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郑州一中2014--2015学年高一上学期第六次周考数学试题


2014--2015 学年高一上学期第六次周考试题 数 学
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知集合 A = í x 个数为 ( A.0

ì 3 ü ? 1, x ? N ? , B = { x log 2 ( x + 1) ? 1, x ? N} , S ? A, S ? B ? ? ,则集合 S 的 ? x ?
) B.2 C.4 ) D.20 ) D.8

2. 某班共 40 人,其中 24 人喜欢篮球运动,16 人喜欢乒乓球运动,6 人这二项运动都不喜欢,则 喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为( A.17 B. 18
0.3 0.2

C.19

3. 已知 a = log 2 0.3, b = 2 , c = 0.3 Ab > a > c . 4. 设函数 f ( x) = í A. B. b > c > a

,则 a, b, c 三者的大小关系是( C. a > b > c

D. c > b > a )

x ì ?2 + 1, x < 1 若 f ( f (0)) = 4a ,则实数 a 等于( 2 x + ax , x ? 1 ? ?

1 2

B.

4 5

C.2 ) C. 12

D. 9

5. 化简 ( log 4 3 + log 4 9 )( log 3 2 + log 3 8 ) = ( A. 6 B. -6

D. -12

7. 下列函数中在区间 A. y = 3lg ? x -

( 3, 4 ) 内有零点的是(



? è

5? ÷ 2?

B. y = - x 3 - 3 x + 5 D. y = 3 ( x + 2 )( x - 3)( x + 4 ) + x
第- 1 -页,共 4 页

C. y = e x -1 + 4 x - 4

8. 已知函数 f ( x) = ln x + 2 ,若 f ( x 2 - 4) < 2 ,则实数 x 的取值范围是(
x



A. ( -2, 2)

B. (2, 5)

C. (- 5, -2)

D. ( - 5, -2) ? (2, 5)

2 9. 设 奇 函 数 ( x) 在 [ -1,1] 上 是 增 函 数 , 且 f (-1) = -1 , 若 函 数 f ( x) ? t - 2at + 1 对 所 有 的

x ? [-1,1], a ? [-1,1] 都成立,则 t 的取值范围是(
A. -2 ? t ? 2 B. -

) D. t ?

1 1 ?t ? 2 2

C. t ? 2或t ? -2或t = 0

1 1 或t ? - 或t = 0 2 2

10. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R 恒有 f ( x + 1) = f (1 - x) ,已知当

1 x ? [0,1] 时, f ( x) = ( )1- x ,则: 2

① f ( x + 2) = f ( x) ; ②函数 f ( x) 在 (1, 2) 上递减,在 ④当 x ? (3, 4) 时, f ( x) = ( )

(2,3) 上递增;③函数 f ( x) 的最大值是 1,最小值是 0;
其中正确结论的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3

1 2

x -3

.

D. 4

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 若函数 f ( x) =

x 为奇函数,则 a = ____________. (2 x + 1)( x - a )
2

12. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时 f ( x ) =x + x + 1 ,则 f ( -1) = 13. 已知幂函数 y = x m - 3 ( m ? N * ) 的图像关于 y 轴对称,且在 则m = 14. 已知函数 f ( x ) = í
[来源:Zxxk.Com]

.

( 0, +? ) 上单调递减,
.

ì ?( a - 3 ) x - 3( x ? 1) 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 ? ? log a x ( x > 1)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分)设集合 A = x 2 , 2 x - 1, -4 , B = { x - 5,1 - x,9} ,若 A ? B = {9} , 求 A? B .

{

}

第- 2 -页,共 4 页

17.(本题满分 12 分)若集合 M = x -3 ? x ? 4 ,集合 P = x 2m - 1 ? x ? m + 1 . (1)是否存在实数 m,使得 M = P. 若存在求出 m,若不存在请说明理由. (2)若两个集合中其中一个集合是另一个集合的真子集,求实数 m 的取值范围.

{

}

{

}

18.(本题满分 12 分)若定义域为 R 的函数 f ( x) =

-2 x + b 是奇函数. 2 x +1 + a

(1)求 a, b 的值; (2)若 "t ? R ,不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围.

19.(本题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需 另投入成本为

1 C ( x) ,当年产量不足 80 千件时, C ( x) = x 2 + 10 x (万元). 当年产量不少于 80 千件时, 3 10000 C ( x) = 51x + - 1450 (万元) ,每件商品售价为 0.05 万元. 通过市场分析,该厂生产 x
的商品能全部售完. (1)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一 商品的生产中所获利润最大?
[来源:学.科.网]

第- 3 -页,共 4 页

21.(本题满分 14 分)若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: ①对任意 x, y ? R ,都有: f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) - 1 ;②当 x < 0 时, f ( x) > 1 . (Ⅰ)试判断函数 f ( x) - 1 的奇偶性; (Ⅲ)若不等式 f ( a - 2a - 7) +
2

(Ⅱ)试判断函数 f ( x) 的单调性;

1 > 0 的解集为 {a -2 < a < 4} ,求 f (5) 的值. 2

第- 4 -页,共 4 页

2014--2015 学年高一上学期第六次周考试题

数学参考答案



A ? B = {-8, -7, -4, 4,9} ;

……………………………………8 分

当 x = 5 时,A = {25,9, -4} , B = {0, -4,9} , 此时 A ? B = {-4,9} 与 A ? B = {9} 矛盾, 故 舍去. 综上所述, A ? B = {-8, -7, -4, 4,9} . 17.解: (1) -3 = 2m - 1 且 4 = m + 1 ……………………………………10 分 ……………………………………12 分

\ m = -1 且 m = 3

\ 不存在.

……………………………………4 分

ì -3 ? 2 m - 1 ? ? (2)若 P ? M,则 ím + 1 ? 4 ? -1 ? m ? 2 或 P = ? ? m > 2 ;……………8 分 ? m + 1 ? 2m - 1 ?
? 若M? P,则 í

ì -3 ? 2 m - 1 ? m?? , ?4 ? m + 1

……………………………………10 分 ……………………………………12 分

综上: m ? 1 .

18. 解 : ( 1 ) 因 为 f ( x) 是 R 上的奇函数,所 以 f (0) = 0 , 即

-1 + b = 0 , 解得 b = 1 , 从而有 2+a

f ( x) =

-2 x + 1 . 2 x +1 + a
第- 5 -页,共 4 页

1 - +1 -2 + 1 =- 2 又由 f (1) = - f ( -1)知 ,解得 a = 2 . 4+a 1+ a
(2) 由 (1) 知 f ( x) =

……… ……………6 分

-2 x + 1 1 1 =- + x , 由上式知 f ( x) 在 R 上为减函数, 又因 f ( x) 是 x +1 2 +2 2 2 +1

奇函数,从而不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 ,等价于 f (t 2 - 2t ) < - f (2t 2 - k )

= f (-2t 2 + k ) .
因 f ( x) 是 R 上的减函数, 由 上 式推得 t 2 - 2t > -2t 2 + k , -2 ? x ? 0 即 对 一切 t ? R 有

1 3t 2 - 2t - k > 0 ,从而 ? = 4 + 12k < 0 ,解得 k < - . 3

……………………12 分

ì 1 2 - x + 40 x - 250, 0 < x < 80 ? ? 3 \ L( x) = í ?1200 - ( x + 10000 ), x ? 80 ? x ?
(2)当 0 < x < 80 时

……………………… ………6 分

1 L( x) = - ( x - 60)2 + 950 3
\ x = 60 时, L( x) max = L(60) = 950
当 x ? 80 时. L ( x) = 1200 - ( x + ………………………………8 分

10000 ) ? 1200 - 2 10000 = 1000 x

………………………………10 分
第- 6 -页,共 4 页

当 x = 100 时取“=”. L max = 10000 > 950

\ 当产量为 100 千件时,利润最大为 1000 万元.

…………………………12 分

[来源:学科网]

20.解: (1)设 P ( x, y ) 是函数 y = g ( x) 图象上的任意一点,则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为

( - x, - y ) . Q 已知点 Q 在函数 f ( x) 的图象上, \- y = f (- x) ,而 f ( x) = log a ( x + 1) , \- y = log a (- x + 1), \ y = - log a (- x + 1),
而 P ( x, y ) 是函数 y = g ( x) 图象上的点,

\ y = g ( x) = - log a (- x + 1) = log a
(2)当 x ? [0,1) 时,

1 . 1- x

……………………5 分

f ( x) + g ( x) = log a ( x + 1) + log a

1 1+ x = log a . 1- x 1- x

……………………7 分

下面求当 x ? [0,1) 时 f ( x) + g ( x) 的最小值.

1+ x t -1 = t ,则 x = . 1- x t +1 t -1 Q x ? [0,1) ,即 0 ? < 1 ,解得 t ? 1 , t +1 1+ x \ ? 1. 1- x 1+ x 又 a > 1,\ log a ? log a 1 = 0 , 1- x


……………………………………10 分 ……………………………………11 分

\ f ( x) + g ( x) ? 0 , \ x ? [0, 1) 时, f ( x) + g ( x) 的最小值为 0. Q 当 x ? [0, 1) 时,总有 f ( x) + g ( x) ? m 成立,
\ m ? 0 ,即所求 m 的取值范围为 (-?, 0] .
……………………………………13 分

第- 7 -页,共 4 页

(Ⅱ)任取 x1 , x2 ? ( -?, +?) 且 x1 < x2 ,则 f ( x2 ) - f ( x1 ) = f [( x2 - x1 ) + x1 ] - f ( x1 )
由(2)知 ? ?? ?? ?? ?? ?? -[ f ( x1 - x2 ) - 1] = f ( x2 - x1 ) + f ( x1 ) - 1 - f ( x1 ) = f ( x2 - x1 ) - 1?

x1 - x2 < 0 . 则 f ( x1 - x2 ) > 1,\ f ( x1 - x2 ) - 1 > 0 \ f ( x2 ) - f ( x1 ) < 0
即: f ( x2 ) < f ( x1 ) . \ f ( x) 在 (-?, ?) 上单调递减. (Ⅲ) f ( a - 2 - 7) > 2

…………9 分

1 = f (m) 由(Ⅱ)知: a 2 - 2a - 7 < m 的解集为 (-2, 4) 2 1 \ m = 1 . 即: f (1) = - . \ f (2) = -2 f (4) = -5 2 13 f (5) = f (4) + f (1) - 1 = ……………………………………14 分 2

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