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2019年高考数学一轮复习课时分层训练73绝对值不等式理北师大版


课时分层训练(七十三) 1.已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 绝对值不等式 [解] (1)由不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 得 1≤x≤2, ∴m=1,n=2,m+n=3. (2)证明: ∵|x-a|<m=1, ∴|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1, 即|x|<|a| +1. 2.已知函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为 a. (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)≤5. 【导学号:79140396】 [解] (1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,从而解得 a=2. (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2| -2x+6,x≤2, ? ? =?2,2<x≤4, ? ?2x-6,x>4. 1 故当 x≤2 时,令-2x+6≤5,得 ≤x≤2, 2 当 2<x≤4 时,显然不等式成立, 11 当 x>4 时,令 2x-6≤5,得 4<x≤ , 2 ? 1 ? 11 ? 故不等式 f(x)≤5 的解集为?x? ≤x≤ 2 ? ? ?2 ? ? ?. ? ? 3.(2018·武汉调研)(1)求不等式|x-5|-|2x+3|≥1 的解集; 1 (2)若正实数 a,b 满足 a+b= ,求证: a+ b≤1. 2 3 [解] (1)当 x≤- 时,-x+5+2x+3≥1, 2 3 解得 x≥-7,∴-7≤x≤- ; 2 3 当- <x<5 时,-x+5-2x-3≥1, 2 1 3 1 解得 x≤ ,∴- <x≤ ; 3 2 3 1 当 x≥5 时,x-5-(2x+3)≥1,解得 x≤-9,舍去. 1 综上,-7≤x≤ . 3 ? ? 1 ? 故原不等式的解集为?x?-7≤x≤ 3 ? ? ? ? ? ?. ? ? (2)证明:要证 a+ b≤1,只需证 a+b+2 ab≤1, 1 1 即证 2 ab≤ ,即证 ab≤ . 2 4 1 1 而 a+b= ≥2 ab,∴ ab≤ 成立. 2 4 ∴原不等式成立. ? 2a +1?+|x-a|(a>0). 4.(2018·东北三省四市模拟(一))已知函数 f(x)=?x+ ? ? a 2 ? (1)证明:f(x)≥2 3; (2)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥5 的解集. [解] (1)证明:由题知 ? 2a +1?+|x-a|≥?2a +1+a? f(x)=?x+ ? a ? a ? ? ? ? ? 1 =3a+ ≥2 3. 2 2 a (2)当 a=1 时,f(x)=|x+3|+|x-1|, 解不等式|x+3|+|x-1|≥5, ?x≤-3, ? 得? ?-2x-2≥5 ? ?-3≤x≤1, ? 或? ?4≥5 ? 或? ?x≥1, ? ?2x+2≥5, ? 7 3 解得 x≤- 或 x≥ , 2 2 ? ? ? 7 3 所以原不等式的解集为?x?x≤- 或x≥ 2 2 ? ? ? ? ? ?. ? ? 5.(2018·石家庄质检(二))设函数 f(x)=|x-1|-|2x+1|的最大值为 m. 【导学号:79140397】 (1)作出函数 f(x)的图像; (2)若 a +2c +3b =m,求 ab+2bc 的最大值. 2 2 2 2 [解] x+2,x≤- , 2 ? ? 1 (1)f(x)=? -3x,- <x<1, 2 ? ?-x-2,x≥1, 1 画出图像如图,

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