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广东省汕头市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

2015 年广东省汕头市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则 B∩ (?UA)=( ) A. {2} B. {4} C. {1,2,4} D. {1,4} 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 根据题意,先求出 A 的补集?UA,再由交集的意义,计算可得(?UA)∩ B,即可得 答案 【解析】 : 解:根据题意,集合 U={1,2,3,4},A={1,2}, 则?UA={3,4}, 又由 B={2,4}, 则(?UA)∩ B={4}; 故选:B. 【点评】 : 本题考查集合混合运算,注意运算的顺序,其次要理解集合交、并、补的含义.

2. (5 分)已知 i 是虚数单位,若 A. 1﹣2i B. 2﹣4i C. ﹣2

=1﹣i,则 z 的共轭复数为( i D. 1+2i



【考点】 : 复数的基本概念. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出. 【解析】 : 解:∵ ∴ = =1﹣i, = =1+2i.

∴ =1﹣2i. 故选:A. 【点评】 : 本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义,属于基础题.

3. (5 分) 若

, 是两个非零的平面向量, 则“

”是“



的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 平面向量及应用;简易逻辑. 【分析】 : 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

-1-

【解析】 : 解:若 则“ ”是“

,则

,即



”的充要条件,

故选:C 【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用向量数量积的运算和性质是解决 本题的关键.

4. (5 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ A. 向左平移 C. 向左平移

)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( 个单位长度 个单位长度



个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解析】 : 解: 把函数 y=sin2x 的图象向右平移 (2x﹣ )的图象, 个单位长度, 可得函数 y=sin2 (x﹣ ) =sin

故选:D. 【点评】 : 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 5. (5 分)设{an}是首项为﹣ ,公差为 d(d≠0)的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2, S4 成等比数列,则 d=( A. ﹣1 B. ﹣ C. ) D.

【考点】 : 等差数列的前 n 项和. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 由等差数列的前 n 项和得到 S1,S2,S4,再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求得 d 的值. 【解析】 : 解:∵ 且 S1,S2,S4 成等比数列, 则 ,解得:d=﹣1 或 d=0(舍) . ,S2=2a1+d=d﹣1,S4=4a1+6d=6d﹣2,

故选:A. 【点评】 : 本题考查了等差数列的前 n 项和,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.

-2-

6. (5 分)已知直线 l1: (m﹣1)x+y+2=0,l2:8x+(m+1)y+(m﹣1)=0,且 l1∥l2,则 m= ( ) A. B. ±3 C. 3 D. ﹣3

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 值. 【解析】 : 可得 =

直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 由条件根据两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得 m 的 解:根据直线 l1: (m﹣1)x+y+2=0,l2:8x+(m+1)y+(m﹣1)=0,且 l1∥l2, ≠ ,求得 m=3,

故选:C. 【点评】 : 本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于 常数项之比,属于基础题.

7. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则

此点到直线 y+2=0 的距离大于 2 的概率是( A. B. C. D.



【考点】 : 简单线性规划的应用. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 根据题意,在区域 D 内随机取一个点 P,则 P 点到直线 y+2=0 的距离大于 2 时, 点 P 位于图中三角形 ADE 内,如图中的阴影部分.因此算出图中阴影部分面积,再除以大三 角形 ABC 面积,即得本题的概率.

【解析】 : 解:区域 D:

表示三角形 ABC, (如图)

其中 O 为坐标原点,A(4,3) ,B(﹣6,﹣2) ,C(4,﹣2) ,D(﹣2,0) ,E(4,0) 因此在区域 D 内随机取一个点 P, 则 P 点到直线 y+2=0 的距离大于 2 时,点 P 位于图中三角形 ADE 内,如图中的阴影部分 ∵S 三角形 ADE= ?6?3=9, S 三角形 ABC= ?10?5=25,

∴所求概率为 P= 故选 D.

=

-3-

【点评】 : 本题给出不等式组表示的平面区域,求在区域内投点使该到直线 y+2=0 的距离大 于 2 概率,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点,属于基础题. 8. (5 分)程序框图如图所示,若其输出结果是 30,则判断框中填写的是( )

A. i<7? B. i<5? C. i>7? D. i>5? 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,i 的值,当 s=30 时,由题意,应 该不满足条件,退出循环,则判断框中填写的应该是 i<5? 【解析】 : 解:模拟执行程序框图,可得 i=1,s=0 2 满足条件,s=s+i =1,i=i+1=2 2 满足条件,s=s+i =5,i=i+1=3 2 满足条件,s=s+i =14,i=i+1=4 2 满足条件,s=s+i =30,i=i+1=5 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 s 的值为 30. 则判断框中填写的应该是 i<5? 故选:B. 【点评】 : 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键, 属于基本知识的考查.

9. (5 分)已知双曲线

=1 的渐近线方程为 y=±

,则此双曲线的离心率为(



-4-

A.

B.

C.

D.

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 求出双曲线的渐近线方程,解方程可得 a=3,再由 a,b,c 的关系可得 c,再由离 心率公式,计算即可得到. 【解析】 : 解:∵双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x,



=

,即

, ,

∴a=3,半焦距 ∴ ,

故选:D. 【点评】 : 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程和离心率的求法,属于基础题. 10. (5 分)设集合 M={(x,y)|F(x,y)=0}为平面直角坐标系 x Oy 内的点集,若对于任 意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2<0,则称点集 M 满足性质 P.给出 下列四个点集: ① R={(x,y)|sinx﹣y+1=0}② S={(x,y)|lnx﹣y=0} ③ T={(x,y)|x +y ﹣1=0}④ W={(x,y)|xy﹣1=0} 其中所有满足性质 P 的点集的序号是( ) A. ① ② B. ③ ④ C. ① ③ D. ② ④ 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : ① 取(0,1)∈R,则不存在(x2,sinx2+1)∈R,满足 x1x2+y1y2<0,即可判断出正 误; ② 取(1,0)∈S,则不存在(x2,lnx2)∈S(x2>0) ,满足 x1x2+y1y2<0,即可判断出正误; ③ ?(cosθ1,sinθ1)∈T,假设 θ1∈[0,2π) ,则存在(cosθ2,sinθ2)∈T,只要 θ2∈ <0,即可判断出正误. ④ ? ∈W,则取 x2=﹣x1,满足 =﹣ <0,即可判断出正误. (k∈Z) , 满足 cos (θ1﹣θ2) <0, 即满足 x1x2+y1y2
2 2

【解析】 : 解:① 取(0,1)∈R,则不存在(x2,sinx2+1)∈R,满足 0?x2+1?(sinx2+1)=sinx2+1 <0,因此 R 不满足性质; ② 取(1,0)∈S,则不存在(x2,lnx2)∈S(x2>0) ,满足 1?x2+0?lnx2<0,因此 S 不满足性 质 P;

-5-

③ ? (cosθ1, sinθ1) ∈ T, 假设 θ1∈[0, 2π) , 则存在 (cosθ2, sinθ2) ∈T , 满足 cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2=cos (θ1﹣θ2)<0,只要 θ2∈ P. . ④ ? ∈W, 则取 x2=﹣x1, 满足 =﹣ <0, 因此 W 满足性质 P. (k∈Z) ,因此 T 满足性质

综上可得:只有③ ④ 正确. 故选:B. 【点评】 : 本题考查了新定义即函数满足的某种数量积性质,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 二、 填空题 (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. ) (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)函数 的定义域是 (﹣1,1) .

【考点】 : 函数的定义域及其求法. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 通过分析,解 即可.

【解析】 : 解:根据题意,得



解得﹣1<x<1, 故答案为: (﹣1,1) . 【点评】 : 本题考查函数的定义域,注意解题方法的积累,属于基础题. 12. (5 分)如图是甲、乙两名篮球运动员 2012 年赛季每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人 比赛得分的中位数之和是 54 .

【考点】 : 茎叶图;众数、中位数、平均数. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据,由小到大排列后得到两组数据的中位数, 则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求. 【解析】 : 解:由茎叶图得到甲运动员的得分数据为:17,22,28,34,35,36. 由茎叶图得到乙运动员的得分数据为:12,16,21,23,29,31,32.

-6-

由此可得甲运动员得分数据的中位数是



乙运动员得分数据的中位数是 23. 所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 54. 故答案为 54. 【点评】 : 本题考查了茎叶图,考查了一组数据的中位数的求法,是基础的概念题. 13. (5 分)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 20

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :

由三视图求面积、体积. 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 由三视图可知是一个四棱锥,从而作图求体积. 解:由三视图可知,其直观图如下,

是一个四棱锥, 其底面为矩形,面积 S=5× 其体高 h= , =20, =25,

故其体积 V= ×25×

-7-

故答案为:20. 【点评】 : 本题考查了三视图的应用,同时考查了学生的空间想象力与作图能力,属于基础 题. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做 14. (5 分)在直角坐标系 x Oy 中,圆 C 的参数方程为 (φ 为参数) .以 O 为
2

极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C 的极坐标方程是 ρ =2ρcosθ+3 . 【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : 首先把圆的参数转化成直角坐标方程,进一步把直角坐标方程转化成极坐标方程. 【解析】 : 解:圆 C 的参数方程为
2 2

(φ 为参数) .

转化为直角坐标方程为: (x﹣1) +y =4. 2 2 整理得:x +y =2x+3, 2 转化成极坐标方程为:ρ =2ρcosθ+3, 2 故答案为:ρ =2ρcosθ+3 【点评】 : 本题考查的知识要点:圆的参数方程与直角坐标方程的互化,圆的直角坐标方程 与极坐标方程的互化,主要考查学生的应用能力. (几何证明选讲选做题) 15.已知 AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 5 .

,PA=4

,OP=3,则⊙O 的半径 R=

【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 立体几何. 【分析】 : 过点 O 作 OC⊥AB,交 AB 于点 C,连结 OA,由垂径定理和勾股定理求出 OC⊥ AB,PC=PA﹣AC= ,OC= ,由此能求出⊙O 的半径 R. 【解析】 : 解:过点 O 作 OC⊥AB,交 AB 于点 C,连结 OA, ∵AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 ,PA=4 ,OP=3, ∴OC⊥AB,PC=PA﹣AC=4 ∴OC= ∴R=OA= = = = ﹣ , =5.
-8-

=



故答案为:5.

【点评】 : 本题考查圆的半径的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意垂径定理和勾股 定理的合理运用. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α, 值. 【考点】 : 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的余弦函数. 【专题】 : 计算题;三角函数的求值. 【分析】 : (1)由函数 f(x)的解析式,代入点 求函数 f(x)的解析式. (2)由 f(x)= 换化简 可由 可得 sinβ 的值, 结合范围 解得 sinα 的值,利用三角函数恒等变 , 利用同角三角函 的坐标,解得 a 的值,从而可 , , ,求 cos(α﹣β)的 (x∈R)的图象经过点 .

数关系式可求 cosα,cosβ 的值,由两角和与差的余弦函数公式即可得解. 【解析】 : (本小题满分 12 分) 解: (1)由函数 f(x)的图象经过点 则 因此 (2) ∵ ∴ ∵ , , .解得 a=﹣1, . = = , , ,

-9-

∴ 又 ∴ ∴

, , , . ,

【点评】 : 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,两角和与差的余弦 函数公式,同角三角函数关系式的应用,属于中档题. 17. (12 分)我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分 100,200,300,400,500,600,700, 800,900,1000(单位:元)十个档次,某社区随机抽取了 72 名居民,按缴费在 100~500 元,600~1000 元,以及年龄在 20~39 岁,40~59 岁之间进行了统计,相关数据如下:

(1)用分层抽样的方法在缴费 100~500 元之间的居民中随机抽取 6 人,则年龄在 20~39 岁 之间应抽取几人?(2)在缴费 100~500 元之间抽取的 6 人中,随机选取 2 人进行到户走访, 求这 2 人的年龄都在 40~59 岁之间的概率. 【考点】 : 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)设年龄在 20~39 岁之间应抽取 x 人,利用抽样比求解即可. (2) 记在缴费 100~500 元之间抽取的 6 人中, 年龄在 20~39 岁的 2 人为 a1, a2; 年龄在 40~ 59 岁的 4 人为 b1,b2,b3,b4.列出随机抽取 2 人的所有结果,设这 2 人的年龄都在 40~59 岁之间的事件为 A,列出事件为 A 包含的基本事件数目,然后求解概率. 【解析】 : (本小题满分 12 分) 解: (1)设年龄在 20~39 岁之间应抽取 x 人,则 ,解得 x=2

所以年龄在 20~39 岁之间应抽取 2 人 (2) 记在缴费 100~500 元之间抽取的 6 人中, 年龄在 20~39 岁的 2 人为 a1, a2; 年龄在 40~ 59 岁的 4 人为 b1,b2,b3,b4. 所以随机抽取 2 人的所有结果有: (a1,a2) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a1,b4) , (a2, b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a2,b4) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b1,b4) , (b2,b3) , (b2,b4) , (b3,b4) ;共 15 种. 设这 2 人的年龄都在 40~59 岁之间的事件为 A,则事件为 A 包含的基本事件有: (b1,b2) , (b1,b3) , (b1,b4) , (b2,b3) , (b2,b4) , (b3,b4) ;共 6 种. 所以

- 10 -

答:这 2 人的年龄都在 40~59 岁之间的概率为 【点评】 : 本题考查古典概型的概率的求法,考查基本知识的应用. 18. (14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O,EF ∥AB,AB=2EF,平面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG∥平面 EFCD; (2)求证:直线 AC⊥平面 ODE.

【考点】 : 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)根据线线平行推出线面平行; (2)根据线面垂直的判定定理进行证明即可. 【解析】 : 证明(1)∵四边形 ABCD 是菱形,AC∩ BD=O,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点∴OG∥CD,…(3 分) 又∵OG?平面 EFCD,CD?平面 EFCD,∴直线 OG∥平面 EFCD.…(7 分) (2)∵BF=CF,点 G 为 BC 的中点,∴FG⊥BC, ∵平面 BCF⊥平面 ABCD,平面 BCF∩ 平面 ABCD=BC,FG?平面 BCF,FG⊥BC∴FG⊥平面 ABCD,…(9 分) ∵AC?平面 ABCD∴FG⊥AC, ∵ , ,∴OG∥EF,OG=EF,

∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴FG∥EO,…(11 分) ∵FG⊥AC,FG∥EO,∴AC⊥EO,∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥DO, ∵AC⊥EO,AC⊥DO,EO∩ DO=O,EO、DO 在平面 ODE 内, ∴AC⊥平面 ODE.…(14 分)

【点评】 : 本题考查了线面平行,线面垂直的判定定理,本题属于中档题.

19. (14 分)已知数列{an}满足





(1)设

,求证:数列{bn}为等差数列;

- 11 -

(2)求证:



【考点】 : 数列的求和;数列的函数特性;等差关系的确定;数列与不等式的综合. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)由 定义即可判断出; (2)由(1)知 bn=﹣2n﹣2,可得 ,解得 an,计算出 ,即可证明. . ,可得 bn+1﹣bn,再利用等差数列的

【解析】 : (1)证明:







∴bn+1﹣bn=﹣2, 又 ,∴ ,

∴数列{bn}为等差数列,且首项为﹣4,公差为﹣2. (2)由(1)知 bn=﹣4+(n﹣1) (﹣2)=﹣2n﹣2, 即 ,





由于





=



【点评】 : 本题考查了等差数列的通项公式、 递推式的应用、 “裂项求和”方法、 不等式的性质、 “放缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

- 12 -

20. (14 分) 如图, 在平面直角坐标系 x Oy 中, 椭圆 C:

(a>b>0) 的离心率为



左顶点 A 与上顶点 B 的距离为 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点 O 的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 P A、Q A 分别 与 y 轴交于 M、N 两点,问以 M N 为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (1)利用离心率,勾股定理以及椭圆的几何量的关系,列出方程组求解,即可得 到椭圆 C 的标准方程. 、 (2)以 MN 为直径的圆过定点 . ;

设P (x0, y0) , 则Q (﹣x0, ﹣y0) , P 代入椭圆方程, 求出直线 PA 方程, 推出

求出直线 QA 方程,推出 以 MN 为直径的圆过定点. 【解析】 : (本小题满分 14 分)

;写出以 MN 为直径的圆的方程,然后化简求出

解: (1)由题意得

解得 ∴椭圆 C 的标准方程为: (2)以 MN 为直径的圆过定点 设 P(x0,y0) ,则 Q(﹣x0,﹣y0) ,且 . . ,即 ,

- 13 -

∵A(﹣2,0) ,∴直线 PA 方程为:

,∴



∴直线 QA 方程为:

,∴



以 MN 为直径的圆为:








2

,∴ ,



令 y=0,得 x ﹣2=0,解得:

∴以 MN 为直径的圆过定点: . 【点评】 : 本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的综合应用,直线与圆的位置关系的应用,考 查分析问题解决问题的能力. ,a∈R.

21. (14 分)已知函数

(1)若函数 f(x)在点(2,f(2) )处的切线与直线 x+9y=0 垂直,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在 x∈(0,4)内存在最小值 1,求实数 a 的值. 【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】 : 函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 : (1)求出函数的导数,由两直线垂直的条件可得切线的斜率,解方程可得 a 的值; (2)求出导数,令导数为 0,对 a 讨论,① 当 a≤0 时,② 当 0<a<1 时,③ 当 a=1 时,④ 当 1<a <4 时,⑤ 当 a≥4 时,求出单调区间,求得最小值,解方程即可得到 a 的值. 【解析】 : 解: (1)f′ (x)=3x ﹣3(a+1)x+3a, 因为函数 f(x)在点(2,f(2) )处的切线与直线 x+9y=0 垂直, 2 所以 f′ (2)=9,即 3×2 ﹣6(a+1)+3a=9, 解得 a=﹣1; 2 (2)f′ (x)=3x ﹣3(a+1)x+3a,令 f′ (x)=0 得 x=1,x=a. ① 当 a≤0 时,f(x)在(0,1)单调递减,在(1,4)单调递增, 所以当 x=1 时,f(1)是 f(x)在 x∈(0,4)内的最小值, 则 ,解得 ,不符合题意舍去;
2

② 当 0<a<1 时,f(x)在(0,a)和(1,4)单调递增,在(a,1)单调递减, ∴ ,即 ,解得 ,

- 14 -

当 则

时,使 f(1)是 f(x)在 x∈(0,4)内的最小值, ,解得
2

符合题意;

③ 当 a=1 时,f'(x)=3(x﹣1) ≥0,f(x)在(0,4)单调递增, 则函数 f(x)在 x∈(0,4)内不存在最小值; ④ 当 1<a<4 时,f(x)在(0,1)和(a,4)单调递增,在(1,a)单调递减, ∴ ,即 ,

解得

,所以 3≤a<4.

所以当 x=a 时,函数 f(x)在 x∈(0,4)内存在最小值, 则 f(a)=1,解得 a=3; ⑤ 当 a≥4 时,f(x)在(0,1)单调递增,在(1,4)单调递减, 则函数 f(x)在 x∈(0,4)内不存在最小值. 综上得, 或 a=3.

【点评】 : 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,同时考查分类讨 论的思想方法和函数单调性的运用,两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,考查运算能力,属 于中档题.

- 15 -


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