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www.hg3354.com:2.4.1平面向量的数量积ok:课件一(24张PPT)_图文

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§2.4平面向量的 数量积
一、 平面向量的数量积的物 理背景及其含义 ( 阳谷三中 2013、4、10)

学习目标: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.掌握向量垂直的条件.

向量的夹角
? a
O A A ?

θ
B

? b

a
θ
O

? b
B

0?? ??
? Oa
? ?0

? b
O

? a
?? ?
2

? b

? Oa
? ??

? b

我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图)
F
θ

S

力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ

规定:零向量与任一向量的数量积为0。

a· b=|a| |b| cosθ
注意:
(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量. (2)一种新的运算法则,以前所学的运算律、性质不适合.

(3) a · b中“.”不能省略,也不能写成a×b ,a×b 表示向 量的另一种运算.

例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求 a· b.
解:a· = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° b
=5×4×(-1/2)= -10

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

两个向量的数量积与实数同向量的积有什么区别?

? ? ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? B b (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |; θ A O ? ? ? ? ? ? B a 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |; ? ? ? 2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? ? ? ? ? a ?b (4) cos? ? ? ? (5) | a ? b |?| a || b |
1

? ? ? ? e 设 a、b 是非零向量, 是与b 方向相同的 ? ? 单位向量, 是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? a· b=|a| |b| cosθ (1)e ? a ? a ? e ?| a | cos?

| a || b |

练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a ·b=0.√
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a ·b =0,则b=0 × × 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 6.若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当 × a=0 时成立. 2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | √

投影
? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?
投 影 b 是 向 ? 量 O a B1 A 吗 ? ? ? b cos ? 叫做向量b 在向量a的方向上的投影,
即有向线段O B 的数量 1

B

? ? ? b在a上的投影:b | cos ? | ? ? ? a在b上的投影:a | cos ? |

投影
B

数量积: B b O

a · =| a || b |cos? b B

θ
a

b
B1 B1

θ
O
a

b A
O

θ
a A

A

| b |cos ??0 O A

| b |cos ?<0

| b |cos ?=0

B

B

A O | b |cos ??-?b?

| b |cos ???b?

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?
b
O

B

θ |b|cosθ B1 a

A

? ? ? ? ? ? a ? b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
? | b | cos? 的乘积。

探究: 平面向量数量积的运算律

思考1:a· b与b· a是什么关系?为什么? a· a 运算律(1) b=b·

思考2:对于实数λ ,(λa)· b有意义吗? 它可以转化为哪些运算? 运算律(2)(λa)·=λ(a· b b)=a· (λb)

探究: 平面向量数量积的运算律

思考3:对于向量a,b,c,(a+b)· c有意 义吗?它与a· c+b· c相等吗?为什么?
A θ a θ O
1

b θ M

2

(a + b) · = ON |c| c = (OM + MN) |c| B = OM|c| + MN|c|

a+b

运算律 (3)

? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

N

c

C

= a· + b· . c c

探究: 平面向量数量积的运算律

思考4:对于非零向量a,b,c,(a· c b)· 有意义吗?(a· c与a· c)相等吗?为什 b)· (b· 么? (a· c≠a· c) b)· (b·

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
? ? ? 其中, 、b 、c 是任意三个向量, ? R a ?
? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

例 2:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· 2; b+b (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· 2. b+b

例 2:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· 2; b+b (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a-a· b-b· b

=a2-b2.

例3、已知 | a |? 6, | b |? 4, a与b的夹角为60 ?,求
(1) (a ? 2b) ? (a ? 3b); (2) | a ? b | .

解:

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 (1) a ? 2b ? a ? 3b ? a ? a ? b ? 6b ?2 ? ? ?2 ? ? a ? a b cos 60 ? 6b

?

??

?

1 ? 62 ? 6 ? 4 ? ? 6 ? 42 ? ?72 2
? ? ? ? ? ? (2) | a ? b |? (a ? b) ? (a ? b) ?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? b ? b ?2 ? ? ?2 ? ? a ? 2 | a || b | cos 60 ? b ? 2 19

? ? 例5.已知 | a |? 3,| b |? 4, 当且仅当k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直? 解:

? a ? k b与a ? k b互相垂直 ? a ? kb ? a ? kb ? 0

?

??

?

又? a ? k b ? a ? k b ? a ? k b
2 2

?

??
2

?

2

a ? k b ? 9 ? 16k
2 2

2

3 ?k ? ? 4

? ? ? ? ? ? ? ? 1、若 | a |?| b |? 1, a ? b 且2a ? 3b 与ka ? 4b 也 互相垂直,求k的值。 K=6 ? ? ? 2、设a是非零向量,且b ? c , 求证: ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c )

练习

小结:
? ? ? ? ? 1. a ? b ?| a || b | cos ?

? ? ? ? ? 2. a ? b ? a ? b ? 0
?2 ? 2 a ?| a |
可用来求向量的模

3.投影

作业

? P1081.2.3


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