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高中数学必修四知识点汇总


第一章 三角函数
1. 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 按边旋转的方向分 零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角。 角 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 的 第一象限角{α |k?360°<α <90°+k?360°,k∈Z} 分 象限角 第二象限角{α |90°+k?360°<α <180°+k?360°,k∈Z} 类 第三象限角{α |180°+k?360°<α <270°+k?360°,k∈Z} 按终边的位置分 第四象限角{α |270°+k?360°<α <360°+k?360°,k∈Z} 或{α |-90°+k?360°<α <k?360°,k∈Z} 轴上角(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角, 它不属于任何一个象限. 2.终边相同角的表示:所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,可构成一个集合 S={β |β =α + k?360°,k∈Z}即 任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与整个周角的和。 3.几种特殊位置的角: ⑴终边在 x 轴上的非负半轴上的角:α = k?360°,k∈Z ⑵终边在 x 轴上的非正半轴上的角:α =180°+ k?360°,k∈Z ⑶终边在 x 轴上的角:α = k?180°,k∈Z ⑷终边在 y 轴上的角:α =90°+ k?180°,k∈Z ⑸终边在坐标轴上的角:α = k?90°,k∈Z ⑹终边在 y=x 上的角:α =45°+ k?180°,k∈Z ⑺终边在 y=-x 上的角:α = -45°+ k?180°,k∈Z 或α =135°+ k?180°,k∈Z ⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角:α = k?45°,k∈Z 4.弧度:在圆中,把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示。 5.一般的,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. 6.如果半径为 r 的圆的圆心角α 所对弧的长为 l ,那么,角α 的弧度数的绝对值是|α |= 相关公式:⑴ l ?

l r

nπ r 1 nπ r 2 1 ?| ? | r ⑵ S ? l r ? ? | ? | r2 180 2 360 2
o

7.角度制与弧度制的换算:⑴ 1 ?

π rad 180

( ⑵ 1rad ?

180 o ) π

8.单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。 9.利用单位圆定义任意角的三角函数:设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y)那么: ⑴y 叫做α 的正弦,记作 sinα 即 sinα =y ⑵x 叫做α 的余弦,记作 cosα ,即 cosα =x ⑶ 10. 同角三角函数的基本关系 商的关系【当α ≠kπ +

y y 叫做α 的正切,记作 tanα ,即 tanα = (x≠0) x x
平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ; cos ? ? ? 1 ? sin2 ?
2 2

π sin ? ? tan ? (k∈Z) 】 : 2 cos ?

11.三角函数的诱导公式:
1

公 sin ?? ? k ? 2? ? ? sin ? 式 cos ?? ? k ? 2? ? ? cos ? 一 tan ?? ? k ? 2? ? ? tan ? 【注】其中k ? Z

公 sin ?? ? ? ? ? ? sin ? 式 cos ?? ? ? ? ? ? cos ? 二 tan ?? ? ? ? ? tan ?

公 sin ? ?? ? ? ? sin ? 式 cos ? ?? ? ? cos ? 三 tan ? ?? ? ? ? tan ?

公 sin ?? ? ? ? ? sin ? 式 cos ?? ? ? ? ? ? cos ? 四 tan ?? ? ? ? ? ? tan ?
?? ? 公 sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ? ?? ? 式 cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?? ? 五 tan ? ? ? ? ? cot ? ?2 ?
12.三角函数的图像与性质: 正弦函数 y=sinx 定义域 值 零 域 点 R [-1,1](有界性)

公式一~四可以概括如下: ? ? k ? 2?

? k ? Z ? , ?? , ? ? ? 的三

角函数值,等于 ? 的同名函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原 函数值的符号。

?? ? 公s i n ?s ? ?? ? ? c o ?2 ? ?? ? 式c o s ?n ? ?? ? ? ? s i ?2 ? ?? ? 六t a n ?t ? ?? ? ? ? c o ?2 ?

公式五和公式六可以概括如下:

?
2

? ? 的正弦(余弦)

函数值,分别等于 ? 余弦(正弦)函数值,前面加上一 个把 ? 看成锐角时原函数值的符号。 【奇变偶不变,符号看象限】

余弦函数 y=cosx R [-1,1](有界性)

正切函数 y=tanx

{x|x ?

?
2

? k?,k ? Z}
R

{x|x ? k?,k ? Z}
T=2π 奇函数

{x|x ?

?
2

? k?,k ? Z}
T=2π

{x|x ? k?,k ? Z}
T=π 奇函数

周期性 奇偶性 单 调 性 对 称 性 增区间 减区间 对称轴 对称 中心 图

偶函数

[? [

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ](k ? Z )

[ ? ? ? 2k? ,2k? ](k ? Z)

(?

?
2

+k? ,

?
2

+k? )(k ? Z )

?

2

? 2k? , x?

?
2

3? +2k? ](k ? Z ) 2 ? k? (k ? Z)

[2k? ,? ? 2k? ](k ? Z)
x ? k? (k ? Z)
(

(k? ,0)(k ? Z)

?
2

+k? ,0)(k ? Z)
3

(

k? ,0)(k ? Z ) 2
5 4

3

2

3

2
2

1 1

1

-4 -4 -2

-2

2

4
-6 -4 -2 2 4 6

0

2

4

6

-1

-1 -1
-2

-2 -2
-3


-3

-3

-4

-5

注意: y ? sin x 周期为 2π ; y ?| sin x | 周期为π ; y ?| sin x ? k | 周期为 2π ; y ? sin | x | 不是周期函数。
2

13.得到函数 y ? A sin (?x ? ? ) 图像的方法:

? y=sin(x+?) ???? ? y ? sin (?x ? ?) ???? ?y ? ① y=sinx ????
平移变换 周期变换 振幅变换
周期变换 向左或向右平移| |个单位

Asin (?x ? ?)

? y ? sin ? x ???????? ? y ? sin (?x ? ? ) ???? ? y ? A sin (?x ? ? ) ② y=sinx ????
振幅变换

? ?

14.简谐运动 ①解析式: y ? A sin (?x ? ? ),x ?[0,+?) ②振幅:A 就是这个简谐运动的振幅。 ③周期: T ? 若函数的最大值为 a ,最小值为 b, 则有 A ?

2 π

? 1 ? ④频率: f = ? T 2 π ⑤相位和初相: ? x ? ? 称为相位,x=0 时的相位 ? 称为初相。

a-b a +b ,k ? 2 2

第二章 平面向量
1.向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量。 数量:我们把只有大小没有方向的量称为数量。 2.有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素:起点、方向、长度。 3.向量的长度(模) :向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作 | AB | 。 4.零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 ,零向量的方向是任意的。 单位向量:长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量。 5.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量 a 、 b 是两个平行向量,那么通常记作 a ∥ b 。 平行向量也叫做共线向量。我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任一向量 a ,都有 0 ∥ a 。 6.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量 a 、 b 是两个相等向量,那么通常记作 a = b 。

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BC = b , 7.如图, 已知非零向量 a 、 在平面内任取一点 A, 作 AB = a , 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和, 记作 a ? b , b,
即 a ? b ? AB ? BC ? AC 。 向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。 8.对于零向量与任一向量 a ,我们规定: a + 0 = 0 + a = a 9.公式及运算定律:① A 1 A 2 + A 2 A 3 +...+ AnA 1 = 0 ③ a+b ? b ? a

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② | a+b| ≤ | a |+|b|

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(a+b )+c ? a ? (b+c ) ④

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10.相反向量:①我们规定,与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作- a 。 a 和- a 互为相反向 量。 ②我们规定,零向量的相反向量仍是零向量。
3

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③任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+ (- a)( = - a) +a = 0 。 ④如果 a 、 b 是互为相反的向量,那么 a = - b , b = - a , a ? b = 0 。 ⑤我们定义 a - b = a+ ,即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 (- b ) 11.向量的数乘:一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘。记作 ? a ,它的 长度与方向规定如下:① | ? a |?| ? || a | 方向相反;λ =0 时, ? a = 0 12. 运 算 定 律 : ①

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②当λ >0 时,? a 的方向与 a 的方向相同;当λ <0 时,的方向与 a 的

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? (? a )( ? ??) a
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② (? ? ?) a ? ?a ? ?a

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? (a ? b )=? a ? ?b

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④ (? ?) a?? (? a ) ?? (? a) ⑤ ? (a ? b )=? a ? ?b 13.定理:对于向量 a ( a ≠ 0 ) 、 b ,如果有一个实数λ ,使 b = ? a ,那么 a 与 b 共线。相反,已知向量 a 与 b 共线, a ≠ 0 ,且向量 b 的长度是向量 a 的长度的μ 倍,即| b |=μ | a |,那么当 a 与 b 同方向时,有 b = ? a ;当 a 与 b 反方向时,有 b = ?? a 。则得如下定理:向量向量 a ( a ≠ 0 )与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ , 使b = ?a 。 14.平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且 只有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2e2 。我们把不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底。 15.向量 a 与 b 的夹角:已知两个非零向量 a 和 b 。作 OA ? a , OB ? b ,则 ?AOB ? ? (0°≤θ ≤180°)叫 做向量 a 与 b 的夹角。当θ =0°时, a 与 b 同向;当θ =180°时, a 与 b 反向。如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们 说 a 与 b 垂直,记作 a ? b 。 16.补充结论:已知向量 a 、 b 是两个不共线的两个向量,且 m、n∈R,若 ma ? nb ? 0 ,则 m=n=0。 17.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。 18. 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 。即若 a ? ( x1, y1) , b ? ( x2, y 2) ,则

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? ? ? ? a ? b ? ( x1 ? x2, y1 ? y2), a ? b ? ( x1 ? x2, y1 ? y 2)
19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若 a ? ( x1, y1) ,则 ? a ? (? x1, ? y1) 20.当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a 、 b ( b ≠ 0 )共线

?

?

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?

y _ P _

_ P2

L _

4

_ P1 x _

A C

???? ? ???? ? x1 ? ? x 2 y1 ? ? y 2 , ) 21.定比分点坐标公式: 当 P1P ? ? PP 2 时, P 点坐标为 ( 1? ? 1? ?
①当点 P 在线段 P1P2 上时,点 P 叫线段 P1P2 的内分点,λ >0 O ②当点 P 在线段 P1P2 的延长线上时,P 叫线段 P1P2 的外分点,λ <-1; 当点 P 在线段 P1P2 的反向延长线上时,P 叫线段 P1P2 的外分点,-1<λ <0. 22. 从一点引出三个向量,且三个向量的终点共线, 则 OC ? ?OA ? ?OB ,其中λ +μ =1 23.数量积(内积) :已知两个非零向量 a 与 b ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作 a ? b 即 a ? b = | a || b | cos? 。其中θ 是 a 与 b 的夹角,

B

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? ? ? ? ? ? | a | cos ? ( | b | cos? )叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影。我们规定,零向量与任一向量的数量
积为 0。 24. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积。 25.数量积的运算定律: ① a ?b = b ?a
2 ④ ( a ? b ) ? a ? 2a ? b ? b

?

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② (λ a ) ?b =λ ( a ?b ) =a ? (λ b ) ③ (a +b ) ?c = a ?c + b ?c

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?2

? ? ?2

2 ⑤ ( a ? b) ? a ? 2a ? b ? b

? ?

?2

? ? ?2

⑥ ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b

?

?

? ?

?2

?2

26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。则: ①若 a ? ( x, y) ,则 | a |2 ? x2 ? y 2 ,或 | a |?

? ?

?

?

?

? x 2 ? y 2 。如果表示向量 a 的有向线段的起点和中点的坐标分别为

? ? 2 2 (y2 ? y1) 、 ,那么 a ? , | a |? (x2 ? x1) ? (x1,y1) (x2,y2) (x2 ? x1,y2 ? y1)
②设 a ? ,b ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? a ? b ? 0 (x1,y1) (x2,y2) 27.设 a 、 b 都是非零向量, a ? ,b ? ,θ 是 a 与 b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表 (x1,y1) (x2,y2)

?

?

?

?

? ?
?

?

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?

?

? ? a ?b 示可得: cos ? ? ? ? ? | a || b |

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y12 x2 2 ? y2 2
2

第三章 三角恒等变换
1.两角和的余弦公式【简记 C(α +β )】 :o c s 2.两角差的余弦公式【简记 C(α -β )】 :o c s

? o c s ?o c s ?n i sn i s? ?? ? ? ? ? o c s ?o c s ?n i sn i s? ?? ?

? ? ? ?

? ?

3.两角和(差)余弦公式的公式特征:①左加号,右减号。②同名函数之积的和与差。③α 、β 叫单角,α ±β 叫复角,通过单角的正、余弦求和(差)的余弦值。④“正用” 、 “逆用” 、 “变用” 4.两角和的正弦公式【简记 S(α +β )】 :n i s 5.两角差的正弦公式【简记 S(α -β )】 :n i s

?n i s o s ?c o sn i s ? ?? ? ?? c ?n i s o s ?c o sn i s ? ?? ? ?? c
5

? ? ? ?

? ?

6.两角和(差)正弦公式的公式特征及用途:①左右运算符号相同。②右方是异名函数之积的和与差,且正弦值

在前,余弦值在后。 用途:可以由单角的三角函数值求复角(和角与差角)的三角函数值。 7.两角和的正切公式【简记 T(α +β )】 :n a ( t

?)? ? ? ?)? ? ?

n a t ? n a t? 1? n a t n a t ?

? ? ? ?
(k ? Z )

8.两角差的正切公式【简记 T(α -β )】 :n a ( t

n a t ? n a t? 1? n a t n a t ?

9.两角和(差)正切公式的公式特征及公式变形:①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同,右边分子分母 运算符号相反。② ? ? k? ?

?
2

, ? ? k? ?

?
2

, ? ? ? ? k? ?

?
2

公式变形:① tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ② tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) 10.辅助角公式: a cos x ? b sin x ?

a 2 ? b2 (

a a 2 ? b2 b

cos x ?

b a 2 ? b2

sin x)

令 sin ? ?

a a 2 ? b2

, cos ? ?

a ? b2
2

∴ a cos x ? b sin x ?

a 2 ? b2 sin( x ? ? )
a b

其中θ 为辅助角, tan ? ?

11.倍角的正弦【简记 S2α 】 、余弦【简记 C2α 】 、正切【简记 T2α 】公式(升幂公式) :

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? 2 tan ? ? ? ? tan 2? ? , (? ? k? ? , 2? ? k? ? , ? ? k? ? ) 2 1 ? tan ? 2 2 4
作用:缩角升幂 12.半角的正弦【简记 S 2 】 、余弦【简记 C 2 】 、正切【简记 T
?
? ?
2

】公式(降幂公式) :



1 ? cos ? 2 2 ? 1 ? cos ? sin 2 ? 2 2 ? 1 ? cos ? tan 2 ? 2 1 ? cos ? cos 2 ?

?

1 ? cos ? cos ? ? 2 2


?

sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 4


?

1 ? cos ? sin ? ? 2 2 tan

?

sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 4 cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ? ) 4 cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ? ) 4

?

? ?

?
2

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?



1 ? s i n?2 ? 1 ? s i n?2 ?

(s ?i n ? (s ?i n ?

? c2o s ) ? cos )
2

⑤ tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

13.补充:若 A ? B ?

?
4



5? ,则 (1 ? tan A) ? (1 ? tan B) ? 2 4
6


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