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上海市重点中学2012-2013学年度第一学期高三数学期中考试卷(理)

上海市重点中学 2012-2013 学年度第一学期 高三数学期中考试卷(理)

(满分 150 分,120 分钟完成.答案一律写在答题纸上.) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 方程 lg x2 ? 2 的解为_____________. 已知一个扇形的周长为 20cm,则此扇形的面积的最大值为_____________cm2. 函数 f ( x) ? sin( ? 2 x) 的单调递增区间是_____________. 3 函数 y ? cos x,(? ? x ?

?

3? ) 的反函数是_____________. 2

若实数 a 、b 、m 满足 2a ? 5b ? m ,且 使不等式 (a ? 1)
? 1 3

2 1 ? ? 2 ,则 m 的值为 a b
.

.

? (3 ? 2a)

?

1 3

成立的实数 a 的范围是

在△ABC 中,锐角 B 所对的边长 b ? 10 ,△ABC 的面积为 10, 外接圆半径 R ? 13 , 则△ABC 的周长为_____________.

8. 9.

已知 xy ? 0 ,且 xy-9x ? y ? 0 ,则 x ? y 的最小值为_____________. 数列 {an } ( n ? N * )满足 lim[(2n ? 3)an ] ? 1,则 lim(nan ) =_____________.
n?? n??

10. 等差数列 {an } 中, 公差 d ? 1 ,a3 ? a 4 ? 1 , a 2 ? a 4 ? a6 ? ? ? a 20 ? _____________. 则

2 11. 若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2x ? a ? ,则实数 a 的取值范围是_____________. .. x
x 12. 已 知 函 数 f ( x ) ? 3?b ( 2 x ? 4的 图 像 过 点 ( 2,1 ) f (x) 的 反 函 数 为 f , ? )

?1

( x) , 则

2 F ( x) ? [ f?1 ( x )2]? ? 1 (x 的值域为_____________. f )

13. 我们把形如 y ?

b ? a ? 0, b ? 0 ? 的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动地称为 x ?a

“囧函数” ,并把其与 y 轴的交点关于原 点的对称点称为“囧点” ,以“囧点”为圆心 凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆” ,则当 a ? 1 ,b ? 1 时,所有的“囧 圆”中,面积的最小值为____________. 14. 在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色:先染 1,再染两个偶数

2、4;再染 4 后面最邻近的三个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的四个连续偶数 10、12、14、16;再染此后最邻近的五个连续奇数 17、19、21、23、25;按此规则一 直染下去,得到一红色子数 列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…….则在这 个红色子数列中,由 1 开始的第 2011 个数是_____________. 二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 15. 已知 ?ABC 的三边分别为 a , b, c ,满足 a cos A ? b cos B ,则此三角形的形状是( ) A. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 B. D. 直角三角形 等腰直角三角形

16. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 f ( x) 在[-3,-2]上单调递减, ? , ? 是 锐角三角形的两内角,那么 ) A. C.
f (sin ? ) ? f (sin ? ) f (sin ? ) ? f (cos ? )



B. D.

f (cos ? ) ? f (cos ? ) f (sin ? ) ? f (cos ? )

17. 实 数 a , b 满 足 a ? b ? 0 且 a ? b , 由 a 、 b 、 ) A.可能是等差数列,也可能是等比数列; B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列; C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列;

a?b 、 ab 按 一 定顺 序构 成的 数列( 2

D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列;

18. 若实数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则下列命题: (1)若数列 {an } 是递增数列,则数列 {Sn } 也是递增数列; (2)数列 {Sn } 是递增数列的充要条件是数列 {an } 的各项均为正数; (3)若 {an } 是等比数列,则 S1 ? S2 ??Sk ? 0(k ? 2, k ? N ) 的充要条件是 an ? an?1 ? 0. 其中,正确命题的个数是 ( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

三、解答题: (本大题共 5 题,74 分) 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? lg(x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ?
3 ? 1 的定义域为集合 B, x

已知: ? : x ? A ? B , ? : x 满足 2 x ? p ? 0 ,且 ? 是 ? 的充分条件,求实数 p 的取值范 围.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

? 1 1 ? 已知函数 f ( x) ? sin 2x sin ? ? cos2 x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,其图象过点( , 6 2 2 2
1 ) . 2
(1) ? 的值; (2)函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在[0,

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

π ]上的最大值和最小值. 4

21. (本小题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) , (1)若函数 f(x)满足 f ( x) ? f (2 ? x) 恒成立,且 a ? 0 ,求使不等式 f (m ? 1) ? f (2m ? 3) 成立的 m 的取值范围; (2)已知函数 g(x)=-x2-3,且 f(x)+g(x)为奇函数.若当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1, 求 f(x)的表达式.

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分.

已知关于 x 的不等式 k 4 x ? 2 x?1 ? 6k ? 0 , (1)若不等式的解集为 (1, log 2 3) ,求实数 k 的值; (2)若不等式对一切 x ? (1, log 2 3) 都成立,求实数 k 的取值范围; (3)若不等式的解集为 (1, log 2 3) 的子集,求实数 k 的取值范围。

23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 可以证明, 对任意的 n?N* , 有 (1 ? 2 ? ? ? n)2 ? 13 ? 23 ? ? ? n3 成立. 下面尝试推广该 命题: (1) 设由三项组成的数列 a1 , a2 , a3 每项均非零, 且对任意的 n ?{1, 2,3} 有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? ? an 成立, 求所有满足条件的数列; 3 3 3 (2)设数列 {an } 每项均非零, 且对任意的 n ? N* 有 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? ? an 2 成立, 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 求证: an?1 ? an?1 ? 2Sn , n?N* ;

(3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列 {an } , 使得 a2012 ? ?2011 ? 若存在, 写出一个这 样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.

参考答案: 1.设集合 A={x│ 2-2x≤0,x∈R},则集合 A∩Z 中有_____________个元素.3 x 2.方程 lg x2 ? 2 的解为_____________. ? 10

3.集合 A= {x | x ? 1} , 集合 B= {x | x ? a} , A ? B , 则实数 a 的取值范围是_____________. a ? 1 4.函数 f ( x) ? sin( 5

?
3

? 2 x) 的单调递增区间是_____________. [k? ?

5? 11? , k? ? ], k ? Z 12 12

.函数 y ? cos x,(? ? x ?

3? ) 的反函数是_____________. y ? 2? ? arccos x,(?1 ? x ? 0) 2

?a, x ? 1 6.已知函数 f ( x) ? ? x ,则实数 a 的值为_____________.2 ?2 , x ? 1

7. 已 知 一 个 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 是 1 弧 度 , 半 径 为 1cm , 则 此 扇 形 的 周 长 为 _____________cm. 3 8.在△ABC 中,锐角 B 所对的边长 b ? 10 ,△ABC 的面积为 10,外接圆半径 R ? 13 , 的周长为_____________10+10 3 9.已知 xy ? 0 ,且 xy-9x ? y ? 0 ,则 x ? y 的最小值为_____________.16
? 1 n ?( 2 ) ,1 ? n ? 100, 1 ? 10.数列 {an } ( n ? N * )的通项公式 an ? ? , lim an =_____________. n ?1 n ?? 2 ? , n ? 100, ? 2n ? 3 ?

则△ABC

11.等差数列 {an } 中,公差 d ? 1 , a3 ? a4 ? 1,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? a20 =_____________.80

2 12.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2x ? a ? ,则实数 a 的取值范围是_____________. (??,3) .. x
13.已知函数 f ( x) ? 3x ?b (2 ? x ? 4) 的图像过点(2,1) ,则 F ( x) ? [ f ?1 ( x)]2 ? f ?1 ( x2 ) 的值域为 _____________. [2,5] 14.在正整数数列中, 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色: 由 先染 1, 再染两个偶数 2、 4;再染 4 后面最邻近的三个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的四个连续偶数 10、12、 14、16;再染此后最邻近的五个连续奇数 17、19、21、23、25;按此规则一直染下去,得 到一红色子数 列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,??.则在这个红色子数列中, 由 1 开始的第 2011 个数是_____________3959 二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 15.已知 ?ABC 的三边分别为 a , b, c ,满足 a cos A ? b cos B ,则此三角形的形状是( )C A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C.

等腰或直角三角形

D.

等腰直角三角形

16.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 f ( x) 在[-3,-2]上单调递减,? , ? 是锐 角三角形的两内角,那么 C A. C.
f (sin ? ) ? f (sin ? ) f (sin ? ) ? f (cos ? )





B. D.

f (cos ? ) ? f (cos ? ) f (sin ? ) ? f (cos ? )

17.实数 a , b 满足 a ? b ? 0 且 a ? b ,由 a 、 b 、 B

a?b 、 ab 按一定顺序构成的数列( 2



A.可能是等差数列,也可能是等比数列; B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列; C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列; D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列; 18.若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则下列命题: (1)若数列 {an } 是递增数列,则数列 {Sn } 也是递增数列; (2)数列 {Sn } 是递增数列的充要条件是数列 {an } 的各项均为正数; (3)若 {an } 是等比数列,则 S1 ? S2 ??Sk ? 0(k ? 2, k ? N ) 的充要条件是 an ? an?1 ? 0. 其中,正确命题的个数是 ( )B A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个

三、解答题: (本大题共 5 题,74 分) 19. 本小题满分 12 分) ( 设函数 f ( x) ? lg(x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A, 函数 g ( x) ?
3 ?1 的 x

定义域为集合 B,已知:? : x ? A ? B , ? : x 满足 2 x ? p ? 0 ,且 ? 是 ? 的充分条件,求实数 p 的取值范围. 解:依题意,得 A= (??,?1) ? (2,??) ,B=(0,3] 于是可得 A? B =(2,3] ..................................6 分

p 设集合 C={x|2x+p<0},则 x ? (??,? ) 2
因为 ? 是 ? 的充分条件,所以 A ? B ? C ,

所以 3< ?

p ,即 p<-6. 2

故实数 p 的取值范围是 ( ?? ,?6) .

..................................6 分

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

? 1 13 已知 cos? ? ,cos(? ? ? ) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14
(1)求 tan 2? 的值. (2)求 ? . 解: (1)由 cos ? ?
2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

(2)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

又∵ cos ?? ? ? ? ?

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?
所以 ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

?
3

21.(本小题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 解下列关于 x 的不等式: (1) 4x ? 2 x?1 ? 3 ? 0 ; (2) 解: (1)原不等式分解因式可得 (2x ? 1) ? (2x ? 3) ? 0 ∴ ∴
2?m ? m , (m ? R ) . x ?1

2x ? 3

x ? log2 3
mx ? 2 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? (mx ? 2) ? 0 x ?1

(2)原不等式移项,通分等价转化为

当 m ? 0 时,原不等式即为 ?2( x ? 1) ? 0 ,可得 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ; 当 m>0 时,原不等式即为 ( x ? 1) ? ( x ?
2 2 ) ? 0 ,? ? ?1 m m

∴原不等式的解为 x ? ?1 或 x ? 当-2<m<0 时,?

2 ; m

2 2 ? ?1 ,∴原不等式的解为 ? x ? ?1 ; m m

当 m=-2 时,原不等式为 ( x ? 1)2 ? 0 ,∴原不等式无解; 当 m<-2 时,?
2 2 ? ?1 ,∴原不等式的解为 ?1 ? x ? . m m

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 定 义 : 对 函 数 y ? f ( x) , 对 给 定 的 正 整 数 k , 若 在 其 定 义 域 内 存 在 实 数 x 0 , 使 得
f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? f (k ) ,则称函数 f ( x) 为“ k 性质函数” 。

(1) 若函数 f ( x) ? 2 x 为“1 性质函数” ,求 x0 ; (2) 判断函数 f ( x) ? (3) 若函数 f ( x) ? lg

1 是否为“ k 性质函数”?说明理由; x a 为“2 性质函数” ,求实数 a 的取值范围; x2 ? 1

解: (1)由 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 得 2 x0 ?1 ? 2 x0 ? 2 ,………………. 2 分
? 2 x0 ? 2 ,? x0 ? 1 。

……………….

4分 7分

(2)若存在 x0 满足条件,则

1 1 1 ? ? 即 x02 ? kx0 ? k 2 ? 0 ,………. x0 ? k x0 k

? ? ? k 2 ? 4k 2 ? ?3k 2 ? 0 ,? 方程无实数根,与假设矛盾。? f ( x) ?

“k 性质函数” 。 (3)由条件得: lg
a a a ? lg 2 ? lg , 2 ( x0 ? 2) ? 1 x0 ? 1 5

1 不能为 x …………………. 10 分
…………………. 11 分



a a2 ? ( a ? 0) ,化简得 2 2 ( x ? 2) ? 1 5( x0 ? 1)
2 0

2 (a ? 5) x0 ? 4ax0 ? 5a ? 5 ? 0 ,

………………………. ……………………….

12 分

当 a ? 5 时, x0 ? ?1 ; 当 a ? 5 时,由 ? ? 0 ,
16a2 ? 20(a ? 5)(a ? 1) ? 0 即 a 2 ? 30a ? 25 ? 0 ,
?15 ? 10 2 ? a ? 15 ? 10 2 。

13 分

……………………………. 15 分

综上, a ?[15 ? 10 2,15 ? 10 2] 。

…………………………….16 分

2

3.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 可以证明, 对任意的 n?N* , 有 (1 ? 2 ? ? ? n)2 ? 13 ? 23 ? ? ? n3 成立. 下面尝试推广该

命题: (2) 设由三项组成的数列 a1 , a2 , a3 每项均非零, 且对任意的 n ?{1, 2,3} 有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? ? an 成立, 求所有满足条件的数列;
3 3 3 (2)设数列 {an } 每项均非零, 且对任意的 n ? N* 有 (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ? a1 ? a2 ? ? ? an

2 成立, 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 求证: an?1 ? an?1 ? 2Sn , n?N* ;

(3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列 {an } , 使得 a2012 ? ?2011 ? 若存在, 写出一个这 样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由. 解: (1) 取 n ? 1 , 有 a12 ? a13 , 又 a1 ? 0 , 所以 a1 ? 1 . (2 分)

3 取 n ? 2 , 有 (1 ? a2 )2 ? 1 ? a2 , 于是 a2 ( a2 ? 2)(a2 ? 1)? 0, 又 a2 ? 0 , 所以 a2 ? ?1 或 2.

(4 分)
3 3 取 n ? 3 , 有 (1 ? a2 ? a3 )2 ? 1 ? a2 ? a3 .
2 3 当 a2 ? ?1 时, a3 ? a3 , 又 a3 ? 0 , 所以 a3 ? 1 . 3 当 a2 ? 2 时, (1 ? 2 ? a3 )2 ? 1 ? 23 ? a3 , 整理得, a3 (a3 ? 3)(a3 ? 2) ? 0 , 所以 a3 ? 3 或 ?2 .

综上, 所有满足条件的数列为 1, ?1,1; 1, 2,3; 1, 2, ?2 .
2 3 3 3 (2)由已知, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , 用 n ? 1 替换 n , 得到
3 3 3 (Sn ? an?1 )2 ? a1 ? ? ? an ? an?1 .

(6 分)

两式相减, 有
3 2 an?1 ? (Sn ? an?1 )2 ? Sn

(9 分)

? (2Sn ? an?1 )an?1 .
2 因 an ?1 ? 0 , 所以 an?1 ? an?1 ? 2Sn , n?N* .

(12 分) (18 分)

1 ? n ? 2011, ?n, (3)存在. an ? ? 是一个满足条件的无穷数列. n ?1 ?(?1) ? 2011, n ? 2012

注: 满足(2)中条件的数列递推式为 an ?1 ? an ? 1 或 ? an , 所以符合 a2012 ? ?2011 的数列前

2012 项必须为 1, 2,?, 2011, ?2011 , 之后的项只需满足递推式即可, 但要注意不能出现值为 0 的项.


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