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数量积坐标表示_图文

平面向量的数量积

的坐标表示

一、复习练习:
1. 若 | a |? 2, | b |? 1, a与b夹角为60 , a ? b ?| a || b | cos ?


(其中?是a与b的夹角) 则a ? b ? (1 ) a ?b | a |? 1, | b |? 2, 2. 若a ? b ? 2,
。 45 则a与b夹角为 ( )

cos ? ?

| a || b |

3. 若 a与 b垂 直 , 则 a ?b ? (0 )

a ? b ? a ? b ? 0;
a ? a ?| a |2 | a |? a?a

则a ? a ? (4 ) ; 4. 若| a |? 2,

? 5. 若i , j分别为与 x轴、 y轴方向 相同的两个单位向量 , ? ? ? ? 则i ? i ? ( 1 ); j ? j ? ( 1 ); ? ? ? ? i ? j ? j ? i ? ( 0 ).

若a ? a ? 9, 则 | a |? (3 ) .

二.创设教学情境
已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), a与b的夹角为? , 求cos? .

a ?b 根据以前的知识, cos ? ? . | a || b |

我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样 用 a和b的坐标表示a ? b呢?

三、新课学习

1.平面向量数量积的坐标表示 如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,
由于a ? b ? a ? b cos ?,所以

y A( x , y ) 1 1
B(x2,y2)
b
j

i ?i ? 1 . j ? j ?1 .
i ? j ? j ? i ?0 .

a

o

i

x

下面研究怎样用 a和b的坐标表示a ? b. 设两个非零向量
a =(x1,y1), b=(x2,y2),则

a ? x1i ? y1 j,b ? x2 i ? y2 j,
a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2.
2 2

故两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和.即 y
A(x1,y1)
a
i

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b
j

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算.

2.向量的模和两点间的距离公式
(1)a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模
设a ? ( x, y), 则 a ? x2 ? y 2 , 或 a ?
2

x2 ? y 2 .

(2)两点间的距离公式
设A (x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 )2 ? (y1 ? y2 )2 .

3.两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0
设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

(2)平行
设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

四、基本技能的形成与巩固
例1.已知a ? (3, 2), b ? (1, ?1), 求向量a与b的 夹角的余弦值.

解:设向量a与b的夹角为?,则 26 cos ? ? ? . 2 26 32 ? 22 ? 12 ? (-1) 3 ?1 ? 2 ? (-1)

26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26

例2
? OC ? AB , 证明O为?ABC垂心。
2 2

已知O为?ABC所在平面内一点且满足: OA ? BC ? OB ? CA

2

2

2

2

证明:由 OA ? BC ? OB ? CA 得:OA ? OB ? CA ? BC ,

2

2

2

2

2

2

2

2

即:(OA+OB) ( ? OA-OB)( = CA+ BC) ( ? CA-BC)
所以:(OA+OB) ? BA ? BA( ? CA-BC)

所以:(OA+OB-CA+ BC) ? BA=0

即: OC ? BA ? 0, 所以: OC ? BA
同理可证: OB ? CA , OA ? BC,

所以O为?ABC垂心得证。

应用向量知识证明平面几何有关定理
例3、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量AC ? CB,即 AC ? CB ? 0 。

C B O

解:设AO=a, OC=b
CB? ?a ?? b 则AC ? a ? b, CB

由此可得: AC ? CB=(a+b)(a-b) ?
? a ?b ? a ? b
2 2 2 2

? r2 ? r2 ? 0
即 AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90° 思考:能否用向量坐标形式证明?

应用向量知识证明平面几何有关定理
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知:平行四边形ABCD。 D AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 求证: 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 AB ? a, AD ? b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2

C B

解:设 AB ? a, AD ? b ,则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b

AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b )
2 2 2 2

AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

2 2 2 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? ? ∴ AB2 ? BC2 ? CD 2 ? DA2 ? AC2 ? BD2 2 2 2 2

应用向量知识证明三线共点、三点共线
例5、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点 分析:思路一:设AD与BE交于H,只要证 F CH⊥AB,即高CF与CH重合,即CF 过点H 只须证明BA ? CH B 由此可设 BC ? a CA ? b
CH ? p

A

H
D

E C

如何证 p ? BA ? 0?
利用AD⊥BC,BE⊥CA,对应向量垂直。

HA ? BC ? (b ? p) ? a ? 0 ? b ? a ? p ? a ? 0 BH ? CA ? (a ? p) ? b ? 0 ? b ? a ? p ? b ? 0
? p ? a ? p ? b ? 0 ? p ? (a ? b) ? 0 ? CH ? BA ? 0 ? CH ? BA

应用向量知识证明三线共点、三点共线
例6、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N, 在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q, 使MQ=CM。求证:P、A、Q三点共线 P C 解:设 AB ? a, AC ? b 1 1 N 则 AN ? b, AM ? a
2

由此可得 BN ? NP ? b ? a

??PA ? AN ? NP, PA ? ?(b ? a) ? a ? b ? AQ ? AM ? MQ, AQ ? ?(b ? a) ? a ? b
即 PA ? AQ 故有 PA// AQ ,且它们有 公共点A,所以P、A、Q三点共线 Q

1 2 1 CM ? MQ ? a ? b 2

2

A

M

B

应用向量知识证明等式、求值
例7、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM的面积 C D F 分析:如图建立坐标系,设E(e,0),M(8,4), N是AM的中点,故N(4,2) M N AM ? (8, 4)

EN ? AN ? AE =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)
AM ? EN ? (8, 4) ? (4 ? e, 2) ? 0

A

E

B

解得:e=5 故△AEM的面积为10

应用向量知识证明等式、求值
例8、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求△AEM的面积 C D F 解:如图建立坐标系,设E(e,0),由 正方形面积为64,可得边长为8 M 由题意可得M(8,4),N是AM的 N 中点,故N(4,2) ? AM ? (8,4) A E B =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) EN ? AN ? AE
AM ? EN ? (8,4) ? (4 ? e,2) ? 0

解得:e=5

即AE=5

? S?AEM

1 ? AE ? BM ? 10 2

应用向量知识证明等式、求值
练习:PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 求证: ? ? 3 B m n Q 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, G 联想线段的定比分点,利 用向量坐标知识进行求解。 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知: O分 PA 的比为 -? 的比为-n m,O分 QB ? PO ? ?mOA, QO ? ?nOB 由此可设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) 由向量定比分点公式,可求 P、Q的坐标,而G为重心,其坐标也可求出,进而 由向量 PG // GQ,得到 m n 的关系。

·

应用向量知识证明等式、求值
练习:PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 B 求证: ? ? 3 m n Q 证:如图建立坐标系, G 设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) A(a,0), B(b, c) a?b c ( , ) 所以重心G的坐标为

·
P

由PO=mOA, QO=nOB可知: PO ? ?mOA, QO ? ?nOB 即O分PA 的比为-m,O分QB 的比为-n 求得 P(m a,0)Q(nb, nc)
a?b c a?b c PG ? ( ? ma , ) GQ ? ( nb ? , nc ? ) 3 3 3 3 由向量 PG // GQ 可得:

3

3

O

A

a?b c c a?b ( ? ma )( nc ? ) ? ( nb ? )?0 3 3 3 3

1 1 ? ?3 化简得: m n

设向量m与n夹角为?,因为m ? n ?| m || n | cos ?, 从而 ? 3? 1? 1 ? ? ? ? ? (-7) 2 4? ? cos ? ? ? . 2 3 2 2 2 2 1 ? (? ) ? 1 ? (-7) 4

所以? ? 45?,即直线l1和l2的夹角为45?.

练习1:
1,已知a ? (2,2 3 -4), b ? (1, 1 ), 求: (1) a ? b; (2)与 a b的夹角?的大小.

2,已知a ? (3,2), b? (6,9), 求证a ? b.

本堂小结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题:
1.数量积的坐标表示

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
2

2.向量坐标表示的求模公式 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2 3.平面内两点间的距离公式

AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2

2

4.两向量夹角的余弦

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

5.向量垂直的判定

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角△OAB,?B=90?, 求点B的坐标. y
B

A
O
?3 7? ?7 3? 答案: B的坐标为 ? , ?或? , ? ?. ?2 2? ?2 2?

x

五、课后练习
1.已 知 OA ? (?3,1), OB ? (0,5), 且 AC // OB, BC ? AB, 则 点 C的 坐 标 为
29 ? ? C ? ? 3, ? 3 ? ?

2.已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5,8), 则四边形ABCD的形状是 矩形.

a = (1,2), b = (-3,2), 若 k a ? 2b 与 2 a - 4 b 平行,则k =- 1
3.已知

.