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2013届高三数学周练2012


2013 届高三数学周练 2012.12.25
1.已知空间三条直线 l、m、n. 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则

(

)





A. m 与 n 异面. C. m 与 n 平行.

B. m 与 n 相交. D. m 与 n 异面、相交、平行均有可能. ) C. 57? D. 81? ( ) ( )

2.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(

A. 12?

B. 45?

3.设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件
4.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? y 2 ? 2 的位置关系一定是





A.相离
5.已知椭圆 C1 :

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心 ( )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1, C2 : ? ? 1, 则 12 4 16 8
B. C1 与 C 2 长轴长相同. D. C1 与 C 2 焦距相等.

A. C1 与 C 2 顶点相同. C. C1 与 C 2 短轴长相同.

6.设

F1F2 是 椭 圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , P 为 直 线 x ? 上一 2 2 a b
?

点, ? F2 PF 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 A.

( D.



1 2

B.

2 3

C.

? ?

? ?

x2 y 2 7.已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( ) a b
A.

x2 y2 =1 20 5

B.

x2 y 2 =1 5 20

C.

x2 y 2 =1 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

8. 如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的 a 2 b2

端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平 分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2 3 3





B.

6 2

C. 2

D. 3

9.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 .双曲线 x ? y ? 1 2 a b 2

的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的 方程为 ( ) A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

10 . 已知

F1 , F2 为双曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则
( B. )

cos ?F1PF2 ?
A.

1 4

3 5

C.

3 4

D.

4 5

11.在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

1 ,则 b ? ___________. 4

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为____. m m ?4

13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ?

?
3

14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长最 4 3

大时, ?FAB 的面积是____________. 15 . 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) 的 左 、 右 顶 点 分 别 是 A,B, 左 、 右 焦 点 分 别 是 F1,F2. 若 a 2 b2

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

班级____________姓名_________学号__________成绩_____________ 题号 答案 11.______________ 15.____________. 12.__________ 13.___________ 14.___________ 小题总得分_______________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 小计

16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知, A ?

?

(1)求证: B ? C ?

?
2

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

?

?

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积.

/ / / ? 17. 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点.
/ / (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ;
/ (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值.

18.如图,椭圆 C:

1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过 2 a 2 b2

原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

19.(1)已知函数 f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R , f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?1,1] . 且 (Ⅰ) m 的值; 求 (Ⅱ)

若 a, b, c ? R ,且 1 ? 1 ? 1 ? m ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9 .
a 2b 3c

(2)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知

直 线 l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 (2, 0), (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

? x ? 2 ? 2cos ? ? ( ? 为参数).(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方 ? ? y ? 3 ? 2sin ? ?
2 2 程 ;(Ⅱ) 判 断 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系 . (3) 设 曲 线 2 x ? 2 xy ? y ? 1 在 矩 阵

? a 0? 对应的变换作用下得到的曲线为 x 2 ? y 2 ? 1.(Ⅰ)求实数 a , b 的值.(Ⅱ) A?? ? (a ? 0 ) ?b 1?
求 A 的逆矩阵.
2

2013 届高三数学周练答案 2012.12.25
1-10 DCACD CABDC 11.4 12.2 13. ①②③ 14.

2 3

15.

5 5

16. 解:(1)证明:由 b sin(

?

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4
即 sin B(

?

? C ) ? c sin( ? B) ? a 及正弦定理得: 4 4

?

?

2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

3? 5? ? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 8 8 4 a s i nB ?5 a s iC n ? ?2 s i n c? , ? 2 s i n 所 以 三 角 形 ABC 的 面 积 所 以 b? , sin A 8 sAi n 8
(2) 由(1)及 B ? C ?

1 ? b c i n A? s 2

5 ? 2 sin 8

?

s i?n 8

?

? 2 2 sin ?cos 8 8 2

? 1
? 4

sin 2

17. (1) 证明:取 A ' B ' 中点 P,连结 MP,NP,而 M,N 分别是 A B ' 与 B ' C ' 的中点,所以, MP∥A A ' ,PN∥ A ' C ' , 所 以 ,MP∥ 平 面 A ' AC C ' ,PN∥ 平 面

A ' AC C ' ,又 MP ? NP ? p ,因此平面 MPN∥平面 A ' AC C ' ,而
MN ? 平面 MPN,所以,MN∥平面 A ' AC C ' ,

18.(Ⅰ)由题: e ?

c 1 ? ; (1) 左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? a 2

10 .

(2) 由(1) (2)可解得: a 2 ? 4,b 2 ? 3,c 2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∵A,B 在椭圆上,∴ ? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . x A ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2
? x2 y 2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB =
m2 ? 3 . 3

∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
1 3 ∴S ? ABP= d|AB|= 2 6

( xA ? xB )2 ? 4xA xB =
8 ? 2m 13 ? 2 4?m 13

39 6

12 ? m2 .

.

(4 ? m)2 (12 ? m2 ) ,其中﹣ 12 <m< 12 且 m≠0.

利用导数解: 令 u(m) ? (4 ? m)2 (12 ? m2 ) , 则 u?(m) ? ?4(m ? 4)(m2 ? 2m ? 6) ? ?4(m ? 4)(m ? 1 ? 7)(m ? 1 ? 7) 当 m= 1 ? 7 时,有(S ? ABP)max.此时直线 l 的方程 3x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 . 19. (1)∵ f ( x ? 2) ? m ? x ? 0,? x ?m

? m ? 0, ?m ? x ? m,? f ( x ? 2) ? 0 的解集是 [?1,1] 。故 m ? 1 。
(2)由(1)知

1 1 1 ? ? ? 1, a, b, c ? R ,由柯西不等式得 a 2b 3c

1 1 1 1 1 1 2 a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? ( a. ? 2b . ? 3c . ) ?9。 a 2b 3c a 2b 3c
(2).(Ⅰ)由题意知 M (2, 0), N (0,

2 3 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中点,则 P(1, ) , 3 3 3 x. 3 2 3 ) 3

因此 PO 直角坐标方程为: y ?

(Ⅱ)因为直线 l 上两点 M (2, 0), N (0,

∴ l 垂直平分线方程为: 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心(2, ? 3 ),半径 r ? 2 . ∴d ?

2 3 ?3 3 ?2 3 3?9

?

3 ? r ,故直线 l 和圆 C 相交. 2

2 2 (3) 解 :(1) 设 曲 线 2 x ? 2 xy ? y ? 1 上 任 一 点 P( x, y) 在 矩 阵 A 对 应 的 变 换 下 的 像 是

? x? ? ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? ax ? P?( x?, y?) , 由 ? ? ? ? , 因 为 P?( x?, y?) 在 圆 ? ??? ? ,得 ? ? y? ? ? b 1 ? ? y ? ? bx ? y ? ?? ? ? y? ? bx ? y ? ? ? ? ?

x2 ? y 2 ? 1上,所以 (ax)2 ? (bx ? y)2 ? 1,化简可得 (a2 ? b2 ) x2 ? 2bxy ? y 2 ? 1
依题意可得 (a ? b ) ? 2, 2b ? 2 ? a ? 1, b ? 1或 a ? ?1, b ? 1
2 2

而由 a ? 0 可得 a ? b ? 1 (2)由(1) A ? ?

?1 0 ? 2 ?1 0 ??1 0 ? ? 1 0 ? ? 1 0? 2 2 ?1 ?, A ?? ?? ??? ? ?| A |? 1,( A ) ? ? ? ?1 1 ? ?1 1 ??1 1 ? ? 2 1 ? ? ?2 1 ?


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