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【金版学案】2015届高考数学总复习 第六章 第六节直接证明与间接证明课时精练试题 文(含解析)


第六节
题号 答案 1 2

直接证明与间接证明
3 4 5 6

1. 命题“对于任意角 θ , cos θ -sin θ =cos 2θ ”的证明: cos θ -sin θ =(cos θ 2 2 2 2 2 -sin θ )(cos θ +sin θ )=cos θ -sin θ =cos 2θ 过程应用了( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合应用 D.间接证明法 解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件? 结论. 答案:B 2.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0.其中能使 + ≥2 成立的条 件有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4

4

4

4

2

b a

a b

解析:要使 + ≥2,只需 >0, >0,即 a,b 不为 0 且同号即可,∴①③④满足.故选 C. 答案:C 3.(2013·南宁质检)要证 a +b -1-a b ≤0,只要证明( a4+b4 2 2 2 2 A.2ab-1-a b ≤0 B.a +b -1- ≤0 2 a+b 2 2 2 2 2 C. -1-a b ≤0 D.(a -1)(b -1)≥0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b a a b

b a

a b

)

解析:因为 a +b -1-a b ≤0,所以(a -1)(b -1)≥0,故选 D. 答案:D 4.设 a,b,c,d∈(0,+∞),若 a+d=b+c 且|a-d|<|b-c|,则有( A.ad=bc B.ad<bc C.ad>bc D.ad≤bc
2 2

)

解析:|a-d|<|b-c|?(a-d) <(b-c) ? a2+d2-2ad<b2+c2-2bc. 2 2 2 2 2 2 又 ∵a + d = b + c ? (a + d) = (b + c) ? a + d + 2ad = b + c + 2bc ,∴ - 4ad< - 4bc.∴ad>bc. 答案:C 5.(2012·惠州二调)规定 记号 表示一种运算,即 a 实数),若 k=3,则 k=( ) A.-2 B.1 C.-2 或 1 D.2
2 2

b=ab+a+b2 (a,b 为正

解析:根据运算有 1×k+1+k =3,k∈R+,即 k +k-2=0,解得 k=1 或 k=-2(舍 去).∴k=1.故选 B. 答案:B
1

6 . (2013· 长 宁 检 测 ) 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 若 sin θ · 1-cos θ + cos 2 θ · 1-sin θ =1,则 sin θ ≥0 且 cos θ ≥0”时,下列假设 的结论正确的是( ) A.sin θ ≥0 或 cos θ ≥0 B.sin θ <0 且 cos θ <0 C.sin θ <0 或 cos θ <0 D.sin θ >0 且 cos θ >0 解析:由题意,考虑 sin θ ≥0 且 cos θ ≥0 的否定,由于 sin θ ≥0 且 cos θ ≥0 表示 sin θ ,cos θ 大于等于 0 都成立,故其否定为 sin θ ,cos θ 不都大于等于 0,故 选 C. 答案:C 7.(2012·桂林调研)函数 f(x)由下表定义: x 2 5 3 1 4 f(x) 1 2 3 4 5 若 a0=5,an+1=f(an),n=0,1,2,?,则 a2 012=________. 答案:5 3 3 8.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”,假设内容应是______________. 3 3 答案: a≤ b 9.(2012·肇庆模拟)已知点 An(n,an)为函数 y= x +1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点,其中 n∈N*,设 cn=a n-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 解析:由条件得 cn=an-bn= n +1-n= ∴ cn 随 n 的增大而减小.∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 10.已知函数 f(x)=ax+2a+1,当 x∈[-1,1]时,f(x)有正值也有负值,则实数 a 的取值范围为________. 解析:由题意得 f(x)=ax+2a+1 为斜率不为 0 的直线,由单调性知 f (1)·f(-1)<0, ∴(a+2a+1)·(2a-a+1)<0. 1 ∴-1<a<- . 3 1? ? 答案:?-1,- ? 3? ? 1 1 11.已知 a>0, - >1,求证: 1+a> 1 1-b . 1
2 2

2

1

n +1+n

2



b a

b a 只需证 1+a-b-ab>1, a-b 只需证 a-b-ab>0,即 >1, ab

1 1 证明: 由已知 - >1 及 a>0 可知 0<b<1, 要证 1+a>

, 只需证 1+a· 1-b>1, 1-b

2

1 1 即 - >1,这是已知条件,所以原不等式得证.

b a

π π 12.已知 A,B 都是锐角,且 A+B≠ ,(1+tan A)(1+tan B)=2,求证:A+B= . 2 4 证明:将(1+tan A)(1+tan B)=2 展开得, 1+tan A+tan B+tan Atan B=2, 即 tan A+tan B=1-tan Atan B.(*) π π π 因为 A+B≠ ,所以 A≠ -B.因为 A,B 都是锐角,所以 A, -B 都是锐角,从而 2 2 2 π tan A≠tan( -B). 2 所以 tan Atan B≠1,即 1-tan Atan B≠0. tan A+tan B (*)式变形得 =1,即 tan(A+B)=1, 1-tan Atan B π π 因为 A,B 都是锐角,所以 0<A+B< ,从而 A+B= . 2 4 13.已知函数 f(x)=aln(1+e )-(a+1)x(其中 a>0),点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)), C(x3,f(x3))从左到右依次是函数 y=f(x)图象上三点,且 2x2=x1+x3. (1)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (2)求证:△ABC 是钝角三角形. 证 明 : (1) 因 为 f(x) = aln(1 + e ) - (a + 1)x , 所 以 f′(x) =
x x x

aex
1+e
x

- (a + 1) =

- a+ -e <0 恒成立,所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数. x 1+e (2) 据 题 意 A (x1 , f(x1)) , B(x2 , f(x2)) , C(x3 , f(x3)) 且 x1<x2<x3 , 由 (1) 知 x1+x3 → → f(x1)> f(x2)>f(x3), x2= .所以BA=(x1-x2, f(x1)-f(x2)), BC=(x3-x2, f(x3)-f(x2)), 2 → → 所以BA·BC=(x1-x2)·(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]·[f( x3)-f(x2)]. → → 又 x1-x2<0,x3-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x3)-f(x2)<0,所以BA·BC=(x1-x2)·(x3 -x2)+[f(x1)-f(x2)]·[f(x3)-f(x2)]<0. ?π ? 从而 B∈? ,π ?,即△ABC 是钝角三角形. ?2 ?

3


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