 行 直 线   所 以 若 直 线 存 在 点 满 足 约 束 条 上 2上 2 @#* @ 由 图 可 看 出 当 直 线 经 过 可 行 域 上 的 点时 2% @-++& 3 截 距最 大 经 过 可 行 域 上 的 点时 截 距最 小 则 即 件 2-* +,E'* E E+!! @-++& 2 4 2'E 解 方 程 组 得点 坐 标 为 
自 学 导 引  大 值 和 最 小 值 关 于 变 量 的 一 次 函 数 !!最 !  一 次 不 等 式 线 性 约 束 *! !   可 行 解 可 行 域 点 的 坐 标 +! ! 最 大 值 或 最 小 值 (! ! 要 点 突 破

解 方 程 组 得点 坐 标 为  所 以 变 式 练 习 解 根 据 题 设 得 到 可 行 域 如 图 所 示目 标 函 数 是 其 中 点 在 槡 可 行 域 内 是 曲 线 上 的 教 材 导 学 点 这 样 两 个 动 点 之 间 的 最 短 距 离 求 解 比 较 困 难   变 式 练 习 ! 但 由 于 曲 线 的 图 象 是 圆故 可 考 虑 先 求 出 可 行 域 内     解 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 即 可 行 域 如 的 点 到 圆 心 的 最 短 距 离 进 而 求 得 两 动 点 图 所 示 ! 之 间 的 最 小 距 离 如 图 不 难 看 出当 与 重 合 时 的 最 小 值 是 槡槡

  第 时 单 线 性 规 划 +课 ! !简

把 形 为 得 到 斜 率 为 在 R#2% R -! @变 @# -2%

变 式 !图

R R ! &@ &  R @# -2% & &'   R * ) &   2% R ! @-*:& & &  2#( &    ' ( ) & @#) & 2% @-*:& &   * ( -* ! & 2#( &  R>8 (-):5 R> (,*:*! F# # $# & &   * &     & & ! & & & & & & & & & & & & & & & * & R# 2 # 2 % R ! @ @ @ & & R R ! &  2% R )  @# & &  R *  R ! & 2% @-*:& &    ) -+ ) & @#) & & 2% @-*:&   * ( -* ! & 2#( & &  R>8 )-+:6 R> *,(:,%! F# # $#&   + & &   & * * &) = < 2-2 = 2 )#  @@ @ ! %  !  & * *  & < 2 2 % @ @%* #* ! ! &   & &  &   ' & -* & & ! &   = )  & = < ) ) & ), *! & & & & & & & & & & + &

轴 上 截 距 为且 随变 化 的 一 族 平 行 直 线 由 图 可 看 出 当 直 线 经 过 可 行 域 上 的 点 时 截 距最 大 经 过 可 行 域 上 的 点或 即 与 直 线 重 合 时 截 距最 小 解 方 程 组 坐 标 为  得点

解 方 程 组 得点 坐 标 为  所 以 变 式 练 习 解 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域即 可 行 域如 图 所 示

变 式图

变 式图

* 5 !

& &  !! /. R#E 2% 2% & ! @ @#-E & R &E$& (-E#& & +,! &  (-E# , # #* ( E # * ! ) ' & !,* &  *! <. ! & & "-! "%!  ) ! R#2%" @ @ & * * & & ! R #- 2% ! & " " & & & & & & & & & & & & * & & ! & -!+ , +!  R " & & "'! "+ -!! & ! R  & ) R @#- 2% & " " & "-! "%! * % ". #2 " %* "-! ): & & * * &    & "#+ "#-) <. & &    2! ! +! ! & & & & & & & & & & & & + & &  2% # ( @ & R #* 2 %@ & 2@#* &   & ) + ! ) + ! & ( R>8 *0+-!:2! F# &  (!  ! & & & & & & & & & & & ( & * * * S #  2-* %  & @-* &

基 础 达 标

可 行 域 内 的 动 点 到 定 点 距 离 的 8 2 = * * @ 当 且 仅 当 直 线 直 平 方  8= 与 2 %@-!:& 垂 解 析 由 题 意 变 形 为 时 小   8= 最 *-*,! 5 ) ) + 即 故 最 小 值 为 S # # S的 ! 槡 * !-! * 槡 槡 解 析 二 元 一 次 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 拓 展 训 练 能 提 升 图 所 示 其 中 得 知 由 !. /. 1. !*.   析 由 线 性 约 束 条 件 画 出 可 行 域 如 图 所 1. +! !解 ! ! !  由 得 几 示 ! R#2%* @ @# - 2% R R 的 * * * ! !  何 意 义 是 直 线 上 的 截 距 @#- 2% R 在 @轴 * * ! 最 !   要 使 小 需 要 易 知 当 直 线 R最 R 小 @#- 2 * * !   点 时 小 最 小 值 为 故 % R过 ) ! ! R最 + * 选 1! 第题 图 由 图 可 知 当 时可 取 得 最 小 值 此 时 或 又 直 线 过点 时取 得 最 小 值 因 此 化 简 得 解 得 或 均 符 合 题 意 故 选 第 图 +题 解 析 画 出 可 行 域 如 图 阴 影 部 分 (! ), *! 槡槡  画 出 满 足 条 件 的 可 行 域 如 图 所 示 )!解 !     除 原 点 表 示 一 组 同 心 圆 圆 心 ! 2 %@ #S 且 对 同 一 圆 上 的 点 值 都 相  为 原 点 7 2 %@ 的 等 由 图 可 知 当 在 可 行 域 内 取 值 时 当 且     2 @ 仅 当 圆    时 大 取 时 小 7过 '点 S最 ! & & S最 !   又 所 以 ' + 6 S #2 + S #&! @ 表   示 可 行 域 内 的 点 到 定 点 * B# = 2 @ 第题 图 2-) 的 斜 率 由 图 可 知 大 小 又       ) & , 最 , 最 设 目 标 函 数 为 由 解 得 1      ' + 6 * + -+ 当 目 标 函 数 过 时 取 得 最 大 值 -+ +  6 所 以 B # # B # #-(!
> # $ * * * * > 8 F > # $

* 1

' 1

> 8 F

+,) *

> # $

+,)

解 作 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域 如 图 所 示

第题 图

由 已 知 得 槡

表 示 的 是

%! 

 解 因 为 的 图 象 过 原 点 2 D 所 以 可 设  2 # " 2% $ 2 ",& ! D
*

第 图 )题

+ & !

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

!+ "$+*$ & @'*$ 3 由 题 意 可 得 其 图 象 如 图 所 示 阴 影 即 2 & ) ++ "% $+($ * 2@'($ 4 & & 部 分 ! & 目 标 函 数 R#2 2%% ! &,2#* 2% &! @%) @' @%) & 出 可 行 域 如 图 所 示 阴 影 部 分 & 作 !

数 学 探 究

又 作 直 线 由 图 易 知 两 点 分 别 为 使 取 得 最 小 值 和 最 变 式 !图 大 值 的 点 $ ' $ 令 平 移 直 线 当 其 经 过 点 时 * 2% )& +$ * @#&$ 解 方 程 组 坐 标 为 ) 得点 R #*0+-*-) &:) 6! # * * * * 答 甲 乙 丙 三 种 食 物 分 别 购 买 克 克 +千 *千 )千 解 方 程 组 坐 标 为 ) 得点 $ $ 克 时 成 本 最 低 最 低 成 本 为 ) 6元 ! 所 以 ! " 变 式 练 习 * # $ $ 解 设 需 截 取 第 一 种 钢 板 第 二 种 钢 板 则 2张 @张 所 以 * 2% )$ @'! 3
> # $

第题 图

解 析 由 已 知 得 平 面 区 域为 内 部 及 2$ 2$ @'&$ @(! 相 切 显 然 当 圆 心 4 边 界 圆 与轴 目 标 函 数 R#2% @! 位 于 直 线 与 的 交 点 $ 可 行 域 是 如 图 阴 影 部 分 目 标 函 数 在 取 到 最 )点 处 时 的 最 大 值 为 优 解 ! 故 选

2%* 6$ @'! 2 2%+ 2$ @'*

自 学 导 引 最 值 整 数 整 点 整 数 整 点 最 优 解 格 点 法 代 入 比 较 法 要 点 突 破

第课 时简 单 线 性 规 划

探 究 图

变 式 *图

2%+ 2$ @#* ! 6+ 5 $ 解 方 程 组 得 )& $ ' ) ) ) $ * 2% # ! ) @ ! 6 + 5 ) 2 $ $ 但 不 是 整 数 解 此 时 R# % # $ ) ) ) 则 在 可 行 域 内 取 到 的 整 数 解 教 材 导 学 R#! *! $ 即 经 过 可 行 域 内 的 整 点 且 与 原 点 距 离 最 近 的 直 线 变 式 练 习 则 整 点 一 定 在 间 2% *$ *$ '之 ! @#! 解 设 购 买 甲 乙 两 种 食 物 分 别 为千 克千 克 则 是 2% *$ @#! 丙 食 物 为 千 克 设 成 本 为元 解 方 程 组 得 ' % *& +$ 5 ) * 2% )$ @#! 由 题 意 得
+ ! !

2% *$ & @#! 5! ) 解 方 程 组 得 '& $ ' ! & ) * * $ 2%+ 2 @#* & & 5 则 整 点 的 横 坐 标 ++2+ $ & * & & ' $ & ' 所 以 满 足 条 件 的 最 优 解 是 & +$ 5 ($ 6 ! & ! " 反 思 这 种 方 法 先 由 图 解 法 观 察 出 最 优 解 在 哪 个 & 第 图 & (题 $ $ 点 处 取 到 再 由 精 确 值 估 算 出 整 数 解 一 定 注 意 整 & 令 得 平 移 得 当 $ # $ $ R # & T * 2 % + # & T 可 T 过 @ 数 解 的 估 算 不 是 四 舍 五 入 取 整 而 是 在 可 行 域 内 的 $ & 点 最 小 值 $ & )时 R有 ! 整 数 解 ! & ) 2%% &$ @#) 变 式 练 习 ! " & + & ' 又 由 得 坐 标 为 )点 ($ ) ! ) & ! & 2%* & ( &$ @#! # $ 解 依 题 意 令 可 得 直 线 斜 率 为 R#&$ 2%E @#& 的 & 所 以 R #(0* & &-)0+ & &:*+ & &! & !$ 结 合 可 行 域 可 知 当 直 线 直 线 , 2%E ) ' & @#& 与 # 答 所 需 租 赁 费 最 少 为 E *+ & &元 ! & $ 平 行 时 线 段 的 任 意 一 点 都 可 使 目 标 函 数 展 训 练 ) '上 R & 拓 & $ $ 取 得 最 小 值 而 直 线 的 斜 率 为 所 #2%E ) ' -! 能 提 升 @ & 知 & 以 E#!! # $ 析 由 约 束 条 件 画 出 如 图 所 示 的 可 行 域 <. !解 & !. 基 础 达 标 & 由 当 直 线 R#* 2% 2% R! 2% @得 @#-* @# -* & !.;. &. !*. 2#($ & $ 点 最 大 值 由 得 R过 )时 R有 ! )& ($ & ) # * $ 设 别 为 甲 乙 两 种 柜 的 日 产 量 +!解 2$ @分 2%* @#6$ & # 目 标 函 数 线 性 约 束 条 件 ' $ R#* & & 2%* ( & & @$ * ( R #*0(-*:! &!
& & & > # $ > 8 F

% 2%! * * &$ @+! 3 6 2%( ($ @+% 2 2'&$ 4 @'&$



2%* &$ @+* 3 * 2% %$ @+! 2 2'&$
4 @'&!

2%* &$ @+* ' $ 解 得 作 出 可 行 域 如 图 <& ($ 6 ) * 2% %$ @+!

第 图 +题
R>8 * & &0(-* ( &06:*2 * &! F# # *

答 该 公 司 安 排 甲乙 两 种 柜 的 日 产 量 分 别 为 $ 台 和 可 获 最 大 利 润 6台 *2 * &元 ! # $ 解 设 需 租 凭 甲 种 设 备 台 乙 种 设 备 租 赁 (! 2 @台 费 R元 ! 由 题 意 得
) 2%% &$ @') 3 ! & 2%* & ( &$ @'! 2 4 2$ @'& 2$ @($



R#* & & 2%+ & & @!

作 出 如 图 所 示 的 可 行 域 !

& & & & & & & & ! & & & ! & & $ ' * ! 1. +. /. (. ) 2 . ! ! & & )! # * 2 & & R $ & $ * 2% + & & @+ 3 & & $ 2% * * ) & @+ & 5 & & ! @ 2 $ 2' & & & 4 & @' & & (& ! & & & $ & & & & & & & & & & & ) & & # T% & & 2%5 & & @#&$ &

第题 图

* $ 解 设 甲乙 两 种 棉 纱 分 别 生 产吨 利 润 @吨 总 额 为元 则 问 题 转 化 为 求 利 润 总 额 R# % & & 2%



下 的 最 大 值

$ 作 出 上 述 约 束 条 件 表 示 的 可 行 域 如 图 阴 影 部 分

作 出 直 线

第题 图

把 直 线 平 行 移 T作

+ * !

+ ) &* & & 时 & $ $ 动 显 然 当 直 线 经 过 点 利 润 总 )& $ ' & + + & 额 最 大 ! & & 答 甲 乙 两 种 棉 纱 分 别 生 产 吨 吨 时 利 # * * ! ! % % 2 & 润 总 额 最 大 ! & & # $ $ 设 隔 出 大 房 间 小 房 间 每 天 的 收 益 %!解 2间 @间 & $ 为 则 & R元

$ 将 直 线 左 下 方 平 移 时 最 先 经 过 可 行 域 上 的 T向 和 且 使 得 整 点 & ' & $ &$ ! * +$ 6' R#* & & 2%! ) & @取 最 大 值 此 时 $ R #* & &0&-! ) &0! *:* & &0+
! > 8 F

& & & & & & $ 4 4 &  &  ! ' ( ' ( @ @ @ @ & R#* & & 2%! ) & @! & & $ ! & & & & & & & & & & & & & & & & & & % & & # # T * & & 2%! ) & T ( 2%+ @#&$ @#&$ & $ & T T ! & )$ R# * & & 2% ! ) & !& @ & % 2%) &$ @#% * &$ % & & ) ! 2 2 ) 2%+ &$ @#( & & $ $ $ 2@ ) & $ & R & -$ -$ ! 2#!$ *$ 6$ *$ ! *$ & @#!$ & $ $ & ! &
! 6 2%! ) 6 &$ @+! 3 !& & & 2%% & & & &$ @+6& 2 2'& 2($

且 且 目 标 函 数 作 出 可 行 域 如 图



% 2%) &$ @+% 3 ) 2%+ &$ @+( 2 2'& 2($

且 且

数 学 探 究

$ * 所 以 应 隔 出 小 房 间 或 大 房 间 小 房 间 ! *间 +间 能 获 得 最 大 收 益 6间 ! 提 示 这 种 方 法 就 是 穷 举 法 首 先 对 可 能 取 # $ R的 对 所 有 可 能 的 整 数 解 验 证 到 的 整 数 解 进 行 尝 试 $ 它 是 否 在 可 行 域 内 才 能 准 确 不 漏 地 找 到 所 有 的 $ 最 优 解 !

-! ) &06:!6 & &!

# $ $ 解 设 公 司 每 天 生 产 甲 种 产 品 乙 种 产 品 2桶 @桶 +天 $ $ 公 司 共 可 获 得 利 润 则 由 已 知 得 R元 R#

2%* *$ @+! 3 * 2% *$ @+! + & & 2%( & & @$ 2 2'&$



画 可 行 域 如 图 所 示 !

4 @'&!

第题 图

作 直 线 即 直 线 把 直 线向 右 上 方 平 移 至的 位 置 时 直 线 经 过 可 行 域 上 的 点此 时 取 得 最 大 值 解 方 程 组 得& ' ) 由 题 意 知 最 优 解 中 的 必 须 是 整 数 而点 的 坐 标 不 是 整 数 应 找 出 可 行 域 内 使取 得 最 大 值 的 整 点 作 直 线 如 图 打 出 网 格这 些 网 格 在 可 行 域 内 的 交 点 即 可 行 域 内 的 整 点

+ 目 标 函 数 变 形 为 R#+ & & 2%( & & @可 @#- 2% ( R $ 这 是 随 化 的 一 族 平 行 直 线 R变 ! ( & & * 2% *$ 2#($ @#! 解 方 程 组 即 ' $ )& ($ ( !得 ) ) 2%* *$ @#! @#($ * 故 公 司 每 天 从 生 产 的 甲 乙 两 种 产 品 共 可 获 得 的 最 大 利 润 为 *6 & &元 ! ( R>8 !* & &-!% & &:*6 & &! F#

章 末 达 标 测 试
* 一 !. <. & !*.;. & # % 析 正 确 当 <! &2 %!'* 2$ (1 不 2+& & +! !解 & ! $ % $ 时 正 确 当 当 ;不 2$& 时 2% '*$ 2#& & 2 & ! & $ % 时 故 正 确 确 2% + -*$ /不 <正 ! & 2
*

$ 行 故 将 直 线 * @-2%(:& 平 移 到 和 边 界 所 在 直 线 ) * $ 重 合 时 即 可 得 R #)! # 法 二 因 为 &+2+!$ &+@+ $ $ 且 所 以 * * R#* @-2'! @
> # $

第 图 6题

(! 1. <. !).;. !%. * 2! +!

! & * # 三 因 为 不 等 式 可 化 为 2- ' 5!解 "$&$ 2& " 析 法 一 如 图 易 知 不 等 式 组 围 成 的 平 面 # # $ 6! )! !解 !和的 ' # 下 面 对 小 进 行 讨 论 ! ! 大 #&$ 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 $ 令 得 到 直 线 R#&$ " 已 知 此 直 线 与 图 中 边 界 所 在 直 线 平 %(:&$



& & & & & & * @-2 & & ) *

-2%('!-(:)!

+ + !

! $ & ' & 当 即 不 等 式 化 为 #!$ "#! 时 2-! & " 当 应 的 直 线 过 两 直 线 R #* & & 2 %+ & & @ 对 & 解 集 为 空 集 % #&$ & % 3 2% @#! &$ & ! ) & $ 的 交 点 时 目 标 函 数 即 不 等 式 解 集 $ ($ )' R# 2 &#"#! 时 ( 当 $!$ & " & 4 2%* ( @#! & ! % 为 2 !#2# , ) 得 最 小 值 为 * & & 2%+ & & *+ & &元 ! & @取 ) " & # & '在 $ !!解 ! 0中 0 -* 2() 0 %)1 @ #2 %) ! &! $不 等 式 解 集 " $! 时 ) 当 # !$即 & " (3 $ 4 " % & ' & ! & ( 0 -2() 0! !' @ #2 %) 为 2 ! ) #2#!, ) " & ! ! ! ! & 又 4 # 4 # . .*0 槡 +: 2( # $乙 设 甲 种 设 备 需 要 生 产 种 设 备 需 要 ! &!解 2天 * * * * & $该 $ 生 产 公 司 所 需 租 赁 费 为 则 R元 R# & @天 $ ) 0(" # $ % & ' '
* * * * * * *

1 0 %)

* ' %)

* & & 2%+ & & @! *

甲 乙 两 种 设 备 生 产 类 产 品 的 情 况 如 下 )$ *两 # 表 所 示
产 品)类 产 品 件 产 品 件 & '* 类 & ' 租 赁 费 设 备 ' ' & & & ( & !! ') '! 甲 设 备 ) ! & * & & 乙 设 备 % * & + & &
!!

则 足 的 关 系 为 2$ @满 即
% 3 2% @'! &$ ) 2 2%* ($ @'!

) 2%% &$ @') 3 ! & 2%* & ( &$ @'! 2 4 2'&$ @'&$

$ 作 出 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示 !

2'&$ @'&$ 4

& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

(2() 0#*! !( * & ' $ 把 入 (代 '得 @ #2 % & '-* @$& 2
* * *

( * ' ( !+2+* ! @# 2 % * -*& 2 & ' * $ 如 果 水 管 1 0是 @#


*

*0*,*:槡 *$ 槡
*


*

( * 2 % * -*' 2

( 即 . $ 当 且 仅 当 成 立 故 2# $ 2#槡 *时 #/ 1 0 2 且 '$ 1 0#槡 *! :* $ 即 当 别 距 水 管 长 度 最 短 1$ 0分 )点 *> 时 ! 槡 ( 可 $ 果 参 观 线 路 记 1 0是 2' #2 % $  如 D& 2 ! $ ! " $ 上 递 减 在 上 递 增 知 函 数 在 !$ *" *$ * 槡 槡 ' ' 故 2' #D& ! #D& * #)$ D& 即 中 线 或 (@ # 槡 ),*: 槡 +$ 1 0为 ) * 上 $ 中 线 时 参 观 线 路 最 长 ) '上 !
* > 8 F > 8 F

第 图 ! &题

模 块 综 合 测 试
即 ! 故 选 - $ /! *
* (4 & ' ' $ * " #" ( " ($ ! -! !& ! -%

)! <. 1. !%. & # " & 2!;. )$ 4 ! ) ! )# )# & " ( H#)$ !% 3 & " !$ !# 3 *! 1. <. !+. & " C$ *2 * C# 2 )0( # ) " H#! ) 4 H#! !% (! /. 4 " 4 * " !$ 4 ! !# !$ *# !(# & * 4 & * $ ( " %! 4 4 4 4 4 !!$ *$ ( *# ! &

! ! 两 & * # 一 析 边 同 !. 1. & +#H#&$ (&$ $ $ !解 & + H & ! ! & 乘 以 得 又 故 -!$ - $ - $&! "$ $$&$ H + &

解 得 " #
!

" $ " $ - $ - $&! ( # ! H + H +

解 析 由

可 得

解 析由 题 意 知 因 为 成 等 比 数 列 所 以

+ ( !

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

&

& ' '

&

'



解 析 由 得 或 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 或 或

由得 因 为 即 所 以 从 而 又 因 为 是 公 比 的 等 比 数 列 所 以 从 而 的 前项 和

解 设 为 该 儿 童 分 别 预 订 个 单 位 的 午 餐 和 晚 餐 共 花 费元 则 约 束 条 件 为 即

或 解 析 将 条 件 方 程 变 形 分 析 中 为 正 实 若 则 必 有 不 合 题 意故 数 正 确 中 只 需 即 可 如 取 满 足 上 式 但 故 错 中 为 正 实 数 所 以 槡槡 槡槡 且 槡槡槡槡 槡槡 故错 中 若 不 妨 取 则 必 有 不 合 题 意 故正 确 证 明 成 等 差 数 列

作 出 可 行 域 如 图 所 示

经 观 察 可 得 当 解 不 等 式

第题 图



时花 费 最 少为



的 解 集 为

由 正 弦 定 理 得

当 时 即 对 一 切 成 立 而

恒 成 立

由 题 设 有 余 弦 定 理 得

槡由

均 有 不 等 式

解 因 为 是 首 项 差 数 列 所 以 故

公 差 的 等

槡 立

当 时 等 号 成

实 数的 取 值 范 围 是

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$ $ 解 如 图 在 ' 1中 %)

槡槡槡 槡 答 两 目 标 间 的 距 离 为 槡
解 由

所 以

第题 图

由 余 弦 定 理 知



槡 在 中




因 为 所 以 所 以 是 以为 公 比 的 等 比 数 列 因 为 是 的 等 差 中 项所 以 即 得 所 以 的 通 项 公 式 为 &' 由

槡槡& '

由 正 弦 定 理 知

两 式 相 减 可 得

槡槡 槡 槡

中 由 余 弦 定 理 知



要 使 成 立 即 故 使 小 值 为

成 立 即 所 以 成 立 的 正 整 数的 最

假 期 作 业
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

基 础 巩 固


解 析

&

'

解 析 由 题 意 得 得 是 等 差 数 列 且 首 项 公 差 而 故 解 析 由 正 弦 定 理 得 又 易 知

再 由 余 弦 定 理得 所 以 是 钝 角 选 解 析设 的 公 比 为则 由 等 比 数 列 的 即 性 质 知 由与 的 等 差 中 项 为知 解 得 所 以 即 即 ! & '" 故 解 析 设 该 数 列 的 公 差 为则 解 得 所 以

解 析 且 仅 槡 槡 当 当 时 取 等 号 解 析 由 条 件 结 合 正 弦 定 理 得

+ % !

$ 所 以 当 最 小 值 C#% 时 4 取 ! "% +" +$ & $ $ 由 此 得 得 "% +" + # " + "# + & * " + " % $ + 析 由 余 弦 定 理 得 # 6! <. 3 4 " '# # & !解 + * " $  & 所 以 " # $ ) " # $ '# ! ")# "*# "'# $ + ( & "% $ !$ . $ 当 且 仅 当 取 选 "# $时 #/ <. & ' .- .( " $ * '由 6!& ! * )(* '#* 得 +( " 3 4 "*#*! &! & # $ $ 析 作 出 可 行 域 作 出 目 标 函 数 线 可 得 直 5! <. !解 ! 所 & 又 以 3 4 "*# $ " +#%! 交 点 为 最 优 解 点 即 为 线 $ + 2%* + @#2 与 @#) 的 & & & ' $ $ 当 $ 由 余 弦 定 理 得 !$ ! 2#!$ R #+! "% +# $ %* " + 3 4 "*! @#! 时 & 析 当 符 合 题 意 # $ % 又 所 以 ! &! 1. "-*:& 时 & $#+$ "% + #5-*0*:! +! !解 & $ 当 依 题 意 "-*,& 时 " +#%$ "#*$ "#+$ & 解 得 或 ) ) ) & "-*#&$ +#*! "% + #! +$ +#+ & ) & '%! & ' 因 为 所 以 "-* % "-* #( #&$ "$ +$ "#+$ +#*! & & $ 解 之 得 & ' $ 在 -*# "#*! * * '中 %) & $ 综 上 & -*# "+*! ! ** " # $*#槡 !,3 4 " *# !, & ' # 槡 ! & # & ' 解 析 由 得 + + ! !!;. "% $ + #( " % $ %* " $- & ! & "% $+ + * (*槡 * 由 + # ($ & '得 3 4 " '# # & "' # % $ 由 正 弦 定 理 得 " # $'# " # $*# * " $ $ + + & (,* " $ !$ ( & 解 得 (* # " $# ! & # 槡 ! * " $ * + 5 & ! *! <. & $ 因 为 所 以 锐 角 "# $$ +$ '为 & * # $ 二 解 析 ! +! 6槡 +! 6 & ' ,! * & ' ,+ & ' :+ & ' & ! "'#! (槡 * #2! 因 此 3 4 "'#槡 !," # $ '# !, & & ' 5 ( "# +! 5 & " $ $ ! *0" # $ + & ' & 于 是 由 得 3 4 " *-'' #3 4 "* 3 4 "'%" # $* " # $' # "# #(槡 +$ & & " # $ ) " # $ * " # $ ! * & ' + %$
* *

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*

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( "% +#6 +!



槡槡

解 析因 为

当 时 当 时

所 以 解 析 在 所 以 在 中





故 数 列 的 通 项 公 式 为 由知 记 数 列 的 前项 和 为 则 记 则

由 正 弦 定 理 得 因 此 槡 在 中 由 得 三 解 由 已 知 解 法 一

槡 槡槡



故 数 列 的 前项 和

由 正 弦 定 理 得

解 设 生 产 甲 产 品吨 生 产 乙 产 品吨
原 料 甲 产 品吨 乙 产 品吨

原 料

解 法 二

+ 2 !

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

则 有

目 标 函 数 作 出 二 元 一 次 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域即 可 行 域 如 图

2$&$ 3 @$&$ 2 + 2% +$ @+! 4 * 2%+ 6$ @+!



故的 取 值 范 围 是 解 成 等 差 数 列 当 时 得

当 时 由得



是 以为 公 比 的 等 比 数 列

第题 图

作 直 线 平 移观 察 知当 经 到 最 大 值 过 点 时取 解 方 程 组 得的 坐 标 为 ) 答 生 产 甲乙 两 种 产 品 分 别 为吨 和吨 时 能 够 产 生 最 大 利 润万 元

&

'

&

'

探 究 拓 展


& '

&

'





要 比 较与 的 大 小 只 需 比 较 与 的 大 小 即 可 当 即 时 且 时



当 当











由 正 弦 定 理 得

+ 6 !


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