当前位置:首页 >> 数学 >>

四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试 数学理(2013资阳一诊)



资阳市高中 2013 级诊断性考试

第Ⅰ (选择题 共 60 分) 卷
注意事项: 1.答第Ⅰ 卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 第Ⅰ 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,监考人将第Ⅰ 卷的答题卡和第Ⅱ 卷的答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|-2<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∩B= (A){x|-2<x<1} (B){x|1<x<2} (C){x|-2<x<3} x 2.函数 f ( x ) ? 的定义域为 x ?1 (A) (1, ??) (B) [0, ??)
5

(D){x|2<x<3}

(C) (??,1) ? (1, ??) (D) [0,1) ? (1, ??)

i (1 ? i) ? 1? i (A) ?1 ? i (B) 1 ? i (C) ?1 1 1 4.幂函数 y ? f ( x) 图象过点 ( , ) ,则 f [ f (9)] ? 4 2 1 (A) 3 (B)3 (C) 3 x 5.命题 p: ?x ? (??, 0] , 2 ? 1 ,则
3.设 i 是虚数单位,复数 (A)p 是假命题; ?p : ?x0 ? (??,0] , 2 x0 ? 1 (B)p 是假命题; ?p : ?x ? (??, 0] , 2 x ? 1 (C)p 是真命题; ?p : ?x0 ? (??,0] , 2 x0 ? 1 (D)p 是真命题; ?p : ?x ? (??, 0] , 2 x ? 1

(D)1

(D)

3 3

6.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象 6 ? ? (A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位 6 6 (C)向右平移 个长度单位 12 12 7.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图象可能是

?

?

个长度单位

(D)向左平移

?

·1·



8.已知数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列,则 q= 1 1 (A)1 或 ? (B)1 (C) ? (D)-2 2 2 9.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定不成立的是 1 1 (A) ? (B) log2 a ? log2 b a b a?b (C) a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2 (D) b ? ab ? ?a 2 10.电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中,连续剧甲每次播放时间为 80 min,其中广告 时间为 1 min,收视观众为 60 万;连续剧乙每次播放时间为 40 min,其中广告时间为 1 min,收视观 众为 20 万.已知该企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放 6 min 广告,而电视台每周只 能为该企业提供不多于 320 min 的节目时间. 则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为 (A)220 万 (B)200 万 (C)180 万 (D)160 万

11 . 函 数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3 , 函 数 g ( x)? m c o s ( x ? 2

?
6

? ) m? 2

m? , 若 )存 在 3 ( 0

x1 , x2 ?[0, ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的取值范围是 4 2 4 (D) [ , ] 3 3 ? 2| x ?1|?1 , 0 ? x ? 2, ? 12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 1 则函数 g ( x) = ? f ( x ? 2), x ? 2, ?2 xf ( x) ? 1 在 [ ?6, ?? ) 上的所有零点之和为 (A)7 (B)8 (C)9 (D)10
(A) (0,1] (B) [1, 2]

?

2 (C) [ , 2] 3

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 1.第Ⅱ 卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接答在此试题卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案直接填在题目中的横线上. 13.若 sin ? ?

3 ? , ? 是第二象限的角,则 cos(? ? ) ? _______. 5 4

1 ?2 14.计算: ( ) 3 ? (log 2 9) ? (log 3 4) ? ________. 8

·2·



?3x3 ? 9 x2 ? 12 x ? 4, x ? 1, ? 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f (2m ? 1) ? f (m2 ? 2) ,则实数 m 的取值范围 ? x ? 1, x ? 1, ?
是 . 16.在数列 {an } 中,如果对任意的 n ? N* ,都有
an ? 2 an ?1 ? ? ? ( ? 为常数) ,则称数列 {an } 为比 an ?1 an

? 等差数列, 称为比公差. 现给出以下命题: 若数列 {Fn } 满足 F1 ? 1 ,F2 ? 1 ,Fn ? Fn?1 ? Fn? 2 n ? 3 ) ① ( ,

则该数列不是比等差数列;② 若数列 {an } 满足 an ? (n ? 1) ? 2n?1 ,则数列 {an } 是比等差数列,且比公差

? ? 2 ;③ 等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;④ {an } 是等差数列,{bn } 是 若
等比数列,则数列 {an bn } 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是_________________.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 3 , S15 ? 225 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ? 2an ? 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 18. (本小题满分 12 分) 命题 p : 实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 (其中 a ? 0 ) ,命题 q : 实数 x 满足

?| x ? 1|? 2, ? ?x?3 ? x ? 2 ? 0. ? (Ⅰ )若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ )若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a 、 b 、 c 分别为内角 A 、 B 、 C 的对边,且满足

cos 2 A ? 2sin 2 (? ? B) ? 2cos2 ( ? C) ? 1 ? 2sin B sin C . 2 (Ⅰ )求角A的大小; (Ⅱ )若 b ? 4 、 c ? 5 ,求 sin B . , 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? log a x( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象过点 (8, 2) , P3 1? 点 () 关于直线 x ? 2 的对称点 Q 在 f ( x) 的图象上. (Ⅰ )求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ )令 g ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ,求 g ( x) 的最小值及取得最小值时 x 的值.
21. (本小题满分 12 分) 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ?
x1 ? x2 ? 1 .
3 2 ? x 图象上任意两点,且 2 2 ? 2

?

(Ⅰ )求 y1 ? y2 的值;
·3·



1 2 n (Ⅱ )若 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) (其中 n ? N* ) ,求 Tn ; n n n 2 1 (Ⅲ 在 ) (Ⅱ 的条件下, an ? ( n ? N* ) 若不等式 an ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 n ?1 > log a (1 ? 2a) ) 设 , Tn 2
对任意的正整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) . 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4 ? x ? 0, (Ⅱ)当 x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,求实数 a ?y ? x ? 0 的取值范围. (Ⅲ)求证: (1 ? 数的底数) .
2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e (其中 n ? N* ,e 是自然对 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

·4·



资阳市高中 2013 级诊断性考试

数学(理工农医类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5. BDCAC;6-10.DBACB;11-12.CB. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?
2 ; 14.8; 15. ( ?1,3) ; 16.①③ . 10

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.

17.解析: )设数列 {an } 的公差为 d,依题意得: (Ⅰ

?a1 ? d ? 3, ?a ? 1, ? 解得 ? 1 ∴数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1 . ······ 4 分 ······ ······ ? 15 ? 14 ?d ? 2, ?15a1 ? 2 d ? 225, ?

1 (Ⅱ )由(Ⅰ )得 bn ? ? 4n ? 2n , 2 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (4 ? 42 ? ? ? 4n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) ············· 6 分 ··········· ·· ·········· ··· 2

?

4n?1 ? 4 2 2 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· ? n2 ? n ? ? 4n ? n2 ? n ? . ······················· 12 分 3 3 6

18.解析: )由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , (Ⅰ 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 . ········· 2 分 ········· ·········

?| x ? 1|? 2, ??1 ? x ? 3, ? 由?x?3 得? 解得 2 ? x ? 3 , ? x ? 2 ? 0, ? x ? ?3或x ? 2, ?
即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ······················ 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 4 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 (2,3) . ·········· 6 分 ·········· ·········· (Ⅱ )由(Ⅰ )知 p: a ? x ? 3a ,则 ?p : x ? a 或 x ? 3a , ············· 分 ··········· · 8 ·········· ·· q: 2 ? x ? 3 ,则 ?q : x ? 2 或 x ? 3 , ························ 分 ··········· ·········· ··· ······················· 10

?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 ? p ? ? q ,且 ?q ? ?p , ?
?0 ? a ? 2, ∴? 解得 1 ? a ? 2 ,故实数 a 的取值范围是 (1, 2] . ············· 分 ············ 12 ·········· ·· ?3a ? 3,

19.解析: )∵cos 2 A ? 2sin 2 (? ? B) ? 2cos2 ( ? C) ? 1 ? 2sin B sin C , (Ⅰ 2
·5·

?



∴sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C , ························· ··········· ·········· ···· ························ 2分 由正弦定理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 由余弦定理得 cos A ? ∵ 0<A<π,∴A ?
b2 ? c 2 ? a 2 1 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ? ,························ 4分 2bc 2

?
3

. ··········· ··········· ·········· · ································ 6分 ·········· ··········· ···········

(Ⅱ )∵a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? 由
21 4 a b 得 , ? ? sin A sin B sin ? sin B 3

1 ? 21 ,∴ a ? 21 , 2

解得 sin B ?

2 7 . ··········· ··········· ·········· ··· 分 ·································· 12 ·········· ··········· ··········· ·· 7

20.解析: )点 P (3, ?1) 关于直线 x ? 2 的对称点 Q 的坐标为 Q (1, ?1) . ······ 分 (Ⅰ ····· 2 ·····
?m ? log a 8 ? 2, ? f (8) ? 2, 由? 得? ··········· ··········· ······ 分 ··········· ·········· ······ 4 ·········· ··········· ······ ? f (1) ? ?1, ?m ? log a 1 ? ?1,

解得 m ? ?1 , a ? 2 ,故函数解析式为 f ( x) ? ?1 ? log 2 x .·············· 分 ··········· ·· 6 ·········· ··· (Ⅱ g ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2(?1 ? log2 x) ? [?1 ? log2 ( x ? 1 )] ? log2 )

x2 , ?1 ( x ? 1 ) x ?1

··········· ··········· ·········· ··········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·········· ·· 8 ∵
x2 ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 1 1 1 ? ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2?4, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

当且仅当 x ? 1 ?

1 即 x ? 2 时, “=”成立, ··················· 10 分 ··········· ········ ·········· ········· x ?1

而函数 y ? log 2 x 在 (0, ??) 上单调递增,则 log2

x2 ? 1 ? log2 4 ? 1 ? 1 , x ?1

故当 x ? 2 时,函数 g ( x) 取得最小值 1.······················· 12 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· 21.解析: ) y1 ? y2 ? (Ⅰ
? 3? 4 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 x1 ? x2 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2
3 2 3 2 2 2 ? x ? ? x ? 3?( x ? x ) 1 2 1 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2

? 3?

4 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2

··········· · ·········· ·· ? 2 . ··········· · 4 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知,当 x1 ? x2 ? 1 时, y1 ? y2 ? 2 ,

1 2 n n 2 1 由 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) 得, Tn ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? f (0) , n n n n n n
·6·



n 1 n ?1 n ∴ 2Tn ? [ f (0) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f (0)] ? 2(n ? 1) , n n n n
∴ Tn ? n ? 1 .······································ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 8 ·········· ··········· ··········· ····· ( Ⅲ) 由 ( Ⅱ) 得 , an ?
2 2 1 ? , 不 等 式 an ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2n ?1 ? loga (1 ? 2a) 即 为 Tn n ? 1 2

2 2 2 2 2 2 1 , ? ?? ? ? l o g ( 1 ?a 2,设 H n ? ) ? ? ?? a n ? 1 n? 2 2n 2 n ?1 n ? 2 2n
则 H n ?1 ?

2 2 2 2 2 , ? ??? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2
2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2(n ? 1) n ? 1 2n ? 1 2n ? 2

∴ H n ?1 ? H n ?

∴数列 {H n } 是单调递增数列,∴ ( H n )min ? T1 ? 1 , ················· 10 分 ··········· ······ ·········· ·······

1 要使不等式恒成立,只需 loga (1 ? 2a) ? 1 ,即 loga (1 ? 2a) ? loga a2 , 2

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ? ? ∴ ?1 ? 2a ? 0, 或 ?1 ? 2a ? 0, 解得 0 ? a ? 2 ? 1 . ? ? 2 2 ?1 ? 2a ? a ?1 ? 2a ? a ,
故使不等式对于任意正整数 n 恒成立的 a 的取值范围是 (0, 2 ? 1) .········· 分 ········ 12 ········

1 1 22.解析: (Ⅰ)当 a ? ? 时, f ( x) ? ? x2 ? ln( x ? 1) ( x ? ?1 ) , 4 4
1 1 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1 ) , 2 x ?1 2( x ? 1)

由 f ?( x) ? 0 解得 ?1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 . 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . ·········· 分 ········· 4 ·········
? x ? 0, (Ⅱ)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,则当 x ? [0, ??) 时,不等式 ?y ? x ? 0
f ( x) ? x 恒成立, ax2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立, g ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0 ) 只需 g ( x)max ? 0 即 设 ,

即可.············································ 分 ··········· ·········· ··········· ··········· · ·········· ··········· ··········· ·········· · 5

1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ,当 x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,故 x ?1 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. ···································· 分 ··········· ·········· ··········· ··· 6 ·········· ··········· ··········· ··· 1 x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ?1 , ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? 2a x ?1
由 g ?( x) ? 2ax ?
·7·



1 1 即 在区间 (0, ??) 上,g ?( x) ? 0 , 则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,g ( x) ? 1 ? 0 , a ? 时, 2a 2 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不满足条件; 1 1 1 1 ②若 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减,在区间 ( ? 1, ??) 上单调 2a 2 2a 2a 递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件. ·················· 分 ··········· ······· ·········· ······· 8 x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.
①若 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . ······················ 分 ··········· ·········· · ····················· 10 (Ⅲ) 据(Ⅱ) 知当 a ? 0 时,ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立(或另证 ln( x ? 1) ? x 在区间 ( ?1, ?? ) 上恒成立) ········································· 分 , ········································ 11 ·········· ··········· ··········· ········ 又
2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ), n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]} 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

∵ ln{(1 ?
? ln(1 ?

2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n ?1 ] 2?3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 2n ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n?1 ? n )] 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2[( ? n )] ? 1 , 2 2 ?1 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e . ··········· ·· 分 ∴ (1 ? ············ 14 ·········· ·· 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1) ?

·8·