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推荐-高一数学第二学期期末考试题[原创] 精品

高一数学第二学期期末考试题
(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,将答案直接填在下表中) (1) sin ? ?

? 17 ? ? ? 的值等于 ? 3 ? 3 2
0

(A)-

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

(2) sin 75 的值等于

(A)

6? 2 4

(B)

6? 2 4

(C)

3? 2 4

(D)

3? 2 4

(3) 1 ? sin 2 4400 化简为 (A) cos 220
0

(B) cos80

0

(C) sin 220

0

(D) sin 80

0

(4)函数 y ? cos ? x ?

? ?

??

?, x ? R 2?
(B)是偶函数 (D)既是奇函数也是偶函数

(A)是奇函数 (C)既不是奇函数也不是偶函数 (5)为了得到函数 y ? 3sin ? x ? 象上所有点

? ?

??

?? ? ? , x ? R 的图象,只需把函数 y ? 3sin ? x ? ? 的图 5? 5? ?
? 个单位长度 5 2? (D)向右平行移动 个单位长度 5 ? 3? 或 4 4
3? 5? 或 4 4

? 个单位长度 5 2? (C)向左平行移动 个单位长度 5
(A)向左平行移动

(B)向右平行移动

(6)已知 tan ? ? 2 , tan ? ? 3 ,且 ? 、 ? 都是锐角,则 ? + ? 等于 (A)

? 4

(B)

3? 4

(C)

(D)

(7)已知 a=(2,3),b=(x,-6),若 a∥b,则 x 等于 (A)9 (B)4 (C)-4 (D)-9 (8)已知 a、b 是两个单位向量,下列四个命题中正确的是 (A)a 与 b 相等 (B)如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等 (C)a·b=1 (D)a2=b2 (9)在△ABC 中,已知 AB =(3,0), AC =(3,4),则 cos B 的值为

(A)0

(B)

3 5
3 4

(C)

4 5
3 4

(D)1

(10)已知|a|=3,|b|=4(且 a 与 b 不共线),若(ak+b)⊥(ak-b),则 k 的值为 (A)-

3 4

(B)

(C)±

(D)±

4 3

(11)已知|a|=3,b=(1,2),且 a∥b,则 a 的坐标为 (A)(

3 5 6 5 , ) 5 5 3 5 6 5 ,- ) 5 5

(B)(-

3 5 6 5 ,- ) 5 5

(C) (

(D) (

3 5 6 5 3 5 6 5 , )或(- ,- ) 5 5 5 5

(12)已知向量 a=(1,-2),b= ? 3, (A) (0, ) (C) (??, 0) ∪ [ , ??)

? 1? ? ,若 a·b≥0,则实数 x 的取值范围为 ? x?
(B) (0, ]

2 3

2 3

2 3

(D) (??, 0] ∪ [ , ??)

2 3

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) (13)在三角形 ABC 中,已知 a、b、c 是角 A、B、C 的对边,且 a=6,b=3 2 ,A= 则角 B 的大小为 (14)已知 cos ? x ? .

? , 4

? ?

??

3 ? ? ,则 sin 2 x 的值为 4? 5

. .

(15)已知 a=(2,1),b=(-3,4),则 3a+4b= (16) 已知|a|=2, |b|=1, a 与 b 的夹角为

? , 则向量 2a-3b 与 a+5b 的夹角大小为 3

.

三、解答题(本题共 6 小题,满分共 74 分) (17)(本小题满分 12 分) 已知 cos ? ? ?

12 ? 3? ,? ? ?? , 13 2 ?

?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 4? ? ?
y

(18)(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? Asin ??x ? ? ? , x ? R (其中 A>0, ? >0, | ? | < 求这个函数的解析式.

2 2

? ) 的部分图象如图所示, 2
O 2 6 x

(19)(本小题满分 12 分) 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 25000 米,速度 为 3000 米/分钟,飞行员先在点 A 看到山顶 C 的俯角为 300,经过 8 分钟后到达点 B,此时 看到山顶 C 的俯角为 600,则山顶的海拔高度为多少米. (参考数据: 2 =1.414, 3 =1.732, 6 =2.449).

(20)(本小题满分 12 分) 已知|a|=3,|b|=2,且 3a+5b 与 4a-3b 垂直,求 a 与 b 的夹角. (21)(本小题满分 12 分) 已知向量 a=( cos

3x 3x x x ? , sin ),b=( cos ,- sin ),且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

(Ⅰ)用 cosx 表示 a·b 及|a+b|; (Ⅱ)求函数 f(x)=a·b+2|a+b|的最小值. (22)(本小题满分 14 分) 已知向量 a、b、c 两两所成的角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3. (Ⅰ)求向量 a+b+c 的长度; (Ⅱ)求 a+b+c 与 a 的夹角.

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 (13) 1 D 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 D 12 C

? 6

(14)

7 25

(15)(-6,19)

(16)

? 2

三、解答题 (17)解:∵ cos ? ? ?

12 5 ? 3? ? ,且 ? ? ? ? , ,∴ sin ? ? ? , ? 13 13 2 ? ?

5 ?1 5 7 ? ? tan ? ? 1 ? 则 tan ? ? , ∴ tan ? ? ? ? = = 12 =- . 5 12 17 4 ? 1 ? tan ? ? ?1 12
(18)解:(Ⅰ)根据题意,可知 A= 2 2 , 且

T 2? ? ? =6-2=4,所以 T=16, 于是 ? = T 8 4

将点(2, 2 2 )代入 y ? 2 2 sin ?

?? ? x ? ? ? ,得 ?8 ?

?? ? ?? ? 2 2 ? 2 2 sin ? ? 2 ? ? ? , 即 sin ? ? ? ? =1, ?8 ? ?4 ?
又| ? |<

? ? ,所以 ? = . 2 4

从而所求的函数解析式为: y ? 2 2 sin ?

?? ?? x ? ?, x ? R 4? ?8

(19)解:如图,过 C 作 AB 的垂线,垂足为 D, 依题意,AB=3000·8=24000 米, 由∠BAC=300,∠DBC=600, 则∠BCA=300,∴ BC=24000 米, 在直角三角形 CBD 中, CD=BC· sin 60
0

=24000·0.866=21884 米, 故山顶的海拔高度为 25000-21884= 4216 米. (20) 解:∵ 3a+5b 与 4a-3b 垂直, ∴ (3a+5b)·(4a-3b)=0, 即 12|a|2+11a·b-15|b|2=0, 由于|a|=3,|b|=2,∴ a·b=- 则 cos ? a, b ??

48 , 11

8 a ?b ? 8? =- , 故 a 与 b 的夹角为 arccos ? ? ? . 11 | a |?| b | ? 11 ? 3x x 3x x cos - sin sin = cos 2 x =2cos2x-1, 2 2 2 2
2

(21)解:(Ⅰ)a·b= cos
2

3x x? ? 3x x? ? ? cos ? ? ? sin ? sin ? = 2 ? 2cos 2 x =2| cos x |, |a+b|= ? cos 2 2? ? 2 2? ?
∵ x ? [0,

?
2

] ,∴ cos x ≥0,∴ |a+b|=2 cos x .

(Ⅱ)f(x)=a·b+2|a+b|=2cos2x-1+4 cos x =2( cos x +1)2-3, ∵ x ? [0,

?

2

] ,∴ 0≤ cos x ≤1, ∴ 当 cos x =0 时,f(x)取得最小值-1. 2? , 3

(22)解:(Ⅰ)设向量 a、b、c 两两所成的角均为 ? , 则 ? =0 或 ? =

又|a|=1,|b|=2,|c|=3. 则当 ? =0 时, a·b=|a|·|b| cos ? =2, b·c=|b|·|c| cos ? =6, c·a=|c|·|a| cos ? =3, 此时 |a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=14+22=36, ∴ |a+b+c|=6; 当? =

2? 时, 3

a·b=|a|·|b| cos ? =-1, b·c=|b|·|c| cos ? =-3, c·a=|c|·|a| cos ? =-

3 , 2

此时 |a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=14-11=3, ∴ |a+b+c|= 3 . (Ⅱ)当 ? =0,即|a+b+c|=6 时,a+b+c 与 a 的夹角显然为 0; 当? =

2? ,即|a+b+c|= 3 时, 3

∵ (a+b+c)·a=-

3 ,且|a+b+c|·|a|= 3 , 2

cos <a+b+c,a>=-

3 , 2

∴ a+b+c 与 a 的夹角为

5? . 6
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