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圆标准方程和一般式方程


圆的标准方程

温故知新
1.已知两点坐标P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 两点间距离公式:
P1P2 ? (x2 ? x1) ? ( y2 ? y1 )
2 2

y
r
P(x,y)

2.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定 长的点的集合 . 定点是圆心, 定长是半径.
o

x

3.点和圆的位置关系有几种? 用数量关系如何来判断? (d表示点到圆心的距离)
⑴点在圆内

·
d O

r r r

d<r d=r

⑵点在圆上

·
d

O

⑶点在圆外

·

d
O

d>r

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圆的标准方程

建立圆心是C(a ,b),半径是r(r >0)的圆的方程. 设P(x,y)是圆上任意一点,根 据圆的定义,P到圆心的距离等于 半径r,即 |PC|=r. 由两点间的距离公式,点P适合 的条件可表示为:
y

r
C(a,b)

P(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

o

x

两边平方得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

, 就是圆心是 C(a,b), 半径为r的圆的方程,我们把这个方程叫 做圆的标准方程. 说明: (1)圆的标准方程含有三个独立参数, a、b、r
y
r
C(a,b)

2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 方程

因此确定圆的方程需要三个 独立的条件.
(2)如果圆心在原点,a=0,b=0, 那么圆的方程是:

o y r

x

x2 ? y 2 ? r 2

o

x

例题讲解
例1 已知圆的方程为(x ? 3) ? ( y ? 1) ? 2, 求
2 2

() 1 圆心C的坐标和圆的半径r; (2)判断点M (3, 2)、N (2, 0)、( P 4, ? 1) 是在圆内、在圆上、还是在圆外.
y
M N 3

x r ?P 2

o
-1 C(3,-1)

变式 写出圆心为 A(2,?3),半径长等于5的圆
的方程,并判断点 M (5,?7) , M (? 5 ,?1) 是否在 2 1 这个圆上.

例2 根据下列条件求圆的标准方程: () 1 圆心C (? 1, 2),半径r为3;
y

(2)直径 AB 两个端点的坐标分别为 A( ? 3, 4)、 B(3, ? 4) .
y A (-1,2)

0

0

x

B

2、应用举例 巩固提高

例3 ?ABC 的三个顶点的坐标
分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

2、应用举例 巩固提高

例4 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和

B(2, -2),且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

小结:

圆的一般式方程
如果把圆的标准方程 (x ? a) ? ( y ? b) ? r 展开,得 2 2 2 2 2 x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2

令D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a 2 ? b 2 ? r 2 , 则任何一个圆 的标准方程都能化成 : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2
2

(3)
2

把方程 (3)左边多项式按字母 x和y分别配方 , D 2 E 2 D ? E ? 4F 可得 ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 4

仅当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0时,才表示一个圆;而当 D ? E ? 4 F ? 0时,表示一个点 ;当D ? E ? 4 F ? 0
2 2 2 2

时不表示任何曲线 .

因此当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,方程
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

叫做圆的一般式方程 .此时圆心的坐标
? D E? ? ? ,? ?, ? 2 2?

1 2 2 半径是 D ? E ? 4F . 2

圆的一般式方程:
x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

具有以下特点:

(1) x 与y 项的系数相等且不等于 零;

2

2

(2) 不含xy项;

(3) D ? E ? 4F ? 0.
2 2

例题讲解
例4 用配方法判定下列方程 的图像是否是圆? 如果是圆 ,求出它的圆心和半径 .

(1) x ? y ? 6x ? 8 y ? 24 ? 0 2 2 (2) x ? y ? 6x ? 24 ? 0
2 2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F ? (x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 4

例5 求经过三点 O(0,0)、P(? 1, ?1 )、Q(3, ?1 ) 的圆的方程 ,并求出这个圆的圆心和 半径.


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