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高考数学一轮复习第七章立体几何7.6空间直角坐标系空间向量及其运算课件理_图文

第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算

【知识梳理】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系:

以空间一点O为原点,具 坐标原点 有相同的单位长度,给

定 定正方向,建立两两垂 坐标轴

义 直的数轴:x轴、y轴、z 轴,建立了一个空间直 角坐标系_____

坐标 平面

Oxyz

点O
_x_轴__、__y_轴__、__z_轴__ 通过每
两个坐标轴 的平面

(2)空间一点M的坐标:

①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,

记作M(x,y,z),其中x叫做点M的_______,y叫做点M的___

横坐标



_____,z叫做点M的_______;

②坐建标立了空间直角坐竖标坐系标,空间中的点M与有序实数组

(x,y,z)可建立_________的关系.

一一对应

2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式: ①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则|AB|=_______________________;
②设点P(x?,x y1 ,-zx )2?,2 则+ ?与y 1坐-y2 标?2原+ ?点z1-Oz 之2?2 间的距离为
|OP|=____________.
x2 +y2 +z2

(2)中点公式: 设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,

? ?

x

?

=

x1+ x2 , 2

则 _???_y__= _y_1 _+2 _y_2 _,

? ??

z

=

z1 + 2

z2 .

3.空间向量的有关概念

名称 空间向量 相等向量
相反向量 共线向量 (或平行向量) 共面向量

定义
在空间中,具有__大__小_和_方__向__的量 方向__相_同__且模_相__等__的向量 方向_____且模_____的向量 相反 相等
表示空间向量的有向线段所在的直线互 相___________的向量
平行平或行重于合___________的向量
同一个平面

4.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理:对空间任意两个向a,b(b≠0),a∥b

的充要条件是存在实数λ,使得______. a=λb
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b_______,那么向量p
与向量a,b共面的充要条件是存在___不__共的线有序实数对

(x,y),使________.

唯一

p=xa+yb

(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_不__共__面__,那 么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得

___________.其中, ________叫做空间的一个基底.

p=xa+yb+zc

{a,b,c}

5.空间向量的数量积及坐标运算

向量和 向量差

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) a+b= _(_a_1_+_b_1,_a_2_+_b_2_,_a_3+_b_3_)_ a-b= __________________
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

数量积 a·b=___a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b3

共线 垂直 夹角


a(∥λ b∈?Ra,b=≠λ0)b?_a_1_=_λ__b_1,_a_2_=_λ__b_2_,_a_3=_λ__b_3_ a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0

cos<a,b>= ab
|a|= = a b

= a1b1?a2b2?a3b3
a12?a22?a32? b12?b22?b32

aa

a12 ?a22 ?a32

【特别提醒】

1.对空间任一点O,若

(x+y=1),则P,A,B

O P?xO A ?yO B

三点共线.

2.对空间任一点O,若

(x+y+z=1),则

P,A,B,C四点共面. O P ? x O A ? y O B ? z O C

3.向量的数量积满足交换律、分配律,即 a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即 (a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.

【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 =a, =b,
=c,则下列向量中与相等的向量是 ( A B ) A D
AA1

A.- 1 a+ 1 b+c 22
B. 1 a+ 1 b+c

C.-2 1

a-2 1

b-c

D.- 2 a-2 b+c 11

22

【解析】选C

C1M ? C1C ? CM

? ? ?

?

AA1

?

1 2

AC

?

?

AA1

?

1 2

AB ? AD

11 ? ? 2 AB ? 2 AD ? AA1

? ? 1 a ? 1 b ? c. 22

2.(选修2-1P98T8改编)已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若

|a|=6,且a⊥b,则x+y的值为

.

【解析】由|a|=6,得

,解得x=±4,

又a⊥b,所以2×2+4y+222x?=402? .即x2x?+62y=-2,

当x=4时,得y=-3,所以x+y=1

当x=-4时,得y=1,所以x+y=-3.

答案:1或-3

感悟考题 试一试

3.(2016·莆田模拟)O为空间任意一点,若 OP ? 3OA?

,则A,B,C,P四点 ( )

4

A18 .O一B ?定18不OC共面

B.一定共面

C.不一定共面

D.无法判断

【解析】选B.由

知,A,B,C,P四点共面.

3?1?1 ?1 488

4.(2016·昆明模拟)已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且

a·b=2,则x的值为 ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【解析】选C.因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),

所以a·b=-3+2x-5=2,

解得x=5.

5.(2016·合肥模拟)已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称

点为B,而B关于x轴的对称点为C,则 =

.

BC

【解析】由题意知B(1,2,1),C(1,-2,-1),

则 =(0,-4,-2).

答案B :C (0,-4,-2)

考向一 空间向量的线性运算

【典例1】(1)向量a=(2,0,5),b=(3,1,-2),c=(-1,4,0),

则a+6b-8c=

.

(2)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平

行四边形,设 =a, =b, =c,M,N,P分别是
AA1 AB AD
AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:

① ;② + .

AP

MP NC1

【解题导引】 (1)根据向量坐标线性运算的法则进行运算. (2)利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他 向量表示,逐渐向向量a,b,c靠拢.

【规范解答】 (1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2)-8(-1,4,0) =(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7)

(2)①因为P是C1D1的中点,

所以 A P = A A 1 + A 1 D 1 + D 1 P = a + A D + 1 2 D 1 C 1

= a+ c+ 1AB = a+ c+ 1b.

2

2

②因为M是AA1的中点, 所 因以 为NM 是P = BM CA 的+ A 中P = 点1 2 ,A 1 所A + 以A P = - 1 2 a + ( a + c + 1 2 b ) = 1 2 a + 1 2 b + c .
所N C 以 1 = N C + C C 1 = 1 2 B C + A A 1 = 1 2 A D + A A 1 = 1 2 c + a , M P + N C 1 = (1 2 a + 1 2 b + c ) + ( a + 1 2 c ) = 2 3 a + 1 2 b + 2 3 c .

【母题变式】

在例(2)的条件下,若 表示 .

AE=12EC, A1F=2FD,试用a,b,c

【解析E F】如图,连接AF,



由已EF 知= E AA B+ CA DF.是平行四边形,

故 A C = A B + A D = b + c , A 1 D = A 1 A + A D = - a + c .
又 EA = - 1AC = - 1?b+ c?,
由已知 3 3

所以 A1F=2FD,

所以 A F = A D + D F = A D - F D = A D - 1 3 A 1 D = c - 1 3 (c - a )= 1 3 ?a + 2 c?,

E F = E A + A F = - 1?b + c?+ 1(a + 2 c)=1?a-b+c?.

33

3

2.在本例(2)的条件下,若 M N =xa+yb+zc,则求x,y,z的 值.

【解析】

MN

?

MA

?

AN

?

?

1 2

AA1

?

AB

?

BN

?

?

1 2

AA1

?

AB

?

1 2

AD

?

?

1 2

a

?

b

?12c.

故x ? ?1,y ?1,z ? 1.

2

2

【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形 中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用 已知基向量表示出来.

2.向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向 末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法 的多边形法则.

【变式训练】

在三棱锥O-ABC中,点M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC

的重心,用基向量 , , 表示

,.

OA OB OC

MG OG

【解析】
MG?MA?AG
? ? ?1OA?2AN?1OA?2 AO?ON 23 23
? ? ?12OA?32???AO?12 OB?OC????12OA?23OA?13OB?13OC
??1OA?1OB?1OC. 6 33

OG ? OA ? AG ? OA ? 2 AN 3

? ? ? ? ? OA? 2 3

AO ? ON

?

OA

?

2 3

???AO

?

1 2

OB? OC

? ??

? OA ? 2 OA ? 1 OB? 1 OC 3 33

? 1 OA ? 1 OB? 1 OC. 3 33

【加固训练】

1.已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,点

M在线段PC上,点N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若

=x +y +z ,则x+y+z=

.

MN AB AD AP

【解析】

如 图 ,M N ? P N ? P M ? 1 P D ? 2 P C 23

? ? ? ? ? 1 A D ? A P ? 2 P A ? A C

2

3

? ? ? 1 A D ? 1 A P ? 2 A P ? 2 A B ? A D 2 233

? ? 2 AB ? 1 AD ? 1 AP. 36 6

所以x?y?z? ?2?1? 1 ? ?2. 366 3

答案:- 2
3

2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.

(1)化简: (2)用

A1O-12AB-12AD.

(3)设E是A B 棱,A DD D,1A 上A 1 的表 示 点O ,C 且1 .

若DE=

2 3

DD1,

试求x,y,z的值.

E O = x A B + y A D + z A A 1 ,

【解析】(1)因为 A B + A D = A C ,





A

1O-

1 2

AB-

1 2

AD=A

1O-

1 2

(

AB+A

D

)

=A1O-

1 2

AC=A1O-AO=A

1A.

?2?

OC1

?

OC

?

CC1

?

1 2

AC

?

CC1

? ? ? 1 2

AB ? AD

?

AA1

?

1 2

AB

?

1 2

AD

?

AA1.

(3)如图所示,



为EO=ED+D

O=

2 3

D1D+

1 2

DB



2 3

D1D+

1 2

(DA+AB)=

2 3

A1A+

1 2

DA+

1 2

AB



1 2

AB-

1 2

AD-

2 3

AA1,

所以x= 1,y=- 1,z=- 2 .

2

2

3

考向二 共线向量与共面向量定理的应用

【典例2】(1)(2016·佛山模拟)已知a=(λ +1,0,2),

b=(6,2μ -1,2λ ),若a∥b,且a与b反向,λ +μ =

.

(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在

AC1和BC上,且满足

(0≤k≤1).

A M ? k A C 1 ,B N ? k B C

①向量 是否与向量

共面?

②直线MMN是N 否与平面ABBA1AB1,平AA行1 ?

【解题导引】(1)根据a∥b列方程组求λ,μ,再把λ,μ

代入向量a,b,确定a与b反向的情况.

(2)①看向量 是否可表示成

的形式.

②看 能否与M平N 面ABB1A1两相x交AB 直?线yA 的A1方向向量共面,

且 M是N否在该平面内,从而作出判断.

MN

【规范解答】(1)由题意知b=ka,
即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),
6=k(λ +1),
2μ -1=0, 所以
2λ =2k,

λ =2,

λ =-3,

解得
μ=1



μ=1 ,



?? ?

? 时2 , ,a=2 (3,0,2),b=(26,0,4),a与b同向.

? ??

?

?

1 2



? ?

?

? 时- 3 ,,a=(-2,0,2),b=(6,0,-6),a与b反向,因此

λ=???-?3?,μ12 =

,λ+μ=-
1

5

2

2

答案:- 5 2

(2) ①因为AM? kAC1,BN? kBC. 所以MN? MA?AB?BN? kC1A?AB?kBC
? ? ? ? ?k C1A?BC ?AB?k C1A?B1C1 ?AB ? ? ? kB1A?AB? AB?kAB1 ? AB?k AA1 ?AB
? ?1? k?AB? kAA1,

所以由共面向量定理知向量 与向量 , 共面.

MN

AB AA1

②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内; 当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内, 又由(1)知 与 , 共面, 所以MN∥M平N 面AA BB B1AAA 11 .

【规律方法】 1.空间三点共线的判断方法 结合已知向量从三点中提炼两个共点向量,利用共线向 量定理判断,但一定要说明两线有公共点.

2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四 点共面.

(1) M P = xM A + yM B .

(2)对空间任一点O, O P = O M + x M A + y M B .
(3)对空间任一点O,

(4)

O P = x O M + y O A + z O B ( x + y + z = 1 ) .

P M A B ( 或 P A M B 或 P B A M ) .

【变式训练】已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任
? ? 一点O,若点M满足 OM?1OA?OB?OC
(1)判断 , , 三3个向量是否共面. (2)判断点MMA是否M B在平M C面ABC内.

【解析】
?1?由已知OA?OB?OC?3OM,
? ? ? ? 所以OA?OM? OM?OB ? OM?OC ,
即MA?BM?CM??MB?MC, 所以MA,MB,MC共面.

(2)由(1)知 , , 共面且过同一点M. MA MB MC
所以四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.

【加固训练】

1.有下列命题:

①若p=xa+yb,则p与a,b共面;

②若p与a,b共面,则p=xa+yb;

③若

,则P,M,A,B共面;

④若PM ,MP ,? A,x M B共A 面? y ,M 则B

.

M P?x M A ?y M B

其中真命题的个数是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.①正确.②中若a,b共线,p与a不共线,则

p=xa+yb就不成立.③正确.④中若M,A,B共线,点P不在

此直线上,则

不正确.

M P?x M A ?y M B

2.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA 的中点, (1)求证:E,F,G,H四点共面. (2)求证:BD∥平面EFGH. (3)设M是EG和FH的交点,求证: 对空间任一点O,有
? ? O M ?1O A ?O B ?O C ?O D 4

【证明】(1)连接BG,则 E G ? E B ? B G
? ? ?EB?1BC?BD?EB?BF?EH 2 由?E共F面?E向H,量定理的推论知: E,F,G,H四点共面.

(2)因为 E H ? A H ? A E
? ? ?1AD?1AB?1 AD?AB 222 所?12以BEDH, ∥BD. 又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.

由(2)知 EH ? 1同B理D,

所以

即EH2 FG,

FG ? 1 BD, 2

所以四EH边?形FGE,FGH是平行四边形.

所以EG,FH交于一点M且被M平分.

? ? 故OM ? 1 OE ? OG ? 1 OE ? 1 OG

2

22

? ? ? ? ? 1[ 1 OA ?OB ]? 1[ 1 OC?OD ]

22

22

? ? ? 1 OA ? OB? OC? OD . 4

考向三 空间向量数量积的计算与应用 【考情快递】

命题方向
空间向量数量积的 计算

命题视角 重点考查数量积的计算公式

空间向量数量积的 重点考查空间向量的垂直、夹角、

应用

长度等问题

【考题例析】 命题方向1:空间向量数量积的计算 【典例3】(2016·长沙模拟) 如图所示,已知空间四边形 ACBD的每条边和对角线长 都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:

?1? EF BA . ?2?EG BD.
【解题导引】选三个不共面的向量为基底,分别将相关 向量用基向量表示,根据向量数量积运算法则转化为基 向量的数量积运算.

【规范解答】设 A B = a , A C = b 则, A D |a= |=c , |b|=|c|=1, <a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.
?1?EF=1 BD=1 c-1 a,BA=-a,
2 22 所以EF? BA=( 1 c ? 1 a)?(-a)
22 =-1 a ?c+1 a2=-1+1=1 .
2 2 424

? 2 ? E G= E B+ B C+ C G

= 1 A B+ ( A C- A B )+ 1 ( A D- A C )

2

2

= - 1 A B+ 1 A C+ 1 A D= - 1 a + 1 b + 1 c ,

222

222

BD ? AD ? AB ? c ? a.

所 以 EG ?BD ? (? 1 a ? 1 b ? 1 c)??c ? a?
222 ? 1 a2 ? 1 a ?b ? 1 b ?c ? 1 c2 ? a ?c
22 2 2 ? 1?1? 1? 1?1 ? 1.
24422 2

【易错警示】解答本题有三点容易出错:

(1)在选择基底时,忽视不共面的条件而致误.

(2)在根据空间向量基本定理利用基向量表示相关向量



时出错.

(3)E在F,向EG量的数量积运算时出错.

命题方向2:空间向量数量积的应用

【典例4】(2016·九江模拟)在斜三棱柱OAB-CA1B1中,

向量

,

三个向O A 量? 之a , 间O B 的? 夹b ,O 角C 均? c

为 ,点M,N分别在CA1,BA1

上且? 3

,如图.

C M ? 1 2 M A 1 ,B N ? N A 1 , O A ? 2 , O B ? 2 , O C ? 4

(1)把向量AM 用向量a,c表示出来,并求 AM .
(2)把向量 用a,b,c表示出来. ON
(3)求AM与ON所成角的余弦值.

【解题导引】(1)先把 用a,c表示,再利用|
AM

|2A M

= · ,求| |.

AM AM AM
(2)利用 = ( + )求解.
1 (3)先求 O N· 2 ,再O求A 1| O|B,最后代入夹角公式求解.

AM O N

ON

【规范解答】

?1?AM?AO?OC?CM,CM?1a,
3

所以AM??2a?c,因为ac?4,所以AM?4 7.

3

3

?2?ON?12(OA1?OB),因为OA1?OA?OC, 所以ON?1?a?b?c?.
2

?3? A M O N ? (? 2 a ? c) 1 ?a ? b ? c ?,
32 a b ? 2,b c ? c a ? 4, AM ON ? 26 , ON ? 11,
3 c o s 〈 A M , O N〉? A M O N ? 1 3 7 7 ,
AM ON 154
即 为 AM 与 ON所 成 的 角 的 余 弦 值 .

【技法感悟】 1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法:a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

2.利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题
(1)a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0.
(2)|a|= . (3)cos<a,ba 2>= a b .
ab

【题组通关】

1.(2016·兰州模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向 量的数量积一定不为0的是 ( )

A. C. AD1 B1C

B. D. BD1 AC

ABAD1

BD1 BC

【解析】选D.选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得 AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有 =0;
AD1 B1C 选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得 AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有 =0; 选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面BADD1 DAC1A1,可得 AB⊥AD1,此时必有 =0;
ABAD1

选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得
BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,
故BC与BD1不可能垂直,即 ≠0. BD1 BC

2.(2016·泸州模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1= ,设 =a,
2 AB =b, =c. (A1D)试用AaA,1b,c表示向 量, . (2)A若C ∠BAD11AD=∠A1AB=120°,求直线AC与BD1所成的角.

【解析】(1)由向量的加减运算法则知:
AC?a?b, BD1?AD1?AB?b?c?a.
?2?由题意 a ? b ?1,c ? 2〈, a,b〉? 90?,
〈a,c〉?120?〈, b,c〉?120?,
AC BD1 ? ?a ?b??b ?c ?a? ? a c ?a2 ?b2 ?b c
?1 2 cos 120??1?1?1 2cos 120? ? ? 2 ? 2 ? ? 2,
22

AC ? 2, BD1 ? ?b ? c ? a?2
? b2 ? c2 ? a2 ? 2(b c ? a b ? a c)

?

? 1? 2 ?1? 2??
?

2 ? (? 2

2 2

? )? ?

?

4 ? 2,

所 以 cos〈AC, BD1〉?

AC AC

BD1 BD1

?

?2 22

??1, 2

所 以 〈AC,BD1〉? 120?,即 AC与 BD1所 成 的 角 为60?.

编后语
? 同学们在听课的过程中,还要善于抓住各种课程的特点,运用相应的方法去听,这样才能达到最佳的学习效果。 ? 一、听理科课重在理解基本概念和规律 ? 数、理、化是逻辑性很强的学科,前面的知识没学懂,后面的学习就很难继续进行。因此,掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解,
同时,大家要开动脑筋,思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的,要边听边想。为讲明一个定理,推出一个公式,老师讲解顺序是怎样的, 为什么这么安排?两个例题之间又有什么相同点和不同之处?特别要从中学习理科思维的方法,如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 ? 作为实验科学的物理、化学和生物,就要特别重视实验和观察,并在获得感性知识的基础上,进一步通过思考来掌握科学的概念和规律,等等。 ? 二、听文科课要注重在理解中记忆 ? 文科多以记忆为主,比如政治,要注意哪些是观点,哪些是事例,哪些是用观点解释社会现象。听历史课时,首先要弄清楚本节教材的主要观点,然 后,弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实,这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后,也是关键的一环,看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索:这些史料能不能充分说明观点?是否还可以补充新的史料?有无相反的史料证明原观点不正确。 ? 三、听英语课要注重实践 ? 英语课老师往往讲得不太多,在大部分的时间里,进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此,要上好英语课,就应积极参加语言实践活 动,珍惜课堂上的每一个练习机会。

2019/5/23

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