当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学解题方法谈 圆锥曲线三大难点解读

圆锥曲线三大难点解读
高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识,还对最值与定 值(定点) 、求参数范围(或值) 、存在与对称等问题加大了考查力度.本文对各地考题归类 整理,并探讨这三大难点的求解策略. 难点一、最值与定值(定点)问题 圆锥曲线的最值与定值(定点)问题一直是高考的一大难点. 最值问题求解策略是:几何法与代数法,前者用于条件与结论有明显几何意义,利用图 形性质来解决的类型;后者则将结论转化为目标函数,结合配方法、判别式法、基本不等式 及函数的单调性等知识求解. 定值(定点)问题求解策略是:从特殊入手,求出定点或定值,再证明这个点(值)与 变量无关.也可以在推理、计算过程中消去变量,直接得到定点(或定值) . 例 1 (江西卷理 21) 如图 1, 椭圆 Q :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

0) ,过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭 的右焦点 F (c,
圆于 A, B 两点, P 是线段 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 H 的方程; (2)在 Q 的方程中,令 a ? 1 ? cos ? ? sin ? ,
2

?? ? b2 ? sin ? ? 0 ? ? ≤ ? ,确定 ? 的值,使原点距椭圆 Q 的右准线 l 最远,此时,设 l 与 ?? ?

x 轴交点为 D .当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时, △ ABD 的面积最大?
分析:求轨迹方程可用“设而不求”法,考虑 AB 的斜率是否存在,注意到 AB 与 PF

b 不难得到满足要求的 c ? 1 , 共线, 得方程为 b x ? a y ? b cx ? 0 ; 在第 (2) 问中, 由a 、
2 2 2 2 2
2 2

为避免讨论直线 m 的斜率是否存在,可设 m 的方程为 x ? ky ? 1 ,再利用三角函数求出 ? ,

△ ABD 的面积用 A, B 纵坐标可表示为 S ?

1 y1 ? y2 , 当直线 m 垂直于 x 轴时,△ ABD 2

的面积最大. 点评:本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身,运用了点差法、分类讨论思想、 二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等,对各种能力 的综合要求非常高. 例 2 (全国卷Ⅱ理 21 文 22)已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F , A, B 是抛物线上的
2

两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0) .过 A, B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M . (1)证明 FM · AB 为定值; (2)设 △ ABM 的面积为 S ,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值.

用心

爱心

专心

1

简 解: ( 1 ) F (0, 1) ,设点 A, B 的横坐 标为 x1,x2 ,则过点 A, B 的 切线分 别为

y?

x12 x1 x2 x ? ( x ? x1 ) , y ? 2 ? 2 ( x ? x2 ) ,结合 AF ? ? FB ,求得 FM AB ? 0 为定值; 4 2 4 2
(2)FM AB ? 0 , 则 △ ABM 的面积 S ?

FM AB 2

1? 1 ? ? ? ? ?? ≥ ? 23 ? 4 . ? 2? 2 ??

3

难点二、求参数范围(或值)问题 求参数范围问题的求解策略是: 根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式 (组) , 利用线性规划得出参数的取值范围. 有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确 定参数的变化范围.

1) 、B(0, 1) ;三动点 D,E,M 例 3 (陕西卷理 21) 如图 2, 三定点 A(2, ? 1) 、C (?2,

1] . 满足 AD ? t AB , BE ? t BC , DM ? tDE , t ?[0,
(1)求动直线 DE 斜率的变化范围; (2)求动点 M 的轨迹方程. 解: (1)设 D( xD,yD ) , E ( xE,yE ) , M ( x,y ) . 由 AD ? t AB ,知 ( xD ? 2,yD ?1) ? t (?2, ? 2) , 即?

? xD ? ?2t ? 2, ? xE ? ?2t, 同理 ? ? y D ? ?2t ? 1. ? y E ? 2t ? 1.

∵ kDE ?

yE ? yD 1] ,∴ kDE ?[?11] ? 1 ? 2t ,且 t ?[0, ,; xE ? xD

(2)∵ DM ? tDE ,即 ( x ? 2t ? 2,y ? 2t ?1) ? (?2t, 4t 2 ? 2t ) . ∴?

? x ? 2(1 ? 2t ),
2 ? y ? (1 ? 2t ) ,

消去参数 t ,得 x2 ? 4 y .

1] ,∴ x ? 2(1 ? 2t ) ?[?2, 2] . ∵ t ?[0, 2] . 故 x ? 4 y , x ? [?2,
2

点评:本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识,以及依靠不变量(定点坐 标和不变的向量共线)与变量的关系相互转化,综合运用各种知识解决问题的能力. 难点三、存在与对称性问题 存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果. 存在性问题的求解策略是:一般先假设某数学对象存在,按照合情推理或计算,得到存 在的依据或导出矛盾,从而肯定或否定假设,有时也可由特殊情况探索可能的对象,作出猜

用心

爱心

专心

2

想,然后加以论证. 对称性问题的求解策略是: 结合轴对称或中心对称. 考虑斜率与中点或向量的数量积 (可 避开斜率存在性的讨论) ,常用“设而不求” 、待定系数法等方法解决问题. 例 4 (湖南卷理 21) 如图 3, 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

抛物线 C2 : ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0),且 C1 、 C2 的公共 弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点. (1)当 AB ⊥ x 轴时,求 m, p 的值,并判断抛物 线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)是否存在 m, p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条 件的 m, p 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)当 AB ⊥x 轴时,m ? 0 ,直线 AB 的方程是 x ? 1 ,点 A 为 ?1 , ? 或 ?1 , ? 代入抛物线方程,得 p ? 此时 C2 的焦点为 ?

? 3? ? 2?

? ?

3? ?. 2?

9 . 8

?9 ? , 0 ? ,且焦点不在直线 AB 上; ? 16 ? ?p ? ,m ? ,弦 AB 的两端点在抛物线上, ?2 ?

(2)设 A( x1,y1 ) 、 B( x2,y2 ) ,C2 的焦点 F ? ?

也在椭圆上,所以 AB ? x1 ? x2 ? p ? ? 2 ?

? ?

2 1 ? ? 1 ? x1 ? ? ? 2 ? x2 ? ,即 x1 ? x2 ? (4 ? p ) . 3 2 ? ? 2 ?

由(1)知 x1 ? x2 , p ? 2 ,故 k AB ?

2m . p?2

直线 AB 的方程是 y ?

2m 4m(1 ? p) ( x ? 1) ,则 y1 ? y2 ? . 3( p ? 2) p?2

因 A, B 在 C1 上,即 ?

2 2 ? ?3x1 ? 4 y1 ? 12, 2 2 ? ?3x2 ? 4 y2 ? 12,

两式相减,得

y2 ? y1 3( x1 ? x2 ) ?? , x2 ? x1 4( y1 ? y2 )

用心

爱心

专心

3

即 m2 ?

3( p ? 4)( p ? 2)2 .① 16(1 ? p)

2 ? x ? x1 ?( y1 ? m) ? 2 px1, 又 A, B 在 C2 上,即 ? 两式相减,得 y1 ? y2 ? 2m ? 2 p 2 ,即 2 y2 ? y1 ? ?( y2 ? m) ? 2 px2,

3 p( p ? 2) 2 .② m ? 16 ?10 p
2

由①、②,得 3 p2 ? 20 p ? 32 ? 0 , 解得 p ? 由p?

4 或 p ? ?8 (舍) . 3

4 6 6 ,得 m ? 或m ? ? . 3 3 3 4 6 6 或m ? ? ,p? . 3 3 3

故满足条件的 m, p 存在,且 m ?

点评:此题中抛物线的顶点不在原点,公共弦 AB 既要与抛物线联系,也要用到椭圆的 焦点弦,特别是把存在与对称性结合在一起,使难度和运算量都大大增加,解决问题需要有 很强的逻辑推理能力和运算能力.

用心

爱心

专心

4


相关文章:
高中数学解题方法谈 圆锥曲线三大难点解读.doc
高中数学解题方法谈 圆锥曲线三大难点解读 - 圆锥曲线三大难点解读 高考数学试题
圆锥曲线三大难点解读.doc
圆锥曲线三大难点解读_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线三大难点解读高考数学试题...高中数学解题方法谈 圆锥... 暂无评价 4页 免费 2013级圆锥曲线重难点题....
...巧用斜率妙解题及突破圆锥曲线中的三个难点问题 理.doc
【创新方案】高三数学一轮复习 专家讲坛 巧用斜率妙解题及突破圆锥曲线中的三个难点问题 理_数学_高中教育_教育专区。【创新方案】高三数学一轮复习 专家讲坛 巧...
高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题.doc
高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题_高三数学_数学_高中教育_...则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”...
高中数学重难点分析和高中数学学习方法.doc
高中数学难点分析高中数学学习方法_数学_高中教育...(6)直线与圆锥曲线;(7)概率与统计(理科中期望与...学习数学一定要讲究“活”,只看书不做题 不行,只...
高考数学圆锥曲线题的坐标处理思路解析.doc
高考数学圆锥曲线题的坐标处理思路解析_高考_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http...难点进行答疑解惑,在进行有关圆锥曲线题目的解答时,要传授给学生 相应的答题技巧...
高考数学重点难点复习(25):圆锥曲线综合题.doc
高考数学重点难点复习(25):圆锥曲线综合题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程...
高中数学新体系难点25__圆锥曲线综合题.doc
难点25:圆锥曲线综合题圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的...4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程...
高考数学难点突破_难点25__圆锥曲线综合题.doc
高考数学难点突破_难点25__圆锥曲线综合题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。难点 25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定...
圆锥曲线的解题技巧和方法【免费】.doc
圆锥曲线解题技巧和方法【免费】 - 三大曲线高中比较难的部分,所以有必要看下
2011届高考数学解题方法复习15.doc
2011届高考数学解题方法复习很好的资料2011届高考数学解题方法复习很好的资料隐藏>> 圆锥曲线三大难点解读高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识...
三大圆锥曲线知识点分析(原).doc
三大圆锥曲线知识点分析(原) - 高中数学选修1-1(2-1)三大圆锥曲线知识点分析与训练... 高中数学选修1-1(2-1)三大圆锥曲线知识点分析与训练 三大圆锥曲线知识点...
2009高考数学重点难点复习(25):圆锥曲线....doc
2009高考数学重点难点复习(25):圆锥曲线..._数学_高中教育_教育专区。难点 25 高考数学重点难点复习:圆锥曲线综合题圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥...
高中数学知识体系及重难点分析_图文.doc
我们还会通过对变量的分 析,探索出分析、解决问题的思路和解题数学思想。 ...五 概率与统计 下期内容一 教学内容 导数及其应 用 算法初步 圆锥曲线 难点 ...
高中数学重难点总结(强烈推荐).doc_图文.doc
高中数学必修+选修知识点归纳前言 1.课程内容:必修...圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考...函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质...
圆锥曲线巧用斜率解题_图文.ppt
圆锥曲线巧用斜率解题_数学_高中教育_教育专区。高中数学圆锥曲线解题方法 巧用斜率妙解题及突破圆锥曲线中的三个难点问题 一、巧用斜率妙解题 巧用(一) [例1...
8考数学难点突破_详析25__圆锥曲线综合题.doc
8考数学难点突破_详析25__圆锥曲线综合题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。分析方法 25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的...
高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结.doc
高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结 - 圆锥曲线与方程解题技巧方法总结 学习目标:熟悉并掌握常见的圆锥曲线解题方法:定义法、参数法、待定系 数法、点差法等...
高中数学难点解析教案24 直线与圆锥曲线.doc
高中数学难点解析教案24 直线与圆锥曲线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中...知识依托:椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线方法. 错解分析:第...
高中数学各年级重难点分析.doc
高中数学各年级重难点分析_数学_高中教育_教育专区。...常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体 ...高中数学解题基本方法 88页 1下载券 2019 Baidu...