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高一数学三角函数的积化和差与和差化积1


§3.3 三角函数的积化和差与和差化积
(一)教学目标 1.知识目标:了解积化和差、和差化积公式的推导过程,能初步运用公式进行和、积互 化. 2.能力目标:能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明. 3. 情感目标: 通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点. (二)教学重点、难点 本节重点是公式的推导与应用,难点是公式的灵活应用. (三)教学方法 观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法. (四)教学过程 教学 环节 教学内容 复习两角和与差的正弦和余 弦公式 师生互动 让学生将两角和与差的正弦、余 弦公式写出来. 设计意图 复习旧知识, 同时为推导 积化和差公 式作准备.

cos(? ? ? ) ?
复 习 引 入

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ① cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ② sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ③ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ④

积化 和差 公式 的 推导

推导积化和差公式:

1 cos ? cos ? = 2
[ cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ] ;

师:考察写出来的两角和与差的 正弦、余弦这四个公式,你能否 用 sin(? ? ? ) , cos(? ? ? ) ,

sin(? ? ? ) , cos(? ? ? ) 来表示
1 2

sin ? sin ? = ?

cos ? cos ? , sin ? sin ? , sin ? cos ? , cos ? sin ? .
生:①与②式两边分别相加和相 减除以 2 得到:

[ cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ] ;

培养学生应 用已有知识 分析问题的 能力和问题 探究的能力, 同时也使学 生认识到了 新公式产生 的根源.

sin ? cos ? =

1 2

cos ? cos ? = cos(? ? ? ) ]; sin ? sin ? = ? cos(? ? ? ) ];

1 [ cos(? ? ? ) ? 2

[ sin(? ? ? ) ? sin ] (?-?) ;

cos ? sin ? =

1 2

1 [ cos(? ? ? ) ? 2

[ sin(? ? ? ) ? sin ] (?-?) .

③与④式两边分别相加和相减 除以 2 得到:

sin ? cos ? =

1 [ sin(? ? ? ) ? 2

sin (?-?) ]; cos ? sin ? =
1 [ sin(? ? ? ) ? 2

sin (?-?) ].
师:这组公式称为三角函数积化 和差公式,熟悉结构,不要求记 忆,它的优点在于将 “积式”化 为“和差”,有利于简化计算. 积化和 差公式 的应用 和差化 积公式 的推导 教材练习 A 第 2 题. 学生做练习教师巡视检查. 让学生初步 学会应用公 式. 引导学生由 积化和差公 式推导和差 化积公式, 在 推导过程中 运用了代换 法进行角的 转化. 通过组织学 生讨论探究, 逐步培养学 生团结协作 的思想品质, 提高学生综 合运用知识 思考问题解 决问题的能 力.

推导和差化积公式:

sin x ? sin y =
x? y x? y 2sin cos ; 2 2

师:从上面的积化和差公式变形 可以得到:

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) =2cos

? cos ? ;
cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) = -
2 sin ? sin ? ;

sin x ? sin y =
2 cos x? y x? y sin ; 2 2

cos x ? cos y ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ; sin(? ? ? ) ? cos ? sin ? .

sin (?-?) =2

x? y x? y cos ; 2 2 cos x ? cos y ? 2 cos x? y x? y ?2sin sin . 2 2

sin (?-?) =2

左边是和差的形式,右边是积的

形式,设 ? ? ? ? x , ? ? ? ? y 后请学生自己将上面的四个式子 加以整理, 把 ? , ? 用 x, y 换下来. 学生整理后得到和差化积公式. 师:下面同学们看课本中的“探 索与研究”,同学们讨论一下如 何运用向量的知识来推导和差化 积的公式. 组织学生讨论. 师:这组公式称为和差化积公式, 其特点是同名的正(余)弦才能 使用,它与积化和差公式相辅相 成,配合使用. 和差化 积公式 的应用 例 1 化 cos 3? ? cos ? 为积的 形式. 巩固练习:练习 A,1,3. 练习 B,1. 例 2 已知 A+B+C=180 ,求证
?

sin A ? sin B ? sin C A B C 4 cos cos cos . 2 2 2
巩固练习:练习 B, 3.



利用和差化积这四个公式和其他 三角函数关系式,我们可以把某 些三角函数的和差化成积的形 式. 老师指导学生做例 1, 并检查学生 做的情况,用投影仪订正.并强调 说明化积的最后结果必须是几个 三角函数积的形式,但这样显然 不符合要求,最后结果应为

例 1 是和差 化积公式的 直接应用, 要 让学生明确 化积问题对 最后结果的 要求. 例 2 这是一 道典型的综 ? ?? ? ?? 合性问题, 对 2 cos ? cos cos . 于它的解题 2 2 例 2 是一道综合性较强的证明题, 过 程 的 深 入 要用到诱导公式、二倍角的正弦 探讨, 有益于 公式、和差化积公式,教师要板 启 发 学 生 思 演整个解题过程,并在解题过程 维, 提高学生 中主要引导学生思考. 分析问题和 解决问题的 能力. (1) 本节课的重点学习了两 组公式,对于公式不要求记住, 但要学会运用这些公式进行三角 函数和差与积的互化,并能够运 用公式解决一些求值、化简和证 明问题; (2) 把一个式子化为积的形 式是一类重要题型,尤其是要注 意其最后结果的形式是否符合要 求; 让学生明确 本节课的重 点和要达到 的要求.

小结

从知识、 方法两个方面来对本 节课的内容进行归纳总结.

(3) 在 公 式 的 推 导 过 程 中 我 们用到了换元法,要注意该方法 在解题中的应用. 布置 作业 教材习题 3-3 A 组 3,4. 对本节内容 及时巩固.


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