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2013届高三数学考点限时训练6


2013 届高三数学考点大扫描限时训练 006
1. cos 75 ? cos 15 ? cos 75 cos 15 的值等于
2 ? 2 ? ? ?



?x ? 1 ? 2 2 2. 如果实数 x. y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为 5 元,同时每销售一枚这种纪念 章还需向北京奥组委交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格销售时该店 一年可销售 2000 枚, 经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一 元则增加销售 400 枚, 而每增加一元则减少销售 100 枚, 现设每枚纪念章的销售价格为 x 元 (x ∈N*) . (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销售价 格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域) ; (2)当每枚纪念销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y(元)最大,并求出这 个最大值.

4. 对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有

f ( x) ? 0; f 1 1 ; ) ② ( ? ③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,
则称函数 f ( x ) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x ) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明;
x

(3)若函数 f ( x ) 为理想函数,假定 ? x0 ??0,1? ,使得 f ( x0 ) ??0,1? ,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证

f ( x0 ) ? x0 .

参考答案:
1.

5 ;2.5; 4

* ?[2000 ? 400(20 ? x)]( x ? 7), 7 ? x ? 20, x ? N 3. 解: (I)依题意 y ? ? …………………3 分 * ?[2000 ? 100( x ? 20)]( x ? 7), 20 ? x ? 40, x ? N



?x ) ?4 0 0 ( 2 5 x ? ( y?? ?x ) ?1 0 0 ( 4 0 x ? (

* 77 )x ? 2 0 x ? N ? , , ………………………5 分 * 270) , x ? 4 0x, ? N ?

此函数的定义域为 {x | 7 ? x ? 40, x ? N *}

………………………7 分

?400[?( x ? 16) 2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N * ? (Ⅱ y ? ? ) 27 2 1089 , 20 ? x ? 40, x ? N * ?100[?( x ? ) ? 2 4 ?

…………………………9 分

当 7 ? x ? 20 ,则当 x ? 16 时, ymax ? 32400 (元) ;…………………………11 分 当 20 ? x ? 40 ,因为 x∈ *,所以当 x=23 或 24 时, ymax ? 27200 (元) N ;……13 分 综合上可得当 x ? 16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32400 元.……………15 分 4. 解: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 .……………………1 分 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 .………………………3 分 (2)显然 g ( x) ? 2 x ?1 在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ;………………………4 分 也满足条件② g (1) ? 1 .………………………-5 分 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③,………………8 分
故 g (x) 理想函数. ………………………-9 分

(3)由条件③知,任给 m 、 n ?[0,1],当 m ? n 时,由 m ? n 知 n ? m ?[0,1],

? f (n) ? f (n ? m ? m) ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m) .………………………11 分
若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾;………………………13 分

若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾.………………………15 分 故 x0 ? f ( x0 ) . ………………………16 分


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