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江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试12月数学试题

江苏省如皋中学 2017-2018 学年度第一学期第二次阶段测试 高三数学 一.填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡 ... 相应位置 上. .... 1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则?U(M∪N)=______. 【答案】 【解析】 故答案为 2. 一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初 级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中抽 取样本.若样本中具有初级职称的职工为 10 人,则样本容量为______. 【答案】40 【解析】设样本容量为 ,由于每个人个体被抽到的概率等于 ,故答案为 . 3. 若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线 x2-y2=8 的一个焦点,则 p=______. 【答案】8 【解析】 双曲线 的焦点 双曲线 也是双曲线 的焦点坐标是 的一个焦点, 与 ,又抛物线 ,故答案为 . ,则由 ,解得 ,答案为 . 4. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取一点 M,则四棱锥 M ABCD 的体积小于 的概率为______. 【答案】 1 【解析】 正方体 的棱长为 正方体体积 ,解之得 ,当四棱锥 ,则点 在到平面 的体 积小于 时,设它的高为 ,则 截面以下时, 四棱锥 的体积 5. 已知 a∈R,若 【答案】 【解析】化简可得 数, ,解得 的距离等于 的 的体积小于 , 求得使得四棱锥 四棱锥 的体积小于 的概率 的体积小于 的长方体 ,故答案为 . 为实数,则 a=______. 上面的数为实 ,故答案为 . ”的______条件.(填 6. 设向量 a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则“a∥b”是“ “充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 【答案】必要不充分 7. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 最小值为______. 【答案】2 ,那么点 到直线 的距离的 2 【解析】 由约束条件 作出可行域如图,由图可知,当 与 重合时, 到直线 的距离最小为 ,故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”: (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚 线) ; (2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通 过或最后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8. 椭圆 的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2 作倾斜角为 120°的直线与椭 圆的一个交点为 M,若 MF1 垂直于 MF2,则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 如图,在 中, ,故答案为 3 , . 【 方法点睛】本题主要考查椭圆的定义,椭圆的几何性质以及离心率,属于难题. 离心率 的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:① 直接 求出 ,从而求出 ;② 构造 的齐次式,求出 ;③ 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定 义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解. 9. 若实数 【答案】 【解析】 即 b-1=2a,又 故答案为 . 10. 如图,半径为 1 的扇形 AOB 的圆心角为 120°,点 C 在弧 =λ +2μ ,则 =______. 上,且∠COB=30°.若 ,所以 a= ,b= 时取等. ,当且仅当 , ,且 ,则 的最小值为____. 【答案】 【解析】根据题意,可得 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴 建立平面直角坐标系,如图所示: 则有 即 , 于是 , , , 4 由 ,得 , ,解得 ,故答案为 . 11. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 的值为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”,这个常 数称为数列{an} 的“吉祥数”.已知等差数列{bn}的首项为 1,公差不为 0,若数列{bn}为 “吉祥数列”,则它的“吉祥数”是_____. 【答案】 【解析】设等差数列 的公差为 , 对任意正整数 上式均成立, ,故答案为 . 12. 如图,在△ABC 中, 则 cos∠C=_______. , , ,AB=2,点 D 在线段 AC 上,且 AD=2DC, , 【答案】 【解析】试题分析: 所以 ,负舍;因而 ,因为 ,故 考点:向量数量积,二倍角公式,余弦定理 5 【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三 角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇. 不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题, 都会出现交汇问题中的难点, 对于此类问题的 解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相 关知识进行求解. 13. 已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有 ,那么 k 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】试题分析:当 , ,从而圆心 到直线 ,又直线与圆 . 考点:直线和圆的方程的应用及向量的运算. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用及平面的概念、运算,着重考查了 分类讨论思想方法和转化的思想方法, 属于中档试题, 本题的解答中, 根据 时, 和圆 三点为等腰三角形的三个顶点,可解得此时此时 存在两个公共点,即可求解实数 的取值范围. 在实数集 R 上恒成立,则正整数 的最大值是_____. ] ,当 时,可判定直线 的距离为 ,此时 存在两交点,故 ;当 时, 时, 三点为等腰三角形的三个

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