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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

2016 届高考数学一轮复习教学案 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α -β):cos(α -β )=cos_α cos_β+sin_α sin_β ; (2)C(α +β):cos(α +β )=cos_α cos_β-sin_α sin_β ; (3)S(α +β):sin(α +β )=sin_α cos_β +cos_α sin_β; (4)S(α -β):sin(α -β )=sin_α cos_β -cos_α sin_β; tan α +tan β (5)T(α +β):tan(α +β )= ; 1-tan α tan β tan α -tan β (6)T(α -β):tan(α -β )= . 1+tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α :sin 2α =2sin_α cos_α ; (2)C2α :cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; 2tan α (3)T2α :tan 2α = . 1-tan2α 3.常用的公式变形 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α = ,sin2α = ; 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α )2, 1-sin 2α =(sin α -cos α )2,

sin α ±cos α =

? π? 2sin?α ± ?. ? 4?
[小题能否全取]

sin 2α 1.(2011·福建高考)若 tan α =3,则 的值等于( cos2α A.2 C.4 解析:选 D sin 2α cos2α = 2sin α cos α cos2α B.3 D.6 =2tan α =2×3=6. )

)

2.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( A.- 3 2 2 2 B. 2 2

C.

D.1 2 . 2

解析:选 B 原式=sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°=sin(68°-23°)=sin 45°= 2 3.已知 sin α = ,则 cos(π-2α )等于( 3 5 3 1 B.- 9 5 3

)

A.- 1 C. 9

D.

4 1 解析:选 B cos(π-2α )=-cos 2α =-(1-2sin2α )=2sin2α -1=2× -1=- . 9 9

? π? 4 4.(教材习题改编)若 cos α =- ,α 是第三象限角,则 sin?α + ?=________ 5 ? 4?
解析:由已知条件 sin α =- 3 1-cos2α =- , 5

? π? 2 2 7 2 sin?α + ?= sin α + cos α =- . 2 10 ? 4? 2
7 2 答案:- 10

? π? 2 5.若 tan?α + ?= ,则 tan α =________. ? 4? 5 ? π? tan α +1 2 解析:tan?α + ?= = , ? 4 ? 1-tan α 5
即 5tan α +5=2-2tan α . 3 则 7tan α =-3,故 tan α =- . 7 3 答案:- 7

1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则 后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β =α 所得.特别地, 对于余弦: cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用 即为“降幂公式”,在考题中常有体现. 2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为: 对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式 子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般 是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒 等变形.

三角函数公式的应用

典题导入

?1 π? [例 1] (2011·广东高考)已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. ?3 6 ?
(1)求 f?

?5π? ?的值; ?4?

? π? ? π? 10 6 (2)设 α ,β∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α +β )的值. 2 ? 13 5 ? 2? ? ?1 π? [自主解答] (1)∵f(x)=2sin? x- ?, ?3 6 ?
∴f?

?5π? ?5π π? π ?=2sin? - ?=2sin = 2. 4 ?4? ? 12 6 ?

? π? ? π? 10 6 (2)∵α ,β∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π)= , 2? 13 5 ? 2? ? ? π? 6 10 ∴2sin α = ,2sin?β + ?= . 13 ? 2? 5
5 3 即 sin α = ,cos β= . 13 5 12 4 ∴cos α = ,sin β= . 13 5 ∴cos(α +β )=cos α cos β-sin α sin β = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广, 可用 α 、 β 的三角函数表示 α ±β

的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统 一角和角与角转换的目的. 以题试法

?π ? 3 1.(1)已知 sin α = ,α ∈? ,π?,则 5 ?2 ?

cos 2α

? π? 2sin?α + ? 4? ?
5

=________.

(2)(2012·济南模拟)已知 α 为锐角,cos α = 1 B.- 7 D.-7 cos 2α

?π ? ,则 tan? +2α ?=( 5 ?4 ?

)

A.-3 4 C.- 3 解析:(1) =

cos2α -sin2α

? π? 2sin?α + ? 4? ?

? 2 ? 2 ? ? 2? sin α + cos α ? 2 ? 2 ?

=cos α -sin α ,

?π ? 3 4 ∵sin α = ,α ∈? ,π?,∴cos α =- . 5 5 ?2 ?
7 ∴原式=- . 5 2 (2)依题意得,sin α = 4 1- 3 1 =- . 4 7 1+ 3 7 答案:(1)- (2)B 5

?π ? 5 2×2 4 ,故 tan α =2,tan 2α = =- ,所以 tan? +2α ?= 5 1-4 3 ?4 ?

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入 [例 2] (2013·德州一模)已知函数 f(x)=2cos2 - 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域;

x

3sin x.

? π? 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角,且 f?α - ?= ,求 的值. 1+cos 2α -sin 2α ? 3? 3
[自主解答] (1)∵f(x)=2cos2 - 2

x

3sin x=1+cos x-

? π? 3sin x=1+2cos?x+ ?, ? 3?

∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3].

? π? 1 1 1 (2)∵f?α - ?= ,∴1+2cos α = ,即 cos α =- . 3 3 ? 3? 3
∵α 为第二象限角,∴sin α = 2 3 2 .

cos 2α cos2α -sin2α ∴ = 1+cos 2α -sin 2α 2cos2α -2sin α cos α 1 2 2 - + 3 3 cos α +sin α 1-2 = = = 2cos α 2 2 - 3

2 .

由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α +tan β =tan(α +β )·(1-tan α tan β )和二倍角的余弦公式的多种变形等. 以题试法

? π? ? π? 4 3 2.(1)(2012·赣州模拟)已知 sin?α + ?+cos α = ,则 sin?α + ?的值为( 5 ? 6? ? 3?
4 A. 5 3 B. 5

)

C.

3 2

D.

3 5

3π (2)若 α +β= ,则(1-tan α )(1-tan β )的值是________. 4 3 4 3 sin α + cos α = , 2 2 5 3

解析:(1)由条件得

1 3 4 即 sin α + cos α = . 2 2 5

? π? 4 ∴sin?α + ?= . ? 3? 5
3π tan α +tan β (2)-1=tan =tan(α +β )= , 4 1-tan α tan β ∴tan α tan β-1=tan α +tan β . ∴1-tan α -tan β +tan α tan β=2, 即(1-tan α )(1-tan β )=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换

典题导入 [ 例 3] ________. (1)(2012·温州模拟 ) 若 sin α +cos α sin α -cos α = 3 , tan(α - β ) = 2 ,则 tan(β - 2α ) =

? π? 4 ? π? (2)(2012·江苏高考)设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?的值为________. 12? ? 6? 5 ?
sin α +cos α tan α +1 [自主解答] (1)由条件知 = =3, sin α -cos α tan α -1 则 tan α =2. 故 tan(β -2α )=tan [(β-α )-α ]



β -α 1+

-tan α

β-α

-2-2 = α 1+ -

4 = . 3

? π? 4 (2)因为 α 为锐角,cos?α + ?= , ? 6? 5 ? π? 3 ? π? 24 所以 sin?α + ?= ,sin 2?α + ?= , ? 6? 5 ? 6 ? 25 ? π? 7 cos 2?α + ?= , ? 6 ? 25 ? ? π? π? ? π? 所以 sin?2α + ?=sin?2?α + ?- ? 6? 4 ? 12? ? ? ?
= 24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50

4 17 2 [答案] (1) (2) 3 50 由题悟法 1. 当“已知角”有两个时, 一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧: α α =2· ;α =(α +β )-β ; 2 α =β -(β-α ); 1 α = [(α +β )+(α -β )]; 2 1 β = [(α +β )-(α -β )]; 2

? ? π π ?π π ?π +α = -? -α ?;α = -? -α ?. 4 2 ?4 4 ?4 ? ?
以题试法

? π? 1 ? π? 2 3.设 tan α +β = ,tan?β - ?= ,则 tan?α + ?=( 5 ? 4? 4 ? 4?

(

)

)

13 A. 18 3 C. 22 解析:选 C

13 B. 22 1 D. 6

? π? ? tan?α + ?=tan? ? 4? ? ? π? -tan?β - ? ? 4?

α +β

? π?? -?β - ?? ? 4 ??

α +β = 1+

α +β

? ?β- ? ? 4?

3 = . π? 22

1.(2012·重庆高考)设 tan α ,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α +β )的值 为( ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

解析:选 A 由题意可知 tan α +tan β =3,tan α ·tan β=2, tan α +tan β tan(α +β )= =-3. 1-tan α tan β

? π? ? π? 3 2.(2012·南昌二模)已知 cos?x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 3 ? 6? ? 3?
2 A.- C.-1 3 3 2 B.± D.±1 3 3

)

解析:选 C

? π? 1 3 3 3 cos x+cos?x- ?=cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x= 2 2 2 2 ? 3?

3

? 3 ? π? 1 ? ?= 3cos? x- ?=-1. ? cos x + sin x ? 2 ? 2 ? 6? ? ? ?π ? ?π ? 1 3. (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α = , 那么 sin? +α ?sin? -α ?的值 2 ?4 ? ?4 ?
为( ) 1 A. 4 1 C. 2 1 B.- 4 1 D.- 2

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 1 ?π ? 解析: 选 A 依题意得, sin? +α ?sin? -α ?=sin? +α ?·cos? +α ?= sin? +2α ?= ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? 2 ?2 ?
1 1 1 cos 2α = (1-2sin2α )= . 2 2 4 4. 已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1, f(1))处的切线的斜率为 4, 则函数 g(x)= sin 2x+bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π C. 2,2π B.2,π D. 3,2π ) 3

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x2+b,

f′(1)=3+b=4,b=1.
所以 g(x)= = 3sin 2x+bcos 2x

? π? 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?, 6? ?

故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. 5. (2012·东北三校联考)设 α 、β 都是锐角,且 cos α = β =( ) 3 ,sin α +β = ,则 cos 5 5 5

(

)

2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5

2 B.

5 5

D.

5 5 或 5 25 5 ,

解析:选 A 依题意得 sin α =

2 1-cos2α = 4 =± . 5

5

cos(α +β )=±

1-sin2

α +β

又 α 、β 均为锐角,因此 0<α <α +β <π, 4 5 4 cos α >cos(α +β ),注意到 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α +β )=- . 5 4 5 3 2 5 cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α =- × + × = 5 5 5 5 2 5

25

. 3 3

6.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = 5 3 5 9

,则 cos 2α =(

)

A.- 5 9

B.- 5 3

C.

D.

解析:选 A 将 sin α +cos α =

1 2 两边平方,可得 1+sin 2α = ,sin 2α =- ,所 3 3 3

3

5 以(-sin α +cos α )2=1-sin 2α = .因为 α 是第二象限角,所以 sin α >0,cos α <0,所 3 15 5 ,所以 cos 2α =(-sin α +cos α )·(cos α +sin α )=- . 3 3

以-sin α +cos α =-

π 4π 1 7.(2012·苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 解析:由已知可得 4π 4π 1 cos cos x+sin sin x= , 5 5 2 即 cos?

? 4π

? 1 -x?= , ?5 ? 2

4π π 7π 又 x 是锐角,所以 -x= ,即 x= . 5 3 15 7π 答案: 15 8.化简 1-tan2 -α -α sin α cos α · =________. cos2α -sin2α 1

sin 2α 2 解析:原式=tan(90°-2α )· cos 2α sin 2α 2 · cos 2α 1



-2α -2α



cos 2α 1 sin 2α 1 · = . sin 2α 2cos 2α 2

1 答案: 2 9.(2013·烟台模拟)已知角 α ,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α ,β 1 ∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α +β 的终边与单位圆交点的纵坐 3 4 标是 ,则 cos α =________. 5 解析:依题设及三角函数的定义得:

1 4 cos β=- ,sin(α +β )= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β <π,∴ <β <π, <α +β <π,sin β= ,cos(α +β )=- . 2 2 3 5 ∴cos α =cos[(α +β )-β ] =cos(α +β )cos β+sin(α +β )sin β 3 ? 1? 4 2 2 =- ×?- ?+ × 5 ? 3? 5 3 = 3+8 15 2 .

3+8 2 答案: 15

? π? ? π? 1 10.已知 α ∈?0, ?,tan α = ,求 tan 2α 和 sin?2α + ?的值. 3? 2 ? 2? ?
1 2× 2

1 2tan α 解:∵tan α = ,∴tan 2α = = 2 1-tan2α

4 = , 1 3 1- 4



1 = ,即 cos α =2sin α , cos α 2

sin α

又 sin2α +cos2α =1,

? π? ∴5sin2α =1,而 α ∈?0, ?, ? 2?
∴sin α = 5 2 5 ,cos α = . 5 5 5 2 5 4 × = , 5 5 5

∴sin 2α =2sin α cos α =2×

4 1 3 cos 2α =cos2α -sin2α = - = , 5 5 5

? π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin?2α + ?=sin 2α cos +cos 2α sin = × + × = . 3? 3 3 5 2 5 2 10 ? ? π? 4 π 11.已知:0<α < <β <π,cos?β - ?= . 2 ? 4? 5
(1)求 sin 2β 的值;

? π? (2)求 cos?α + ?的值. ? 4? ? π? π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos?β - ?=cos cos β+sin β = cos β + sin β = , 4 2 2 3 ? 4?
∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

?π ? ? π? 7 法二:sin 2β =cos? -2β?=2cos2?β - ?-1=- . 9 ?2 ? ? 4?
π (2)∵0<α < <β<π, 2 π π 3 π 3π ∴ <β<- < π, <α +β< , 4 4 4 2 2

? π? ∴sin?β- ?>0,cos(α +β)<0. ? 4? ? π? 1 4 ∵cos?β- ?= ,sin(α +β)= , 5 ? 4? 3 ? π? 2 2 ∴sin?β- ?= , 3 ? 4?
cos(α +β)=- .
5 3

? π? ? ∴cos?α + ?=cos? ? 4? ?

α +β

? π?? -?β- ?? ? 4 ??

? π? =cos(α +β)cos?β- ? ? 4?

3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15

? x? ? x? 12.(2012·衡阳模拟) 函数 f(x)=cos?- ?+sin?π- ?,x∈R. ? 2? ? 2?
(1)求 f(x)的最小正周期; 2 (2)若 f(α )= 10 5

? π? ? π? ,α ∈?0, ?,求 tan?α + ?的值. ? 2? ? 4? ?
x? x x

解:(1)f(x)=cos?- ?+sin?π- ?=sin +cos = 2 2 ? 2? ? 2? 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 (2)由 f(α )= 10 5 α α 2 10 ,得 sin +cos = , 2 2 5

? x?

? x π? 2sin? + ?, ?2 4 ?

? ? α α? ? ?2 10?2, 则?sin +cos ?2= ? 2? ? ? 2 ? 5 ?
8 3 即 1+sin α = ,解得 sin α = , 5 5

? π? 又 α ∈?0, ?,则 cos α = ? 2?
sin α 3 故 tan α = = , cos α 4

1-sin2α =

9 4 1- = , 25 5

? π? 所以 tan?α + ?= 4? ?

= =7. π 3 1-tan α tan 1- 4 4

π tan α +tan 4

3 4

+1

?1? π 1.若 tan α =lg(10a),tan β =lg? ?,且 α +β = ,则实数 a 的值为( 4 ? a?

)

A.1 1 C.1 或 10

1 B. 10 D.1 或 10

tan α +tan β 解析:选 C tan(α +β )=1? = 1-tan α tan β

a +lg? ? ? a?
1-

?1? ?1? ? ? ?a ?
=1?lg2a+lg a=

a

0, 1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10

? π? ? π? 2.化简 sin2?α - ?+sin2?α + ?-sin2α 的结果是________. ? 6? ? 6? ? ? π? π? 1-cos?2α - ? 1-cos?2α + ? 3? 3? ? ? 解析:原式= + -sin2α 2 2 ? ? π? π?? 1? =1- ?cos?2α - ?+cos?2α + ??-sin2α 3? 3 ?? 2? ? ?
π cos 2α 1-cos 2α 1 =1-cos 2α ·cos -sin2α =1- - = . 3 2 2 2 1 答案: 2 3 3.已知 sin α +cos α =

? π? ? π? 3 ?π π? 5 ,α ∈?0, ?,sin?β - ?= ,β ∈? , ?. 5 ? 4? ? 4? 5 ?4 2?

(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值. 9 解:(1)由题意得(sin α +cos α )2= , 5 9 4 即 1+sin 2α = ,∴sin 2α = . 5 5

? π? 又 2α ∈?0, ?,∴cos 2α = ? 2?
sin 2α 4 ∴tan 2α = = . cos 2α 3

3 1-sin22α = , 5

?π π? ? π? 3 π? π ? (2)∵β∈? , ?,β - ∈?0, ?,sin?β - ?= , 4? 4 ? ?4 2? ? 4? 5 ? π? 4 ∴cos?β - ?= , ? 4? 5 ? π? ? π? ? π? 24 于是 sin 2?β - ?=2sin?β - ?cos?β - ?= . ? 4? ? 4 ? ? 4 ? 25 ? π? 又 sin 2?β - ?=-cos 2β , ? 4?
24 ∴cos 2β =- , 25

?π ? 7 又∵2β∈? ,π?,∴sin 2β= , 25 ?2 ? ? π?? 1+cos 2α 4? 又∵cos2α = = ?α ∈?0, ??, 2 5? ? 4 ??
2 ∴cos α = 5 5 ,sin α = 5 5 .

∴cos(α +2β )=cos α cos 2β-sin α sin 2β = 2 5 5

? 24? 5 7 11 5 ×?- ?- × =- . 25 ? 25? 5 25

1.(2012·北京西城区期末)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x·(

?π ? 3sin2x+sin xcos x,x∈? ,π?. ?2 ?

3sin x+cos x)=0,

所以 sin x=0 或 tan x=-

3 . 3

?π ? 由 sin x=0,x∈? ,π?,得 x=π; ?2 ?
由 tan x=-

?π ? 5π ,x∈? ,π?,得 x= . 3 6 ?2 ?
3

5π 综上,函数 f(x)的零点为 ,π. 6 (2)f(x)=

? π? 1 3 (1-cos 2x)+ sin 2x=sin?2x- ?+ . 3? 2 2 2 ?
3

?π ? π ?2π 5π? 因为 x∈? ,π?,所以 2x- ∈? , ?. 3? 3 ?3 ?2 ?
π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3 3 2 3;

π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2

? β? ?α ? 2 π 1 2.已知 0<β< <α <π,且 cos?α - ?=- ,sin? -β?= ,求 cos(α +β )的值; 2 9 ? 2? ?2 ? 3
π 解:∵0<β < <α <π, 2 π α π π β ∴- < -β < , <α - <π. 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?


?α ? 1-sin2? -β? ?2 ?

?2? 5 1-? ?2= , 3 ?3? ? β? 1-cos2?α - ? ? 2?

? β? sin?α - ?= ? 2?



? 1? 4 5 1-?- ?2= . 9 ? 9?

?? β? ?α ?? α +β ∴cos =cos??α - ?-? -β?? 2 ?? 2? ? 2 ?? ? β ? ?α ? ? β? ?α ? =cos?α - ?cos? -β?+sin?α - ?sin? -β? ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2 ?
1 5 4 5 2 7 5 =- × + × = . 9 3 9 3 27 α +β 49×5 239 ∴cos(α +β )=2cos2 -1=2× -1=- . 2 729 729